高阶微分方程小结

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高阶微分方程小结

第十二章2.

理解二阶线性微分方程解的结构；3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；4.

掌握自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式．和一基本要求基本概念一阶方程

类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程5.伯努利方程变量代换可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4二阶常系数线性方程解的结构特征方程及其根对应的通解形式f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法二内容提要1.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点

型接连积分n次,得通解．

型解法

型解法2.线性微分方程解的结构(1)

二阶齐次方程解的结构:解的叠加(2)

二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3

设y*是(2)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.那么叠加3.二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法

由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为微分方程特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：

n阶常系数齐次线性方程解法4.二阶常系数非齐次线性微分方程解法通解

用待定系数法求特解设特解的形式答：选择C问题1三问题与思考问题2.以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为答：正确.例1解代入方程，得故方程的通解为四典型题目例2解方程两边求导两边再求导，得由原方程和(1)式,得初始条件求解初值问题例3

试确定以解

从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为为特解的二阶常系数齐次线性方程.例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设由解得故原方程的通解为由即例

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