高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程单元测试 综合素质检测

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2023·广东文，8)已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝eq\x(导学号33780631)()A．2 B．3C．4 D．9[答案]B[解析]由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是eq\x(导学号33780632)()A．2eq\r(3) B．2\r(3) D．1[答案]D[解析]由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|2－\r(3)×0|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,25)＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为eq\x(导学号33780633)()A．10 B．20C．2eq\r(41) D．4eq\r(41)[答案]D[解析]由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2a2＝25＋16＝41，∴a＝eq\r(41)，∴L＝4eq\r(41)，故选D.4．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为eq\x(导学号33780634)()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(1,2)x[答案]C[解析]∵2b＝2,2c＝2eq\r(3)，∴b＝1，c＝eq\r(3)，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝eq\r(2)，故渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.5．(2023·衡阳高二检测)“1<m<3”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆”的eq\x(导学号33780635)()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0,3－m>0,m－1≠3－m))⇒1<m<3且m≠2，∴选B.6．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为eq\x(导学号33780636)()\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8[答案]C[解析]|AB|＝4eq\r(3)，∴准线方程为x＝－4，∴A(－4，2eq\r(3))在双曲线上设方程eq\f(x2,a)－eq\f(y2,a2)＝1(a≠0)，即eq\f(16,a2)－eq\f(12,a2)＝1，∴a＝2，∴实轴长2a＝4.7．(2023·潮州高二检测)方程mx＋ny2＝0与mx2＋ny2＝1(mn≠0)在同一坐标系中的大致图象可能是eq\x(导学号33780637)()[答案]A[解析]方程y2＝－eq\f(m,n)x表示焦点在x轴的抛物线，当开口向右时，－eq\f(m,n)>0，∴mn<0，∴mx2＋ny2＝1表示双曲线，选A.8．(2023·福建八县一中高二期末测试)经过点P(2，－2)且与双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是eq\x(导学号33780638)()\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1[答案]B[解析]设所求双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，又∵点P(2，－2)在双曲线上，∴eq\f(4,2)－4＝λ，∴λ＝－2.所求双曲线的方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.9．经过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为eq\x(导学号33780639)()A．2 B．eq\r(3)\r(2) D．eq\r(5)[答案]A[解析]由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)a，代入a2＋b2＝c2中得4a2＝c2，∴e2＝4，∵e>1，∴e＝2，故选A.10．(2023·天津理，6)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，eq\r(3))，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线上，则双曲线的方程为eq\x(导学号33780640)()\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B．eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1[答案]D[解析]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由点(2，eq\r(3))在渐近线上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r(7)x准线方程x＝－eq\r(7)上，所以c＝eq\r(7)，由此可解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1，故选D.11．(2023·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设P为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上的一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于eq\x(导学号33780641)()\f(8,3) B．eq\f(16,3)\f(4\r(3),3) \f(8\r(3),3)[答案]B[解析]∵a2＝9，b2＝4，∴c2＝5.由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PF1|2＋|FP2|2＋2|PF1|·|PF2|＝36.在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|F1F2|2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|·|PF2|＋20，∴3|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(16,3).12．(2023·重庆文，9)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为eq\x(导学号33780642)()A．±eq\f(1,2) B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)[答案]C[解析]由已知得右焦点F(c,0)(其中c2＝a2＋b2，c>0)，A1(－a,0)、A2(a,0)；B(c，－eq\f(b2,a))、C(c，eq\f(b2,a))；从而A1B→＝(c＋a，－eq\f(b2,a))，eq\o(A2C,\s\up6(→))＝(c－a，eq\f(b2,a))，又因为A1B⊥A2C，所以A1B→·A2C→＝0，即(c－a)·(c＋a)＋(－eq\f(b2,a))·(eq\f(b2,a))＝0；化简得到eq\f(b2,a2)＝1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2023·陕西理，14)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝\x(导学号33780643)[答案]2eq\r(2)[解析]由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，因为p＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－eq\r(2)，0)；故由－eq\r(2)＝－eq\f(p,2)可解得p＝2eq\r(2).14．(2023·山东理，13)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是\x(导学号33780644)[答案]2[解析]如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝eq\r(|BM|2＋|MN|2)＝eq\r(\f(3,2)2＋22)＝eq\f(5,2).由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝eq\f(2c,2a)＝2.15．(2023·南通高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝\x(导学号33780645)[答案]eq\f(5,3)[解析]在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中a＝5，b＝4，c＝3，∵三角形ABC顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，∴BC＋AB＝2a＝10，由正弦定理eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋AB,AC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(5,3).16．方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示曲线C，给出以下命题：eq\x(导学号33780646)①曲线C不可能为圆；②若1<t<4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<eq\f(5,2).其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案]③④[解析]显然当t＝eq\f(5,2)时，曲线为x2＋y2＝eq\f(3,2)，方程表示一个圆；而当1<t<4，且t≠eq\f(5,2)时，方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线；而当1<t<eq\f(5,2)时，4－t>t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2023·辽宁沈阳二中高二期中测试)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹.eq\x(导学号33780647)[解析]设点M的坐标为(x，y)、点A的坐标为(x0，y0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x0,2),y＝\f(3＋y0,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4,y0＝2y－3))，又∵点A(x0，y0)在圆(x＋1)2＋y2＝4上，∴(2x－3)2＋(2y－3)2＝4，即(x－eq\f(3,2))2＋(y－eq\f(3,2))2＝1.故线段AB的中点M的轨迹是以点(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))为圆心，以1为半径的圆．18．(本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列.eq\x(导学号33780648)(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．[解析](1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝eq\f(4,3).(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝eq\r(1－b2)，设A(x1，y1)、B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,x2＋\f(y2,b2)＝1))，消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝eq\f(－2c,1＋b2)，x1x2＝eq\f(1－2b2,1＋b2).因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝eq\r(2)|x2－x1|，即eq\f(4,3)＝eq\r(2)|x2－x1|.则eq\f(8,9)＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\f(41－b2,1＋b22)－eq\f(41－2b2,1＋b2)＝eq\f(8b4,1＋b2)，解得b＝eq\f(\r(2),2).19．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2eq\r(13).一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3，求椭圆和双曲线的方程.eq\x(导学号33780649)[解析]①焦点在x轴上，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝eq\r(13).设双曲线为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因为eq\f(e双,e椭)＝eq\f(7,3)，所以eq\f(a,m)＝eq\f(7,3)，解得a＝7，m＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为eq\r(13)，所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.②焦点在y轴上，椭圆方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1，双曲线方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.20．(本小题满分12分)如图所示，F1、F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆上的点(1，eq\f(3,2))到F1，F2两点的距离之和为\x(导学号33780650)(1)求椭圆C的方程．(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积．[解析](1)由题设知：2a＝4，即a＝2，将点(1，eq\f(3,2))代入椭圆方程得eq\f(1,22)＋eq\f(\f(3,2)2,b2)＝1，解得b2＝3，故椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知A(－2,0)，B(0，eq\r(3))，所以kPQ＝kAB＝eq\f(\r(3),2)，所以PQ所在直线方程为y＝eq\f(\r(3),2)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),2)x－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消x得8y2＋4eq\r(3)y－9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq\f(\r(3),2)，y1·y2＝－eq\f(9,8)，所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(3,4)＋4×\f(9,8))＝eq\f(\r(21),2)，所以S△F1PQ＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(\r(21),2).21．(本小题满分12分)(2023·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝\x(导学号33780651)(1)求抛物线的方程；(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．[解析](1)由题意得|MF|＝4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y2＝4x))，得y＝±4.∴|AB|＝8，∴eq\f(|AB|,2)＝4，∴以AB为直径的圆过原点．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4,y2＝4x))，得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4＋8k2,k2)，x1x2＝16.y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)＝k2[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝