高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用 新人教A必修2

§4.2.3直线与圆的方程的应用

X2023/2/51.直线与圆的方程的应用2023/2/52.问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?分析:以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的直角坐标系,其中,取10km为单位长度.问题归结为圆O与直线l是否有交点2023/2/53.例1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约7.2m。求这座圆拱桥的拱圆的方程。A(－18.7，0)B(18.7，0)C(0，7.2)2023/2/54.圆心在y轴上，并且过三个点A(－18.7，0)，B(18.7，0)，C(0，7.2)。解：设圆心坐标为（0，b），所以圆的方程为：将B,C两点的坐标代入方程，得到方程组：所以圆的方程为：2023/2/55.例4、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）yx思考:(用坐标法) 1.怎样求出圆的方程？ 2.怎样求出支柱A2P2的长度？2023/2/56.解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得，b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m.2023/2/57.E例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.xyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)O`MN2023/2/58.oyx(6,0)(2,0)(0,0)ABDCEP2023/2/59.用坐标法解决平面几何问题的步骤：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.2023/2/510.练习1、求直线l:2x-y-2=0被圆C:(x-3)2+y2=0所截得的弦长.2、某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过?5OMNP2023/2/511.练习4、点M在圆心为C1的方程：x2+y2+6x-2y+1=0，点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0，求|MN|的最大值.2023/2/512.解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得，b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,