北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明

第一章三角形的证明1.1等腰三角形第1课时1.能说出证明三角形全等的几种方法,学会证明的基本步骤和书写格式.2.会证明等腰三角形的有关性质定理及其推论.3.灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明.前面我们已经学习了如果两个三角形满足条件SSS,SAS,ASA,那么这两个三角形全等;若满足条件AAS,SSA,AAA,这两个三角形还会全等吗?

1.如图,点A,D,C在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.求证:BC=DE.2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°，且AD=AE,求∠CDE的度数.解:∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,AD⊥BC.∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=70°.∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.1.全等三角形的判定方法共有四种,分别是_______,_______,_______,________.

2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_____,对应角_____.

3.等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)“三线合一”.SSS

SAS

ASA

AAS

相等相等第2课时1.会证明等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特征.2.掌握等边三角形的性质定理.在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?

1.如图,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠ADC=60°,求∠C的度数.解:设∠BAD=x°.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=x°,∠BAC=2∠BAD=2x°.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC=2x°.∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°,∴2x+x=60,∴x=20.∴∠B=∠BAC=40°.在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°.2.如图,△ABC是等边三角形,△ADE是等腰三角形,AD=AE,∠DAE=80°,当DE⊥AC时,求∠BAD和∠EDC的度数.解:当DE⊥AC时,∵AD=AE,∠DAE=80°,∴∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF=40°.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∴∠BAD=60°-40°=20°.∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∴60°+20°=50°+∠EDC,∴∠EDC=30°.1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的平分线分别_______.

2.等边三角形的三个内角______,并且每个角都等于______.

相等相等60°

第3课时1.学会证明等腰三角形的判定定理,并能运用它来判定一个三角形为等腰三角形.2.知道反证法的含义,能说出反证法的一般步骤,并能运用反证法进行简单的证明.等腰三角形的两个底角相等.反过来,有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

1.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的平分线AD,BD相交于点D,试说明△ABD是等腰三角形.解:∵AD平分∠MAC,∴∠MAD=∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠MAC=∠ABC+∠C,即∠MAD+∠CAD=∠ABC+∠C,∴∠CAD=∠C.∴AD∥BC.∴∠CBD=∠D.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.∴∠ABD=∠D.∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形.2.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.证明:假设三角形中的外角有两个角是锐角.

根据三角形的外角与相邻的内角互补,知与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这两个角的度数和一定大于180°,与三角形的内角和定理相矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中,外角最多有一个锐角.1.等腰三角形的判定定理:_________________________.简述为:_____________.

2.用反证法证明命题的步骤:(1)假设命题的结论_________;

(2)从这个假设出发,运用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件_________的结果;

(3)由____________判定假设

从而肯定命题的结论正确.

有两个角相等的三角形是

等角对等边不成立相矛盾矛盾的结果不成立等腰三角形第4课时1.会证明等边三角形的判定定理,并会运用这个定理进行相关的计算和证明.2.会证明含30°角的直角三角形的性质定理,并会运用这个定理进行相关的计算和证明.当一个三角形满足什么条件时是等边三角形?等边三角形是特殊的等腰三角形,当一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形呢?

1.如图,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等边三角形.求证:△ABE和△ACF是等边三角形.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°.∵EF∥BC,BE∥AC,∴∠BAE=∠ABC=60°,∠ABE=∠BAC=60°.∴∠E=60°.∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°.∴△ABE是等边三角形.同理可得,△ACF是等边三角形.2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4cm.求:(1)∠DAC的度数;(2)BC的长.解:(1)∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=30°.∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵AB⊥AD,∴∠DAC=120°-90°=30°.

(2)∵AD=4cm,∠B=30°,∠BAD=90°,∴BD=8cm.∵∠DAC=30°=∠C,∴DC=AD=4cm.∴BC=BD+DC=12（cm）.1.等边三角形的判定方法:(1)_______相等的三角形是等边三角形;

(2)_______相等的三角形是等边三角形;

(3)

的等腰三角形是等边三角形.

2.有一个角为30°的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于____,那么它所对的_______是______的一半.

三边三角有一个角是60°

30°

直角边斜边第一章三角形的证明1.2直角三角形第1课时1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理;并能应用性质进行计算和证明.2.能写出一个命题的逆命题,并会判断其真假,会识别两个互逆命题.要判定一个三角形为直角三角形,按以前学过的知识,你有几种方法?

1.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,DB=.(1)求AD的长.(2)△ABC是直角三角形吗?为什么?2.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假.(1)如果实数a=b,那么

;(2)直角都相等.1.直角三角形的判定:(1)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.2.直角三角形的性质:(1)两个锐角互余;(2)勾股定理;(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.3.如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题.第2课时1.会证明直角三角形的判定定理“HL”.2.能灵活运用直角三角形的判定定理进行说理证明.有两条边和一个角相等的两个三角形全等吗?如果这个角是直角,结论会有什么变化?

1.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,请添加一个条件,使△ACB≌△BDA.解:(1)AC=BD;(2)BC=AD;(3)∠CAB=∠DBA;(4)∠CBA=∠DAB.2.如图,点C,E,B,F在同一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.证明：∵AB⊥CF,DE⊥CF,

∴∠ABC=∠DEF=90°.

在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

∴BC=EF.

∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.

3.如图,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上.求证:CE=DE.证明:∵∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△ABC和Rt△ABD中,

AC=AD,AB=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴∠ABC=∠ABD,BC=BD.在△BEC和△BED中,

BC=BD,∠EBC=∠EBD,BE=BE,∴△BEC≌△BED(SAS).∴CE=DE.第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.求证：△ABC≌△DEF.ABCPDEFQ知识回顾ABCPDEFQ变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF

，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路.变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路.变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能全等，并给出证明.我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗?

情境引入定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN自主预习ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS).∴PA=PB.如果点P与点C重合，那么结论显然成立.几何语言描述ACBPMN这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图，∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).思考：你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题吗?

逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?如果是,请给出证明.新知探究已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.ABPACBP证明：（方法一）

过点P作PC⊥AB,垂足为C.∵PC⊥AB，∴△APC和△BPC都是直角三角形.

∵PC=PC,PA=PB，∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)，∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)，

∴点P在线段AB的垂直平分线上.ACBP.（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.∵C为AB的中点，∴AC=BC.

又∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，

即点P在线段AB的垂直平分线上.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP例1已知：如图，在△ABC

中，AB=AC，O

是△ABC

内一点，且

OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上），同理，点O在线段BC的垂直平分线上,∴直线AO

是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）．1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC=

°.EDABC760随堂练习2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵△BCE的周长等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50.

∴AC+BC=50.

∵AC=27，∴BC=23.比一比：你的写作过程完整吗？3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.

求证：PB=PC.PBDCA证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.∵BD=CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴AD所在的直线是线段BC的垂直平分线.∵P是AD上一点，∴PB=PC.3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点求证：PB=PC.深入探索：你还有其他的证明方法吗？

PBDCA1.线段垂直平分线的定理及证明2.线段垂直平分线的逆定理及证明3.两个定理之间的区别与联系知识梳理第一章三角形的证明1.4角平分线第1课时1.会证明角平分线的性质定理和判定定理.2.能运用角平分线的性质定理解决问题.如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D.现要修建一个货站P,使P到国道OA和OB的距离相等,且到工厂C,D的距离也相等.如果你是设计师,你会怎样解决这个问题呢?1.如图,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）.∴CF=EB.2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵BD=DC,BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是△ABC的角平分线.1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的

相等.

2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且

的点,在这个角的平分线上.

两边的距离到角的两边距离相等第2课时1.会证明三角形三个内角的平分线的性质定理.2.会运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题.某市有一块由三条马路围成的三角形绿地(如图),现准备在其中建一个亭子供人们休憩,要使亭子中心到三条马路的距离相等.你能确定亭子中心的位置吗?1.如图,在△ABC中,E是∠BAC,∠CBD的平分线的交点.求证:点E在外角∠BCF的平分线上.证明:过点E作EG⊥AB，EH⊥BC，EP⊥AC，垂足分别为G,H,P.

∵AE平分∠BAC,

EG⊥AB,EP⊥AC,∴EG=EP.

∵BE平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC,∴EG=EH.∴EH=EP,又∵EP⊥AC,EH⊥BC,∴点E在∠BCF的平分线上.2.在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD