“数与代数”教学问题分析及策略研讨

湖北省特级教师武汉市东西湖区吴家山第一小学朱小丽zhuxiaoli910@126.com“数与代数”教学问题分析及策略研讨回顾主要内容反思存在的问题教学问题分析及策略研讨回顾主要内容反思存在的问题主要内容具体目标教育价值教学问题分析及策略研讨一、数的认识——原生概念和延伸名词二、数的运算——计算与解决问题三、式与方程——解方程的编排四、数的运算——算法多样化“数与代数”的内容结构表：具体目标：第一学段（1——3年级）数的认识（1）能认、读、写万以内的数，会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。（2）认识符号＞，＝，＜的含义，能够用符号和语言来描述万以内数的大小。（3）能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。（4）结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。（5）能结合具体情境初步理解分数的意义，能认，读，写小数和简单的分数。（6）能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。具体目标：第一学段（1——3年级）数的运算（1）结合具体情境，体会四则运算的意义。（2）能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，会口算百以内的加减法。（3）能计算三位数的加减法，一位数乘三位数，两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。（4）会计算同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。（5）能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。（6）经历与他人交流各自算法的过程。（7）能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。具体目标：第一学段（1——3年级）常见的量（1）在现实情境中，认识元，角，分，并了解它们之间的关系。（2）能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。（3）认识年，月，日，了解它们之间的关系。（4）在具体生活情境中，感受并认识克，千克，吨，并能进行简单的换算。（5）结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。探索规律发现给定的事物中隐含的简单规律。第二学段（4——6年级）数的认识（1）在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。（2）进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数和百分数之间关系，会进行转化（不包括循环小数化分数）。（3）会比较小数、分数、百分数的大小。（4）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。（5）结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。（6）进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物，并能进行交流。（7）在1——100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2、3、5的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。（8）在1——100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。（9）知道整数、奇数、偶数、质数、合数。第二学段（4——6年级）数的运算（1）会口算百以内一位数乘、除两位数。（2）能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。（3）能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。（4）探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简单运算。（5）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减，乘与除的互逆关系。（6）会分别进行简单小数，分数（不含带分数）加，减，乘，除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。（7）会解决有关小数，分数和百分数的简单实际问题。（8）在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。（9）能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律。第二学段（4——6年级）式与方程（1）在具体情境中会用字母表示数。（2）会用方程表示简单情境中的等量关系。（3）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程。正比例、反比例（1）在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题。（2）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。（3）能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。（4）能找出生活中成正比例和反比例量的实例探索规律探求给定事物中隐含的规律或变化趋势。教育价值

1．能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，培养初步的应用能力。认识：数、符号——重要语言方程、函数——数学模型数学——重要工具感受：数学的价值学会：解决问题增强：应用意识培养：应用能力

2．能促进学生对数学学习的兴趣，提高解决问题的能力和信心，培养学生初步的创新意识和发现能力。

3．有助于培养学生的辩证唯物主义观念，有利于学生用科学的观点认识现实世界。

对培养学生良好的素质、促进学生的全面发展具有重要的价值。教学问题分析及策略研讨

一、数的认识——原生概念和延伸名词二、数的运算——计算与解决问题三、式与方程——解方程的编排四、数的运算——算法多样化一、数的认识——概念教学目的：澄清对某些概念的模糊认识小数和循环小数的关系

百分数与分数的关系关于负数的教学

小数和循环小数的关系(1)小数是一个原生概念循环小数是由小数的概念引伸过来的，是个引伸名词，它是计算出来的结果，虽然这个结果呈现出小数形式，但是不能等同于小数的意义。(2)在原生概念的基础上，引伸出新的名词，小数概念的内涵进一步扩展了，小数的范围比以前又扩大了。

小数和循环小数的关系(2)小数概念的内涵进一步扩展了，

小数的范围比以前又扩大了。

百分数与分数的关系

联系区别

关于负数的教学二、数的运算——计算与解决问题

1．计算教学（1）算理和算法有机结合（2）估算（3）应注意的细节问题

2．解决问题《数学广角》存在的问题与解决策略

3．二者有机结合

二、数的运算——计算与解决问题1．计算教学

（1）算理和算法有机结合（2）估算（3）应注意的细节问题

2、请看大屏幕：课件出示：竖式的书写问：商写在什么位置呢？生1：写在十位。生2：写在个位。生一致认为写在个位。到底写在哪一位上？是不是在个位上？我们来看小棒图，请看大屏幕。这里有92根小棒代表92本书，每30本分一个班，那么我们分一分！课件演示分的过程。再看还剩几本？（2本），还能再分一个班吗？（不能）。为什么？（不够30本。）通过刚才的分一分我们也知道可以分给3个班，你们说一说那3应该写在什么位置？（个位）写在十位上表示多少？（3个十）问：这里能分给30个班吗？连10个班也不够，十位上不够商1，所以商3只能写在——个位上。好现在请你把竖式补充完整。（学生独立完成，指一名学生板书，完成横式后的答案）做完后师指着竖式问：你们是这样做的吗？学生都认可，课件演示完整竖式。师小结：通过计算，知道了92本连环画可以分给3个班，还剩2本。那，140本故事书，每班30本，可以分给几个班呢？

教学例21、我们来看----边说边板书竖式，请同学们想一想商应该写在哪一位上？2、指名说一说。生1：十位生2：个位商到底应该写在哪一位上？3、好，老师为你们提供了方格图：一行有10格代表10本书，这里有14行表示140本书，请你借助方格图看看到底可以分给几个班？4、学生独立完成，教师巡视，收集作业切换到展台上。5、（请学生说结果）你是怎么分的？（学生介绍）通过分知道可以分给4个班，还剩20本。这还没分完呢？能分给5个班吗？（不能）指名说。指名说试商的过程板书：30×4=120﹤14030×5=150﹥140追问：咱们知道了商是4，请你告诉大家商应该写在哪一位上？（个位）刚才有同学说写在十位上，如果写在十位上表示什么？（40）可以分给40个班吗？（不能）一个十也没有，14个十除以30不够商1个十，所以商应该写在个位上。通过我们刚才的计算，除数是两位数的除法计算时先看被除数的（92上画线）前两位，被除数前两位不够除，我们就看前三位，完成板书，叙述：4×30等于120，我们分掉了120本书，还剩20本。140本故事书可以分给4个班，还剩20本。案例1：《一位数乘整十数整百数》师：教室里每排有6个同学，9排一共有多少个？生：6×9=54师：10排呢？生：6×10=60师：说说你是怎么想的？生1：6个十是60。

生2：54+6=60

生3：6×1=6

6×10=60师：你们喜欢哪种算法？生：喜欢第三种。

师：90排一共有多少个同学？怎样算出结果呢？生：90×6=540

先算9×6=54，再在54的后面“加”上一个0。师：为什么要添写一个0呢？生：前面有一个0，后面就添写一个0。……案例2：

师：（呈现9辆赛车的动画画面）你能解决9辆车一共有几个轮子？生：4×9=36师：（又开来一辆）10辆车有几个轮子？生：4×10=40师：说说你是怎么想的？生1：4个十是40。

生2：36+4=40

生3：4×1=4

4×10=40师：第三种的方法能行吗？生：（讨论，说说自己的理解。）师：90辆车一共有多少个轮子？怎样算出结果呢？生：4×90=360

先算4×9=36，再在36的后面“加”上一个0。师：展示课件

4×9个十

=

36个十学生复述算理的过程。师：900辆车呢？你又是怎样计算出得数的？生：4×900=就是4乘9个百，得到的是36个百，也就是3600。……案例3：师：用解决学过的知识说说4×10=40你是怎么想的？生：讨论，说自己的理解。生1：4个十是40。

生2：36+4=40

生3：4×1=4

4×10=40学生讨论交流4×10=40的合理性。

师：90辆车一共有多少个轮子？怎样算出结果呢？生1：90+90=180

180+180=360生2：4×90=360

我先算4×9=36，再在36的后面“加”上一个0。师：“4×90”中的“9”与“4×9”中的“9”表示的意思一样吗？生：90的“9”表示9个十，而9表示的是9个一。师：900辆呢？得数为什么要添写2个0？师：看着这一排的算式，猜猜接下来是什么算式？请说说你猜想的理由。

口算这样的乘法有什么相同的和不同的地方？……二、数的运算——计算与解决问题1．计算教学（1）算理和算法有机（2）估算（3）应注意的细节问题

案例：《估算》

一箱牛奶有12盒，18箱牛奶大约有多少盒？

（1）12×18≈10×20=200（盒）

（2）12×18≈12×20=240（盒）

（3）12×18≈10×18=180（盒）估算方法多样，估算结果也就多样，无所谓谁对

谁错，只存在结果与精确值的差异多少之分；

可以具体分析如何缩小与精确值的差距，

使得估算方法优化，以便提高估算能力；

选择题：估算12x52时，最接近精确值的是（）。①500②520③600④620

注意将估算与解决实际问题相结合：四舍五入法；进一法；去尾法。

注意结合生活中的实例，

培养学生的估算意识。

二、数的运算——计算与解决问题

1．计算教学（1）算理和算法有机结合（2）估算

（3）应注意的细节问题

①简便运算与简便写法

②笔算除法中的“不够除”的问题

③退位减法中“借一当十”

教学时，要用严密精确的语言“退一当十”。教学时，要注意体现学科教学与生活德育的一致性和一贯性，注意将二者有机整合。

二、数的运算——计算与解决问题1．计算教学（1）算理和算法有机结合（2）估算（3）应注意的细节问题

2．解决问题

《数学广角》存在的问题与解决策略3．二者有机结合2．解决问题减弱了工程问题数学广角：

找规律排列（一）下排列组合（二）上找规律排列（二）下排列组合（三）上等量代换（三）下容斥原理（三）下统筹优化（四）上植树问题（四）下数字编码（五）上找次品（五）下鸡兔同笼（六）上抽屉原理（六）下

数学广角的教学目标：通过教学活动，渗透数学思想和方法，用来指导解决数学问题。

《数学广角》存在的问题与解决策略案例1：四年级下册《植树问题》案例2：四年级下册《植树问题》

同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？

《植树问题》解决策略：

将复杂的问题简单化，从而发现规律，寻求解决问题的方法；再用此方法解决稍复杂的实际问题。六年级上册《鸡兔同笼》方法：画图法列表法猜想假设法代数法六年级上册《鸡兔同笼》方法：画图法列表法猜想假设法代数法数学思考目标：从直观到抽象，从具体到一般，渗透并运用假设的思想方法，来解决数学问题。二、数的运算——计算与解决问题1．计算教学（1）算理和算法有机结合（2）估算（3）应注意的细节问题2．解决问题《数学广角》存在的问题与解决策略

3．二者有机结合

有机结合，各有侧重。由重点解决计算转化到数量关系的分析，发展学生的思维能力。

《数学课程标准》中强调计算教学时“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程”“避免将运算与应用割裂开来”三、式与方程——简易方程

1．教材编排2．存在问题（1）

解决策略

3．存在问题（2）

解决策略

1．教材编排（1）课标实验教材中解方程的依据是等式的性质。等式简易方程的内容也相应作了调整，暂时不出现形如:a－x=b和a÷x=b的简易方程。

（2）解方程与解决实际问题的教学有机整合。2．存在问题（1）未知减数、未知除数的出现是具有必然性的。2．存在问题（1）未知减数、未知除数的出现是具有必然性的。4x+812=44004400－4x=8124x=4400－812

解决策略：补充教学灵活解题

补充转化练习：将含有未知减数、未知除数的方程转

化成加法方程、乘法方程的练习。补充下一学段知识：

移项的练习。

3．存在问题（2）:解方程与解决实际问题“两头大”

解决策略:处理例题（分析、列方程、解方程）——解方程的专项练习——再综合运用（解决实际问题：列方程、解方程）结合学生的学情，找准学生的最近发展去，作适当的有效的补充练习：用含有字母的式子表示数量的训练看问题、找条件、说等量关系式的训练。如：每天跑多少米？还剩多少页？

注重培养学生灵活选择解决实际问题的方法——算术解或方程解。

转变观念：方程是一种数学模型

数学模型著名学者徐利治先生《数学方法论选讲》

数学模型：是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。案例：人教版一年级上册《9加几》例1实物装盒情境9+4(1)1，2，3，……，12，13(2)9，10，11，12，13(3)9+1=10，10+3=13你喜欢哪一种方法?例2

摆小棒,填凑十算式:9+3=摆黄花红花,填空凑十算式:9+7=案例苏教版一年级上册:9加4

(1)实物装盒,续数:10,11,12,13

(2)实物装盒,凑十:9+1=10,10+3=13

(3)脱离实物,抽象凑十:9+4=13

13

10案例北师大版一年级上册:

有几瓶饮料?9+3

(1)实物装盒:9+1+2=12瓶;

(2)结合摆小圆片,续数:9,10,11,12;

(3)结合摆小圆片,凑十,算式:9+1+2=12

10

摆小棒,拆数,凑十,算式:9+5;9+7

(各有两种拆法,两道算式)案例：北师大版

一年级下册《笔算加法》图:两种书共有多少本?28+4=(1)摆小棒:2捆8根,4根,是32根;(2)口算:28+2=30,30+2=32;(3)口算:8+4=12,20+12=32;(4)笔算:28+.432

案例:苏教版一年级下册

图:两种汽车一共有多少座?45+30=?(1)我从45开始,十个十个往后数:55,65,75;(2)我用小棒摆一摆:4捆,3捆摆一起;(3)我用算珠拨一拨:计数器图;(4)我把45分成40和5,40+30=70,70+5=75;(5)可以这样算:45+30=7540575四、数的运算——算法多样化

（一）对算法多样化的理解存在的误区

（二）什么是算法多样化？

（三）为什么提倡算法多样化？

（四）在教学中应注意的问题。

案例：人教版一年级上册《9加几》

例1实物装盒情境9+4

(1)1，2，3，……，12，13

(2)9，10，11，12，13

(3)9+1=10，10+3=13

你喜欢哪一种方法?

例2摆小棒,填凑十算式:9+3=

摆黄花红花,填空凑十算式:9+7=

教师：

要求每一位学生掌握多种算法，

让学生一种一种去练习。误区：

（1）算法多样化，就是让每一位

学生掌握多种算法。

案例：人教版一年级上册《9加几》

例1实物装盒情境9+4

(1)1，2，3，……，12，13

(2)9，10，11，12，13

(3)9+1=10，10+3=13

你喜欢哪一种方法?

例2摆小棒,填凑十算式:9+3=

摆黄花红花,填空凑十算式:9+7=

教师：直接告知学生凑十。

误区：

（2）只要会算，就行了，还要什

么多样化？！

案例：人教版一年级上册《9加几》

例1实物装盒情境9+4

(1)1，2，3，……，12，13

(2)9，10，11，12，13

(3)9+1=10，10+3=13

你喜欢哪一种方法?

例2摆小棒,填凑十算式:9+3=

摆黄花红花,填空凑十算式:9+7=

教师：

让学生独立思考,动手尝试,各自

得出算法——交流，比较,感悟——完

善自己的方法。

误区（3）算法多样化是否就是

一题多解？

算法多样化与简便运算的关系《全日制义务教育小数学课程标准（实验稿）》，对于算法多样化的描述有以下几处：

1、在“内容标准”第一学段中提出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化”。

2、在“内容标准”第二学段中提出：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化”。

3、在“课程实施建议”第一学段中提出：

“加强估算，鼓励算法多样化”。

“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法多样化”。

“教师不要急于评价各种算法，应引导学生通过比较各种算法的特点，选择适合自己的方法”。

4、在“课程实施建议”第二学段中提出：“加强估算，鼓励解决问题策略的多样化”。

“教学中应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题。鼓励解决问题策略的多样化，是因材施教，促进每一个学生充分发展的有效途径”。二、什么是算法多样化？

1、“算法多样化”，是班级群体

的多样化，而不是学生个体

的多样化。

案例：12‑9

（1）动手一个一个地拿走，剩下3

（2）9+3=1212-9=3

（3）10-9=11+2=3

（4）12-2=1010-7=3

（5）12-10=212-9=3

2

、“算法多样化”

是学生交流的结果。

3、“算法多样化”，是学生自

主的选择,算法多样化，还需

优化。案例：《搭配》2件上衣3条裤子

（1）学生独立思考，自主搭配

（2）汇报结论：5种；6种；8种。

（3）给学生交流的空间：

（4）问：规律在哪儿呢？（学生总结几

种优化后的有序的搭配方法）

三、提倡算法多样化有什么价

值？（价值判断层面）

从学生发展的角度，谈算法多样化的价值

1、提倡算法多样化，有利于促进学生个性化的学习，体验成功，增强自信心（情感态度价值观层面）。2、提倡算法多样化，有利于学生的自主参与，获得数学知识与方法（知识与技能层面）。3、提倡算法多样化，有利于实现课堂的多向互动，培养学生创新精神（过程与方法层面）。1、提倡算法多样化，有利于促进

学生个性化的学习，体验成功，增

强自信心（情感态度价值观层面）。

2、提倡算法多样化，有利于学生的自

主参与，获得数学知识与方法（知识

与技能层面）。

3、提倡算法多样化，有利于实现

课堂的多向互动，培养学生创新

精神（过程与方法层面）。

四、在教学中应注意的问题算法多样化一定要让学生独立思考,独立尝试。算法多样化中的优化算法多样化与一题多解的关系独立思考，独立尝试：

数学是一种科学。

科学就要有求真求实的精神。

实践出真知。

动手实践与奇迹：

香料之王——香子兰

算法多样化中的优化：

就是指学生结合自己的生活经验和已

有的知识水平，在多样化的算法中，找到一

个自己认为最好的最为合适的最能解决问题

的算法的过程。

案例：分数除以分数21/40÷7/8

(1)２１／４０＝０．５２５

７／８＝０．８７５

０．５２５÷０．８７５＝０．６＝３／５

(2)21/40÷7/8＝（２１／４０×４０）÷

（７／８×４０）＝２１÷３５＝３／５

(3)21/40÷7/8=(21÷7)÷(40

÷8)=3÷5=3/5

(4)21/40÷7/8=（21/40×8/