北京市第四中学2020届高三数学调研卷(二)文(含解析)

北京市第四中学2020届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.已知全集

，

，

，那么

等于（

）A.

B.C.

D.【答案】C【解析】【解析】可求出会合B，此后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，

，.应选：C【点睛】此题主要考察会合的补集和交集运算，解析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（A.第一象限B.第二象限

意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易）C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【解析】由题意可得：

，据此确立复数所在的象限即可

.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.此题选择D选项.【点睛】此题主要考察复数的运算法例，各个象限内复数的特点等知识，意在考察学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，A.把上各点的横坐标伸长到本来的

，则下边结论正确的选项是（）2倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移

个单位长度，获得曲线B.把

上各点的横坐标伸长到本来的

2倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移

个单位长度，获得曲线C.把上各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移个单位长度，获得曲线D.把上各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移个单位长度，获得曲线【答案】C【解析】【解析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把上各点的横坐标伸长到本来的2倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移个单位长度，获得曲线，所以选项A是错误的；对于选项B,把上各点的横坐标伸长到本来的2倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移个单位长度，获得曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变，获得，再把获得的曲线向右平移个单位长度，获得曲线，所以选项C是正确的；对于选项D,把上各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移个单位长度，获得曲线，所以选项D是错误的.应选：【点睛】此题考察三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转变能力，属于基础题型．4.某工厂为提升生产效率，展开技术创新活动，提出了达成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，采用40名工人，将他们随机分红两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．依据工人达成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则以下结论中表述不正确的选项是( )A.第一种生产方式的工人中，有75%的工人达成生产任务所需要的时间最少80分钟B.第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C.这40名工人达成任务所需时间的中位数为80D.不论哪一种生产方式的工人达成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【解析】依据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再依据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，达成生产任务所需要的时间最少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，达成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，达成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人达成任务所需时间从小到大摆列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】此题考察茎叶图，考察基本解析求解能力.属基此题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图以下列图，则截去部分与节余部分体积的比为A.1：3B.1：4C.1：5D.1：6【答案】A【解析】【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为

2，上部棱柱的体积为：

；下部为：

，截去部分与节余部分体积的比为：

．应选：A．【点睛】此题考察三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考察计算能力.6.若A.若C.若

是两条不同样的直线，，则，则

是两个不同样的平面，则以下命题正确的选项是（；B.若，则；D.若

）；，则【答案】D【解析】【解析】在中，则或；在中，则与订交、平行或；在中，则与订交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同样的直线，，是两个不同样的平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与订交、平行或，故错误；在中，若，，，则与订交或平行，故错误；在中，若，，，则由线面平行的性质定理得，故正确．应选：【点睛】此题考察命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察空间想象能力，是中档题．《九章算术》中有以下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内任意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A.；B.；C.；D.【答案】C【解析】【解析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，进而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外面的概率，应选：【点睛】此题主要考察了几何概型的概率计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易解析推理能力.8.若函数

在其图象上存在不同样的两点

，其坐标知足条件：①

；②

的最大值为

0，则称；③

为“柯西函数”，则以下函数：；④．此中为“柯西函数”的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，联合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐一解析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，联合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.应选：B【点睛】此题主要考察柯西不等式，考察学生对新观点的理解和应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易解析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【解析】此题第一可以求出曲线的导函数，此后将带入曲线受骗算出纵坐标，再此后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后依据点斜式方程即可得出结果。【详解】由于曲线，所以将带入曲线中可得，带入导函数中可得，所以曲线在点处的切线方程为，即。【点睛】此题考察了曲线的某一点处的切线方程的求法，第一可以依据曲线方程计算出切点坐标，此后依据曲线的导函数计算出切线斜率，最后依据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考察对导数的理解，是简单题。10.若变量知足则目标函数则目标函数的最大值为________．【答案】28【解析】【解析】此题第一可以经过不等式组在平面直角坐标系上画出可行域，此后将目标函数化为直线方程的斜截式，经过数形联合即可得出最优解，最后带入目标函数中即可得出结果。【详解】以下列图，依据不等式组可画出可行域并求出可行域的三个极点坐标为、、，此后画出函数的图像，经过对函数平移可知过点目标函数取最大值，最大值为。【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目标函数的最值问题．此中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确立目标函数的最优解是解答的重点，重视考察了数形联合思想，及推理与计算能力，属于基础题。

时将数列3，6，9，依据以下规律摆列，记第行的第个数为，如，若，则_______．【答案】44【解析】【解析】此题第一可以经过数列来确立2020是数列的第673项，此后经过计算前多少行共有多少个数来确立第673项在哪一行，最后即可得出的值并计算出结果。【详解】由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，令数列为数列，则有，2020是数列的第673项，再由图可知：前1列共有1个数；前2列共有个数；前3列共有个数；前4列共有个数；；前36列共有个数；前37列共有个数；所以2020是第37列第7个数，故。【点睛】此题考察数列的有关性质，主要考察数列的某一项的项数以及数列的前项和，考查推理能力以及计算能力，考察学生从题意中获守信息并找寻规律的能力，是中档题。12.已知函数，实数知足，且，若在区间上的最大值是2，则的值为__________．【答案】【解析】【解析】利用函数的单一性可得||＝2，或＝2，分别查验两种状况下的最大值能否为2，可得结论．【详解】由题意得﹣＝，∴n，且,又函数在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴||＝2，或＝2．∴当||＝2时，m，又n，∴n＝e，此时，f2上的最大值为2，（x）在区间[m，n]知足条件．当＝2时，n＝，m，此时，f（x2|＝4，不知足）在区间[m，n]上的最大值为|条件．综上，n＝e，m．,故答案为．【点睛】此题考察了含绝对值函数的单一性、函数的最值的求法，表现了分类议论的数学思想，属于中档题．13.设为所在平面内一点，，若，则__________．【答案】-3【解析】【解析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】∵为所在平面内一点,，∴B，C，D三点共线.若∴，化为：=+，与=-+，比较可得：，解得.即答案为-3.【点睛】此题考察的知识重点：向量的线性运算及有关的恒等变换问题．14.若圆与圆相切，则的值为________.【答案】【解析】【解析】依据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得【详解】由于，所以由于两圆相切，所以或解得或.【点睛】此题考察两圆地点关系，考察基本解析求解能力.属基此题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和

的值.,，.．【答案】

(1)

或

.(2)

.【解析】解析

：（

1

）

，即或，或；(2)由，可得，，利用裂项相消法乞降即可.详解：（1）当时，，则当时，，即

或∴

或（2）由

，∴

，∴16.设函数

的图象的一个对称中心为

，且图象上最高点与相邻最低点的距离为．求和的值；若，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【解析】依据图象上相邻两最高点与最低点之间的距离由勾股定理列方程可得，再依据对称中心列式可解得；依据已知等式解得，再得，由和角的余弦公式可得．【详解】解：由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为得函数

的图象的一个对称中心为∴由知：∴∴【点睛】此题考察由的部分图象性质确立其解析式，考察同角三角函数关系式和两角和差公式的应用，属基础题．17.某商场营销人员进行某商品市场营销检查发现，每回馈花费者必定的点数，该商品当天的销量就会发生必定的变化，经过试点统计获得以下表：反应点数12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经解析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量（百件）与该天返还点数之间的有关关系.请用最小二乘法求对于的线性回归方程，并展望若返回6个点时该商品当日销量；2）若节日时期营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购置该商品的花费集体十分弘大，经过营销部调研机构对此中的200名花费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样检查，获得以下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）频数206060302010将对返还点数的心理预期值在和的花费者分别定义为“欲念收缩型”花费者和“欲念膨胀型”花费者，现采纳分层抽样的方法从位于这两个区间的30名花费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行追踪检查，求抽出的3人中最少有1名“欲念膨胀型”花费者的概率.（参照公式及数据：①回归方程，此中，；②【答案】（1）中位数的预计值为

，（ii

.），返回）看法析

6个点时该商品每日销量约为

2百件；（2）（i）

，【解析】【解析】(1)求出变量

的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，

可得线性回归方程的系数

,再根据样本中心点必定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；代入线性回归方程求出对应的的值，即可展望返回6个点时该商品每日销量；(2)利用分层抽样方法求得“欲念膨胀型”花费者与“欲念收缩型”花费者中抽取的人数，利用列举法获得全部的抽样状况共20种，此中最少有1名“欲念膨胀型”花费者的状况有16种，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）易知，，，，则y对于x的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每日销量约为2百件.（2）设从“欲念膨胀型”花费者中抽取人，从“欲念收缩型”花费者中抽取人，由分层抽样的定义可知，解得，在抽取的6人中，2名“欲念膨胀型”花费者分别记为，4名“欲念收缩型”花费者分别记为，则全部的抽样状况以下：共20种，此中最少有1名“欲念膨胀型”花费者的状况有16种，记事件A为“抽出的3人中最少有1名‘欲念膨胀型’花费者”，则.【点睛】此题主要考察回归方程的求法与应用、分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本领件个数是解题的重点，基本亊件的研究方法有(1)列举法：合适给定的基本领件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：合适于较为复杂的问题中的基本亊件的研究.在找基本领件个数时，必定要按次次逐一写出：先，.18.如图，四棱锥

.，再，..这样才能防备多写、漏写现象的发生中，，//

.

，

挨次

，为正三角形

.且.（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）若点终究面的体积.

平面的距离为

；2，是线段

上一点，且

//平面

，求四周体【答案】（1）看法析（2）【解析】【解析】（Ⅰ）证明，，可证平面平面；（Ⅱ）如图，连结，交于点，由于//，由（Ⅰ）点到平面的距离为2，所以点到平面的距离为，所以由可求四周体的体积.【详解】（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，所以，又，，所以，又，//，，，所以平面，又由于平面，所以平面平面.（Ⅱ）如图，连结，交于点，由于//，且，所以，连结，由于//平面，所以//，则，由（Ⅰ）点到平面的距离为2，所以点到平面的距离为，所以，即四周体的体积为.【点睛】此题考察面面垂直的证明以及锥体体积的实质，属中档题.19.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．1）求椭圆C及圆O的方程；2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1），；（2）【解析】解析：（1）依据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再依据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先依据直线与圆相切得一方程，再依据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先依据三角形面积得三角形底边边长，再联合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）由于椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得所以，椭圆C的方程为．由于圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）由于直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．由于，所以．所以，点P的坐标为．②由于三角形OAB的面积为，所以，进而．设，由（*）得，所以．由于，所以，即，解得舍去），则，所以P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的办理一般有两种办理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，合用于已知直线与椭圆的一个交点的