专题26奇偶分析

阅读与思考整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数≠偶数．由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析．运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：1.奇数≠偶数.2.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数 =奇数，偶数±偶数 =偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数 .3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数 .4.若a是整数，则 a与a， a，an（n为自然数）有相同的奇偶性 .5.设a，b是整数，则

a

b，a

b，

a

b

，

a

b

都有相同的奇偶数

.6.偶数的平方是

4的倍数，奇数的平方是

4的倍数加

1.例题与求解【例1】数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯的排列规律是：前两个数是开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前

1，从第三个数2004个数中共有____个偶数．(“希望杯”邀请赛试题 )解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律 .【例2a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a(b1)2c是().】如果A．只当c为奇数时，其值为奇数B．只当c为偶数时，其值为奇数C．只当c为3的倍数时，其值为奇数D．无论c为任意正整数时，其值均为奇数（五城市联赛试题）解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择．【例3】能否找到自然数a和b，使a22002b2.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）解题思路：假设存在自然数a和b，使等式成立，则(ab)(ab)2002，从ab，ab的奇偶性展开推理．【例4】在6张纸片的正面分别写上整数 1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上 1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出 6个数，请你证明：所得的 6个数中至少有两个是相同的 .（北京市竞赛试题）解题思路：从反面入手，即设这 6个数两两都不相等，利用 ai bi与ai bici=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明 .【例5】表甲是一个英文字母电子显示盘， 每一次操作可以使某一行 4个字母同时改变， 或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即 A变成B，B变成C⋯最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲 表乙（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试） ，看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化” ，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性 .【例6】设x1，x2，⋯xn为＋1或－1，并且x1x2x3x4 x2x3x4x5 x3x4x5x6 xn3xn2xn1xnxn2xn1xnx1 xn1xnx1x2 xnx1x2x3 0.证明n能被4整除.解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易．能力训练1．若按奇偶分类，则11223320112011是______数.2．已知a是质数，b是奇数，且a2b2001，则ab_______.（江苏省竞赛试题）3．若质数m，n满足5m7n129，则mn的值为____________.（河北省竞赛试题）2222这95个数中，十位数字为奇数的数共有____________个.4．在1，2，3，⋯，95（全国初中数学联赛试题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有()种.A.2B.3C.4D.56．设a，b为整数，给出下列四个结论1）若a5b是偶数，则a3b是偶数2）若a5b是偶数，则a3b是奇数3）若a5b是奇数，则a3b是偶数4）若a5b是奇数，则a3b是奇数其中正确结论的个数是()．A.0B.2C.4D.1或3（“五羊杯”竞赛试题）7．如果a，b，c是三个任意整数，那么ab，bc，ca()．222A.都不是整数B.至少有两个是整数C.至少有一个是整数D.都是正数（“T1杯”全国竞赛试题）8．将1000到1997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有()．A.499个B.496个C.996个D.995个．设a，a，⋯a是，，，⋯，1999的一个排列，求证：(a1)(a22)(a1999)91219912311999为偶数.10．在黑板上记上数1，2，3，⋯，1974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零．（数学奥林匹克竞赛试题）11．你能找到三个整数 a，b，c，使得关系式(a b c)(a b c)(a b c)(b c a) 3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由 .（“希望杯”邀请赛试题）12．设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯 A开始，顺次拉动开关，即从 A到次拉动开关，即又从 A到G，⋯，他这样拉动了 1999次开关后，问哪几盏是开的？

.现在A，C，G，再从A开始顺专题26奇偶分析例1668提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是：从第一个数开始，每组连续的3个数中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004÷3＝668.所以前2004个数中共有668个偶数.例2D例3假设存在自然数a和b，使a22002b2.则（a＋b）(a－b)＝＝20022×1001，若a，b同为奇数或同为偶数，则（a＋b）×（a－b）必定是“偶数×偶数”；若a，b为一奇一偶，则(a＋b)(a－b)必定是“奇数×奇数”上.述两种情况均与等式右边的“偶数×奇数”相矛盾，故找不到自然数a和b，使a22002b2.例4提示：设6张卡片正面写的数是a1,a2,a3,a4,a5,a6，反面写的数对应为b1,b2,b3,b4,b5,b6，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为a1b1,a2b2,...,a6b6.设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，⋯，5这6个值，于是a1b1,a2b2,...,a6b6＝0＋1＋2＋⋯＋5＝15是个奇数.aibiaba1b1+a2b2...a6b6又与ii（i＝，，3⋯，126）的奇偶性相同，所以与a1b1a2b2...a6b6a1...a6b1b2...b60的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾 .例5 提示：不能，理由如下：将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A用1，B用2，⋯，Z用26代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁：1915218112419202661685247815314182021914222436251表丙 表丁这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：1→2，2→3，⋯，25→26，26→1.显然，每次操作不改变这 16个数字和的奇偶性，但表丙、表丁 16个数字的和分别为 213，174，它们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙．例6由于乘积x1x2x3x4,x2x3x4x5,...,xnx1x2x3都是＋1或－1，且总和为0．所以一定有偶数项，即n一定是偶数2m.m将上面的n个数相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m个，所以它们的乘积为1，另一方面，在乘积中，作为因数都出现四次，所以乘积为＋1，于是，m为偶数，故n是4的倍数．【能力训练】1．偶2.1999提示：由 ＋b＝2001知 ，b必为一奇一偶．又∵a是质数且a为偶数．∴a＝2，b＝997，故a＋b＝1999.19或254.19提示：在 中，十位数字是奇数的只有 ＝16， ＝36，两位数的平方可以表示为=100 ＋20ab＋ ，它的十位数的奇偶性与 十位数字的奇偶性相同，因此， b只能取4与6，即相邻的每 10个数中有两个数的十位数字是奇数．5．D 提示：设 是1，2，3，4，5中一个满足要求的数列，首先，对于 不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果 (1≤i≤3)是偶数，是奇数，则 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以， 只能是偶奇奇偶奇，故有如下 5种情形满足条件：① 2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.6．B 7．C 8．D9.提示：10．考虑黑板上保留奇数的个数 .经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变．如果是两个奇数，则和或差为偶数．奇数的个数减少2个；如果是两个偶数，则和或差为偶数．奇数的个数保持不变.由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变．由于一开始黑板上共有奇数，即有奇数个奇数．经过若干次操作后，黑板上一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为0．11．找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数a，b，c满足等式，则左边四个式子中至少有一个是偶数，不妨a＋b＋c为偶数，则a－b＋c＝(a＋b＋c)－2b，a＋b－c＝(a＋b＋c)－2c，－－(a＋b＋c)－2a