2017学年高中数学学业分层测评18平面向量基本定理（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评（十八)平面向量基本定理（建议用时:45分钟)［学业达标］一、选择题1。(2016·衡水高一检测）设e1,e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(）A。e1＋e2和e1－e2B。3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2D。e1和e1＋e2【解析】B中,∵6e1－8e2＝2（3e1－4e2），∴(6e1－8e2)∥（3e1－4e2),∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.【答案】B2。(2016·合肥高一检测）如图2.2.9,向量a－b等于（）图2.2.9A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2C。e1－3e2D。3e1－e2【解析】不妨令a＝eq\o（CA,\s\up13(→)），b＝eq\o(CB,\s\up13（→)），则a－b＝eq\o（CA，\s\up13(→)）－eq\o(CB，\s\up13（→）)＝eq\o(BA，\s\up13(→))，由平行四边形法则可知eq\o(BA，\s\up13(→))＝e1－3e2。【答案】C3。(2016·大连高一检测)如图2­2.10，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若eq\o（AB，\s\up13(→））＝a，eq\o（AD,\s\up13(→))＝b，用a、b表示eq\o（AG,\s\up13(→)）＝(）图2。2.10A。eq\f(1，4）a＋eq\f（1,4）b B。eq\f（1，3)a＋eq\f(1，3）bC。eq\f(3,4）a－eq\f(1，4)b D.eq\f（3,4)a＋eq\f（3，4)b【解析】易知eq\o（CF，\s\up13（→))＝eq\f(1，2)eq\o(CD,\s\up13(→））,eq\o(CE，\s\up13(→）)＝eq\f（1，2)eq\o（CB，\s\up13(→）).设eq\o（CG,\s\up13（→))＝λeq\o(CA,\s\up13（→）),则由平行四边形法则可得eq\o（CG，\s\up13(→)）＝λ（eq\o(CB，\s\up13（→））＋eq\o(CD，\s\up13(→）））＝2λeq\o（CE,\s\up13(→）)＋2λeq\o（CF,\s\up13(→）），由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1,即λ＝eq\f(1，4),从而eq\o(CG,\s\up13(→）)＝eq\f（1,4）eq\o(CA，\s\up13（→）)，从而eq\o(AG,\s\up13(→）)＝eq\f（3,4)eq\o（AC,\s\up13(→))＝eq\f（3，4）（a＋b）。【答案】D4.若D点在三角形ABC的边BC上，且eq\o(CD,\s\up13(→)）＝4eq\o(DB,\s\up13（→）)＝req\o（AB，\s\up13(→））＋seq\o(AC，\s\up13（→）)，则3r＋s的值为（）A.eq\f（16,5） B。eq\f(12,5)C。eq\f（8,5） D。eq\f(4，5）【解析】∵eq\o（CD，\s\up13（→))＝4eq\o(DB,\s\up13(→)）＝req\o(AB，\s\up13（→）)＋seq\o(AC，\s\up13(→))，∴eq\o（CD,\s\up13(→)）＝eq\f(4，5)eq\o(CB，\s\up13（→））＝eq\f(4,5)（eq\o（AB，\s\up13(→）)－eq\o（AC，\s\up13（→)))＝req\o（AB，\s\up13（→）)＋seq\o（AC，\s\up13（→）)，∴r＝eq\f（4,5),s＝－eq\f(4,5)，∴3r＋s＝eq\f（12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8，5）.【答案】C5。如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是(）A.若实数λ1,λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B。空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC。对实数λ1,λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对【解析】选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内,不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对.【答案】A二、填空题6。已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________。【解析】由题意可以设a＋λb＝λ1（－b＋3a）＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1，3)，,λ＝－\f(1，3）。）)【答案】－eq\f（1,3)7.设e1,e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2,b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________。【解析】因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝eq\f（a＋b，3）代入②得e1＝e2－b＝eq\f（a＋b,3）－b＝eq\f（1，3）a－eq\f(2,3）b，故有e1＋e2＝eq\f(1,3）a－eq\f（2，3)b＋eq\f（1，3)a＋eq\f（1，3）b＝eq\f(2,3）a－eq\f（1,3）b。【答案】eq\f（2,3）a－eq\f(1,3)b三、解答题8.如图2.2。11，平面内有三个向量eq\o（OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→)），eq\o（OC，\s\up13(→))，其中eq\o(OA,\s\up13(→））与eq\o（OB，\s\up13(→）)的夹角为120°，eq\o（OA，\s\up13（→））与eq\o（OC,\s\up13(→））的夹角为30°，且｜eq\o（OA,\s\up13（→)）|＝｜eq\o(OB，\s\up13（→)）｜＝1，eq\o（|OC，\s\up13（→）)｜＝2eq\r(3)，若eq\o(OC，\s\up13（→)）＝λeq\o(OA,\s\up13(→）)＋μeq\o(OB,\s\up13（→))(λ，μ∈R），求λ＋μ的值.图2。2­11【导学号:72010056】【解】如图,以OA,OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE,则eq\o(OC，\s\up13（→））＝eq\o（OD，\s\up13（→))＋eq\o(OE,\s\up13(→）），在Rt△OCD中,因为｜eq\o(OC,\s\up13(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以｜eq\o（OD,\s\up13（→））|＝4，|eq\o(CD,\s\up13（→）)｜＝2，故eq\o(OD,\s\up13(→))＝4eq\o(OA，\s\up13(→）)，eq\o(OE,\s\up13（→））＝2eq\o（OB,\s\up13(→）），即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6。9.（2016·马鞍山二中期末)如图2­2.12所示，在▱ABCD中，E,F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设eq\o(AB，\s\up13（→）)＝a，eq\o（AD，\s\up13（→））＝b.图2。2­12（1)用a，b表示eq\o(DE，\s\up13（→))；(2)试用向量方法证明：A，G,C三点共线。【解】（1）eq\o(DE，\s\up13（→)）＝eq\o（AE,\s\up13（→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o（AB，\s\up13(→)）＋eq\o(BE，\s\up13(→）)－eq\o（AD，\s\up13（→）)＝a＋eq\f(1,2)b－b＝a－eq\f（1,2)b。(2)证明：连接AC,BD交于O，则eq\o（CO,\s\up13（→））＝eq\f（1，2)eq\o(CA，\s\up13（→）），∵E，F分别是BC,DC的中点，∴G是△CBD的重心，∴eq\o（GO,\s\up13（→)）＝eq\f（1，3)eq\o（CO，\s\up13(→）)＝eq\f(1，3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)））eq\o(AC，\s\up13（→）)＝－eq\f（1,6)eq\o（AC，\s\up13(→））,又C为公共点，∴A，G，C三点共线。［能力提升］1.已知点O是平面上一定点，A，B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq\o（OP，\s\up13（→))＝eq\o(OA，\s\up13(→)）＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\o(AB,\s\up13（→）)，|\o(AB,\s\up13（→）)｜)＋\f（\o(AC,\s\up13（→））,|\o(AC,\s\up13（→)）|)))（λ∈［0，＋∞）），则点P的轨迹一定通过△ABC的()A。外心 B.内心C。重心 D.垂心【解析】eq\f(\o（AB，\s\up13（→））,｜\o（AB，\s\up13（→））｜）为eq\o（AB,\s\up13（→))上的单位向量，eq\f(\o(AC，\s\up13（→)),｜\o(AC，\s\up13(→)）|）为eq\o(AC,\s\up13（→））上的单位向量,则eq\f（\o(AB，\s\up13(→))，｜\o（AB，\s\up13（→))|)＋eq\f（\o(AC,\s\up13(→)），|\o（AC，\s\up13（→）)｜)的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD，\s\up13（→）)的方向.又λ∈［0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\o(AB,\s\up13(→)),｜\o（AB，\s\up13（→）)｜）＋\f(\o（AC,\s\up13(→))，｜\o（AC,\s\up13(→））|）)）的方向与eq\f（\o（AB，\s\up13（→))，|\o（AB，\s\up13(→)）|）＋eq\f(\o（AC,\s\up13（→)),｜\o（AC,\s\up13(→))｜）的方向相同.而eq\o(OP,\s\up13(→）)＝eq\o（OA，\s\up13（→))＋λeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\o（AB,\s\up13(→)）,|\o（AB，\s\up13(→))|）＋\f（\o（AC,\s\up13（→))，|\o（AC,\s\up13(→))|)））,∴点P在eq\o(AD，\s\up13(→))上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心。【答案】B2.如图2。2。13所示，OM∥AB,点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界)运动，且eq\o(OP,\s\up13(→))＝xeq\o（OA,\s\up13(→)）＋yeq\o(OB，\s\up13(→)).图2.2。13（1)求x的取值范围；（2)当x＝－eq\f（1，2）时，求y的取值范围。【解】(1)因为eq\o（OP，\s\up13(→））＝xeq\o（OA，\s\up13(→))＋yeq\o（OB，\s\up13(→))，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(－∞，0）。（2)如图所示，当x＝－eq\f(1,2)时,在OA的反向延长线取点C，使OC＝eq\f(1,2)OA，过C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，则CD＝eq\f(1，2)OB,CE＝eq\f(3，2)OB，要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，当点P在点D处时eq\o(OP,\s\up13(→）)＝－eq\f(1,2)eq\o(OA