质点运动学速度与加速度

运动学：动力学：静力学：研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。（平衡方程的应用和受力分析）研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨迹等的描述和计算）研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系。（运动微分方程的建立和求解）§1.1引言第一章质点运动学经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。

力学的研究对象时间：空间：时间用以表述事物之间的顺序

空间用以表述事件相互之间的位形

第一章质点运动学在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为欧几里德几何空间。时间、空间和牛顿力学的绝对量时间的测量：第一章质点运动学任何具有重复性的周期过程或现象，都可以作为测量时间的一种钟（例如，太阳的升没表示天；四季的循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振动等等，也都可以用作测时的工具）

时间的测量：第一章质点运动学1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定：位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为

1秒=9,192,631,770T这样的时间标准称为原子时

用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量精度要比秒表作时计提高倍，即误差下降到秒表的之一时间是测量得最准确的一个基本量

空间的测量：第一章质点运动学长度是空间的一个基本性质

对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。空间的测量：第一章质点运动学米：规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度 的1/10,000,000

1875年起，决定改用米原器（截面呈“X”形的铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米不易复制，精度又不高

1960年在第十一届国际计量大会上规定：1米等于氪86原子的两个特定能级之间跃迁时所对应的辐射（橙色谱线）在真空中的波长λ的1,650,763.73倍。这样规定的米叫原子米

1983年10月在第十七届国际计量大会上规定：米是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔内所传播的路程长度光速：c=299,792,458米／秒

第一章质点运动学目前物理学中涉及的最小的时间是10-43秒，称为普朗克时间。普朗克时间被认为是最小的时间，比普朗克时间还要小的范围内，时间的概念可能就不再适用了。最短的时间第一章质点运动学目前，物理学中涉及的普朗克长度约为10-35米，被认为是最小的长度，意思是说，在比普朗克长度更小的范围内，长度的概念可能就不再适用了。最小的长度牛顿力学适用范围：微米尺度—天体尺度质点：参考物：参考坐标系：固定在参考物上的坐标架（简称参考系）突出了“物体具有质量”、“物体占有位置”

为了研究运动，固定坐标系的物体

§1.2质点和参考系

第一章质点运动学参考系=参考物+坐标架+钟

质点和参考系质点近似的相对性对于某个物体，如果其大小和自转对于所研究的具体问题可以忽略，则该物体可以近似为质点。第一章质点运动学质点和参考系

质点的位置矢量r（简称位矢）的大小为OP的长度，而方向从O指向P。用这个矢量就完全确定了质点P的位置其中i，j，k分别分别表示空间的三个坐标方向（轴）上的单位矢量，称为坐标基矢。参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。第一章质点运动学质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这条曲线我们称之为轨迹。一般曲线方程可以表示成：轨迹可以利用曲线方程来描写。譬如，曲线方程：就描写了在oxy平面上半径为R的圆周运动的轨迹。轨迹和运动学方程第一章质点运动学轨迹和运动方程我们知道，可以利用矢量方法来描写质点M的位置。质点的位置关于时间的函数称为运动方程，知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。质点的运动方程可以表示成：当然，也可以用坐标系中三个坐标分量来描述运动并有关系式从运动方程中消去时间t即得到轨迹的方程瞬时速度（简称速度）定义为：1.直线运动

§1.3速度与加速度

第一章质点运动学通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时速度的绝对值被称为速率。质点在t1到t2时间间隔内的平均速度

位移、路程与速度这个平均速度的定义表明，平均速度是矢量。

2.三维曲线运动

第一章质点运动学位移、路程与速度质点在t1=t到t2=t+△t时间间隔内的平均速度

是在时间间隔△t内质点位置矢量的改变量，称为位移矢量（简称位移）2.三维曲线运动

第一章质点运动学位移、路程与速度在△t→0的极限情况下，△r的方向趋于轨迹曲线在点1的切线方向，且位移与路程两者的大小近似相等。这样，我们就得到一个结论：瞬时速度的方向，就是轨迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是△t→0时平均速率的大小。由此可以定义平均速率：2.三维曲线运动

第一章质点运动学位移、路程与速度质点从

t1=t到t2=t+△t时间间隔内所走过的路程路程函数s(t)：质点从t1=0到t2=t时刻所走过的轨迹长度（标量）瞬时速度（简称速度）定义为：2.三维曲线运动

第一章质点运动学在国际单位制中，速度的单位是米/秒，常用的单位还有厘米/秒、千米/小时等

位移、路程与速度速度的数值大小（绝对值）称为速率，由上式知：瞬时加速度（简称加速度）定义为：1.直线运动

第一章质点运动学质点在t1=t到t2=t+△t时间间隔内的平均加速度

加速度瞬时加速度（简称加速度）定义为：2.曲线运动

第一章质点运动学加速度质点在t1=t到t2=t+△t时间间隔内的平均加速度

在国际单位制中，加速度的单位是米/秒2，常用的单位还有厘米/秒2

等。质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬时性第一章质点运动学速度、加速度是矢量，它具有矢量性§1.3速度与加速度

选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性小结：人体能承受的最大加速度为10g左右。未受专业训练的一般人只能承受2-3g左右。§1.4直角坐标系中运动的描述

第一章质点运动学运动方程：平均速度：右图表示的是质点做直线运动时的位置、速度和加速度关于时间的图形。由图上可见，当位置最大时，速度为零（此时曲线的斜率为零），同样当速度最大时，其加速度为零。瞬时速度：直线运动第一章质点运动学直线运动平均加速度：瞬时加速度：瞬时速率：由此可见，如知道运动方程x=x(t)，则速度、加速度等皆可求得。第一章质点运动学直线运动若再知道t=0时刻质点的速度和位置：利用：如果已知质点运动的加速度：可以解得：

运动学的反问题

可以完全描述运动。第一章质点运动学1.运动方程2.速度分量式：速率：其中：曲线运动第一章质点运动学3.加速度

曲线运动分量式：第一章质点运动学运动的重要性质：运动的独立性

运动的独立性的实验演示曲线运动由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质点的复杂的曲线运动时，其某方向的坐标、速度和加速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关，即三个方向相互无关。这种性质称为运动的独立性。（空间独立性根源）第一章质点运动学如果已知：路程：

运动学的反问题

曲线运动可以完全描述运动。分量式：速度：位矢：§1.5自然坐标系中运动的描述

第一章质点运动学有时直角坐标系不是最好的坐标系，这是因为：若我们研究的运动是受约束的运动，比如火车的行驶（它不能离开铁轨），或穿在弯曲钢丝上的小环的运动等。这类运动往往轨迹的形状是给定的，沿轨迹的曲线坐标系有可能是更好的坐标系。

即使我们研究运动的独立性有效的运动，使用直角坐标系使得数学计算简单了，但我们对其中的一些物理细节却并不很清楚。比如，我们知道速度的方向是沿着轨迹上质点所在位置的切线方向，但加速度的方向如何？加速度的方向对速度又有何影响？于是，我们需要引入一种新的坐标系：自然坐标系。§1.5自然坐标系中运动的描述

第一章质点运动学切向加速度和法向加速度我们现在考虑加速度的方向。对于沿直线的运动，只有一个方向，故速度与加速度的方向都与轨迹的方向平行（对于减速运动，加速度的方向与运动方向相反，我们仍视加速度与速度方向平行，有时也称其为反平行），如图(a)；对于匀速圆周运动，加速度与速度方向垂直，如图(b)；而对于一般的曲线运动，加速度的方向比较复杂，它往往与速度的方向即不平行又不垂直，如图(c)。

由于一维的直线运动非常简单，我们下面的讨论认为质点的运动不是直线运动。

第一章质点运动学切向加速度和法向加速度速度矢量：其中是沿着轨道切向，指向运动方向的单位矢量。v(t)没有法向分量。加速度：第一章质点运动学切向加速度和法向加速度该项沿轨迹的切向，也即是速度的方向，我们称这一项为切向加速度。

第一章质点运动学切向加速度和法向加速度如图知，求瞬时加速度至少需要在轨迹上取三个点。在求加速度的过程中，每次只取三个点，而不在一条直线上的三个点可以唯一确定一个平面（我们已假定了质点的运动不是直线运动），在取极限的过程中，这三个点所确定的平面也会随之变化，最后会趋于一个极限的平面。我们认为这个极限平面与P点附近的轨迹的关系最为密切，故称该极限平面为密切平面（简称密切面）。不仅如此，不在一条直线上的三个点还可以唯一确定一个圆，于是，在我们的密切面上还有一个极限圆，我们认为这个极限圆与点附近的轨迹的弯曲情况最为密切，故称该极限圆为密切圆，又称曲率圆，这个圆的半经称为曲率半径。

设我们取三个点P、Q、Q1来求加速度。第一章质点运动学切向加速度和法向加速度其中：切向加速度，表示速度大小的变化法向加速度，表示速度方向的变化于是：曲率半径第一章质点运动学切向加速度和法向加速度加速度的大小（绝对值）：加速度：如果运动方程已知：可以求得：可得轨迹上任意一点的曲率半径为：第一章质点运动学切向加速度和法向加速度如果以弧长s为坐标，则：可得：质点的运动在形式上与直线运动相仿，所不同的是，质点走的实际上是曲线。第一章质点运动学自然坐标系这样构成的正交坐标系称为自然坐标系（有的书上称为内禀坐标系、本性坐标系、路径坐标系等）当质点作空间运动时，它的速度向量位于轨迹上的切线方向，而加速度向量位于该点的密切平面上。第一章质点运动学圆周运动2.轨道在一个平面上则称为匀速圆周运动。称这样的运动为圆周运动。若同时有常数第一章质点运动学圆周运动圆周运动的另一种描述法：

定义：角速度矢量，大小为，方向按右手系指向平行于转轴方向。有了上述定义，则当坐标原点选在转轴上时，如图，有：圆周运动角量与线量的关系