山西省太原市第二十七中学2023年高二数学文联考试题含解析

山西省太原市第二十七中学2023年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列中，，则等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C2.已知函数的导函数的图像如右图所示，那么函数的图像最有可能的是(

)参考答案：A略3.设，则的值为（）．A．15 B．16 C．1 D．－15参考答案：A在中，令，可得，再令可得，所以．故选．4.如图正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(

)①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.A．①③④

B．②④⑤

C．①②④

D．①②③⑤参考答案：D5.设复数，若为纯虚数，则实数（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：D6.设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明．【解答】解：①由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确．②设三棱柱的三个侧面分别为α，β，γ，其中两条侧棱为m，n，显然m∥n，但α与β不平行，故②错误．③∵α∥β∥γ，∴当m⊥α时，m⊥γ，故③正确．④当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误．故选：A．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则b＝

(

)A．3

B．2

C． D．参考答案：A8.设椭圆(a>b>0)的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2，P是椭圆上异于A1、A2的点，考虑如下四个命题：①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；

②a-c<|PF1|<a+c；③若b越接近于a，则离心率越接近于1；④直线PA1与PA2的斜率之积等于-．其中正确的命题是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④参考答案：A9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(

)A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩参考答案：D【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．10.已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，x2，x3，x4(单位：吨)．根据图中所示的流程图，若x1，x2，x3，x4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果为________．参考答案：1.512.凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表.凸多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569长方体6812五棱柱71015三棱锥446四棱锥558

猜想一般结论:F＋V－E＝____.参考答案：2【分析】根据前面几个多面体所满足的结论，即可猜想出【详解】由题知：三棱柱：，则，长方体：，则，五棱柱：，则，三棱锥：，则四棱锥：，则，通过观察可得面数、顶点数、棱数的关系为。【点睛】本题由几个特殊多面体，观察它们的面数、顶点数、棱数，归纳出一般结论，着重考查归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题。13.过点A(1，-l)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为

参考答案：814.在等比数列中,若是方程的两根，则=______参考答案：10

略15.若关于x的不等式|a﹣1|≥（|2x+1|+|2x﹣3|）的解集非空，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）【考点】绝对值不等式．【分析】把不等式转化为最值，求出a的范围即可．【解答】解：关于x的不等式|a﹣1|≥|2x+1|+|2x﹣3|的解集非空等价于|a﹣1|≥（|2x+1|+|2x﹣3|）min=4，所以a﹣1≥4或a﹣1≤﹣4，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．16.若非零向量，满足，则与的夹角为

．参考答案：17.函数([2，6])的值域为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．19.某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍，土地的征用费为2388元/m2．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．（总费用为征地费用和建筑费用之和）．参考答案：（本小题满分12分）解:设楼高为层，总费用为元，每层的建筑面积为

则土地的征用面积为，征地费用为（元），楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·

（元），从而

（元）

当且仅当

,=20（层）时，总费用最少．答：当这幢宿舍楼的楼高层数为20时,最少总费用为1000A元．略20.(本小题满分12分)已知可行域的外接圆与轴交于点、，椭圆以线段为长轴，离心率e=.(1)求圆及椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，点为圆上异于、的动点，过原点作直线的垂线交直线x=2于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明．参考答案：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形因为∴为直角三角形∴外接圆是以原点O为圆心，线段＝为直径的圆故其方程为设椭圆的方程为

∵

∴又

∴，可得故椭圆的方程为（2）设当时，ks5u若

∴若

∴

即当时，，直线与圆相切当

∴……9分所以直线的方程为，因此点的坐标为（2,…10分∵……11分证法一：∴当，……12分∴当，∴

……13分证法二：直线的方程为：，即…………………12分圆心到直线的距离……13分综上，当时，，故直线始终与圆相切。21.如图ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点求证：DE⊥面PBC．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】推导出PD⊥BC，BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而BC⊥DE，再推导出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．【解答】证明：因为PD⊥面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥DC，所以BC⊥面PDC，所以BC⊥DE，又PD⊥BC，PD=DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．22.已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标（0，1），求得a和b的关系，由C1与C2的公共点的坐标为（±，），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得，可知O恒在为AB直径的圆内，故不存在实数k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为（0，1）