山西省运城市第三中学2021年高一数学理联考试卷含解析

山西省运城市第三中学2021年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若，则实数的值为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（

）A. B. C. D.参考答案：A所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.3.已知函数，其中a∈R．若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为(

)A．k≤0 B．k≥8 C．0≤k≤8 D．k≤0或k≥8参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0时，f（x）=k（1﹣a2），进而得到，关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，即得△≥0，解出k即可．【解答】解：由于函数f（x）=，其中a∈R，则x=0时，f（x）=k（1﹣a2），又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2）即（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，所以△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．故答案为（﹣∞，0]∪[8，+∞）．故选D．【点评】本题考查了分段函数的运用，主要考查二次函数的性质，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．4.若奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，则在区间上是（

）

A．增函数且最大值为

B．增函数且最小值为

C．减函数且最小值为

D．减函数且最大值为参考答案：A5.已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD，则在折叠过程中，不能出现（）A.BD⊥AC B.平面ABD⊥平面CBDC. D.AB⊥CD参考答案：D对于A：取BD中点O，因为，AO所以面AOC，所以，故A对；对于B：当沿对角线折叠成直二面角时，有面平面平面，故B对；对于C：当折叠所成的二面角时，顶点A到底面BCD的距离为，此时，故C对；对于D：若，因，面ABC，所以，而，即直角边长与斜边长相等，显然不对；故D错；故选D点睛：本题考查了立体几何中折叠问题，要分析清楚折叠前后的变化量与不变量以及线线与线面的位置关系，属于中档题.6.若＋，对任意实数都有且，则实数的值等于（

）A．－１

B．－７或－１C．７或１

D．±７参考答案：B略7.若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是A.平均数为20，方差为8 B.平均数为20，方差为10C.平均数为21，方差为8 D.平均数为21，方差为10参考答案：A【分析】利用和差积的平均数和方差公式解答.【详解】由题得样本的平均数为，方差为.故选：A【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5参考答案：A【考点】E3：排序问题与算法的多样性．【分析】把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．【解答】解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．9.下列四组中的，，表示同一个函数的是（

）．A．， B．，C．，

D．，参考答案：D对于，，定义域为，，定义域是，定义域不同，不是同一函数；对于，，定义域是，，定义域为，定义域不同，不是同一函数；对于，，定义域为，，定义域是，定义域不同，不是同一函数；对于，，定义域是，，定义域是，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：．10.在数列{an}中，an＝31﹣3n，设bn＝anan+1an+2（n∈N*）．Tn是数列{bn}的前n项和，当Tn取得最大值时n的值为（）A.11 B.10 C.9 D.8参考答案：B【分析】由已知得到等差数列的公差，且数列的前10项大于0，自第11项起小于0，由，得出从到的值都大于零，时，时，，且，而当时，，由此可得答案．【详解】由，得，等差数列的公差，由，得，则数列的前10项大于0，自第11项起小于0．由，可得从到的值都大于零，当时，时，，且，当时，，所以取得最大值时的值为10.故选：B．【点睛】本题主要考查了数列递推式，以及数列的和的最值的判定，其中解答的关键是明确数列的项的特点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）下列各组函数中，偶函数且是周期函数的是

．（填写序号）①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx；④y=sin|x|；⑤y=|sinx|．参考答案：②⑤考点： 三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的性质；余弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 判断各个函数的奇偶性和周期性，从而得出结论．解答： 由于y=sinx为奇函数，故排除①；由于y=cosx为偶函数，且它的周期为2π，故满足条件；由于y=tanx为奇函数，故排除③；由于y=sin|x|不是周期函数，故排除④；由于函数y=|sinx|为偶函数，且周期为?2π=π，故满足条件，故答案为：②⑤．点评： 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．12.设（）在映射下的象是，则在下的原象是

。参考答案：略13.下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C14.已知正实数x，y满足＋＝，则xy的最小值等于_______。参考答案：15.（5分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为

．．参考答案：或﹣2考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 由垂直关系可得（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，解方程可得．解答： ∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，即（m+2）（m﹣2+3m）=0，解得m=或﹣2故答案为：或﹣2点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属基础题．16.函数的定义域为___________________参考答案：略17.函数f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调减区间为．参考答案：[﹣，0]，[，π]【考点】HM：复合三角函数的单调性．【分析】分解函数：令t=|cosx|，y=（）t，由y=（）t在R上单调递减，故只要考查函数t=|cosx|的单调递增区间，然后由复合函数的单调性可求f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调递减区间．【解答】解：令t=|cosx|，y=（）t，由于y=（）t在R上单调递减，函数t=|cosx|在[kπ，kπ+]（k∈Z）上单调递减，在[kπ﹣，kπ]上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f（x）=（）|cosx|的单调减区间为[kπ﹣，kπ]（k∈Z），故函数f（x）=（）|cosx|在[﹣π，π]上的单调减区间为[﹣，0]与[，π]．故答案为：[﹣，0]，[，π]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.写出命题的否定（1）p：$x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；参考答案：解析:（1）"x?R，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；19.（本小题满分12分）如图：在中，为中点,,,设（Ⅰ）试用表示；

（Ⅱ）试用表示．CBDMNA参考答案：解：（Ⅰ）

∴=

………………6分（Ⅱ），

………………9分

∴

………ks5u………12分20.已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．参考答案：【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．21.定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求当x＜0时，函数y=f（x）的解析式，并在给定坐标系下，画出函数y=f（x）的图象；（2）写出函数y=|f（x）|的单调递减区间．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，从而画出f（x）的图象即可；（2）根据函数的图象求出y=|f（x）|的递减区间即可．【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∵y=f（x）是R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，即当x＜0时，f（x）=x2+2x．图象如下图所示：（2）将y=f（x）图象在x轴下方的部分翻折到上方可得y=|f（x）|的图象．由图象知，函数y=|f（x）|的单调递减区间是：（﹣∞，﹣2]，[﹣1，0]，[1，2]．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AP⊥平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，（1）当DE∥BC时，求证：直线PB⊥平面ADE；（2）当DE⊥PC时，求证：直线PC⊥平面ADE；（3）当AB=BC时，求二面角A﹣PC﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）证明AP⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，DE⊥PB，即可证明PB⊥平面ADE．（2）证明BC⊥AD，AD⊥PC，结合DE⊥PC，即可证明PC⊥平面ADE．（3）说明∠AED是二面角A﹣PC﹣B的平面角，设AP=a，则AB=BC=a，在Rt△ADE中，可求得∠AED=60°，得到二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】（1）证：∵AP=AB，点D是PB的中点，∴AD⊥PB，∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AP⊥BC，∵AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB，∵DE∥BC，∴DE⊥PB，∴PB⊥平面ADE．

（4′）（2）证：∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，∴