第七章 应力状态和强度理论

〈怎样导致---应力状态理论？〉能算应力，会校核单独的弯曲和扭转

两个问题

应力叠加强度标准

应力状态理论强度理论FP§1概述第七章应力状态和强度理论弯+扭---怎么办？

PPmmnnPnnkmmPk一、一点的应力状态

过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状态。二、单元体xyzxyxzxyzyxyzzxzy

围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为单元体。

单元体相对两面上的应力大小相等，方向相反。

若所取单元体各面上只有正应力，而无切应力，此单元体称为主单元体。

一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析，也就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。123

只有正应力，而无切应力的截面称为主平面。

主平面上的正应力称为主应力。

一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：PP

⒈

若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。三、主平面和主应力

⒉

若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。ABPxxxxxx

⒊

若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向应力状态是最复杂的应力状态。三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪切应力状态特例根据单元体的局部平衡：拉中有剪剪中有拉结论

不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力的三个重要概念⑴

应力的点的概念;⑵

应力的面的概念;⑶

应力状态的概念.

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。

单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力指明哪一个面上

哪一点？

哪一点哪个方向面？微元或单元体

无穷小正六面体dx，dy,dz

®0

结论（1）一点的无穷个应力状态不独立，可以相互表示（2）任一点都存在一个主单元体

（六个面只有正应力无切应力）（3）三种应力状态（单向、二向、三向）§2平面应力状态的应力分析主应力目的

—

用一点某个微元上的应力表示其它无限多微元上的应力。伴随结果1.正应力极值—主应力状态2.从一个斜截面的应力构造一个单元体的应力分析方法：1.解析法

2.图解法符号规定：α角符号

由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。正应力拉应力为正压应力为负切应力

使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。公式推导：1.解析法应力极值由此得两个驻点2p和两个极值：）、（0101aa+极值正应力就是主应力\=

00atsxtxsy在切应力相对的方向上，且偏向于x

及y大的一侧222xyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（syty主单元体sx

某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。例题7.1在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。例题7.2

分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。

低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。例题7.3

分析圆轴扭转时最大正应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。

铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。

塑性材料（如Q235）试件受扭时，当最大切应力达到一定数值时，也会发生类似拉伸时的屈服现象，这时的切应力值称为屈服应力，用τS表示。试件屈服时，也会在试件表面出现纵向和横向的滑移线。屈服阶段后也有强化阶段，直到横截面上的最大切应力达到材料的剪切强度极限τb，试件就沿横截面被剪断，断口较光滑。

这主要由于Q235钢抗剪强度低于抗拉强度，所以试件因抗剪不足而首先沿横截面发生剪断破坏。

脆性材料（如铸铁）试件受扭时，当变形很小时便发生裂断，且没有屈服现象，断口与轴线成45º螺旋面。由于铸铁等脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力，于是便沿最大拉应力作用的斜截面发生拉断破坏。此时横截面上的最大切应力的值称为剪切强度极限，用τb表示。※解题注意事项：

⒈

上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。⑴x、y以拉为正，以压为负；⑵x沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负；⑶为斜截面的外法线与x轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。

⒉

求得主应力ˊ、〞与0排序，确定1、2、3的值。

⒊

0为主应力ˊ所在截面的外法线与x轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。

在0~3600，20有两个解，与此对应的0也有两个解，其中落在切应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。[补例1]求图示单元体的主应力、最大切应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。11330=11.98°[练习1]求图示单元体的主应力、最大切应力、并在单元体上标出主应力的方位。解：已知此解在第二、四象限，为本题解。此解在第一象限，不是本题解，舍掉；33110=－67.5°一、应力圆的方程式2.图解法（应力圆）圆心？—半径？—二、应力圆的画法第一种画法（1）在轴上作出

A0(x,0),B0(y,0)

（2）A0,B0的中点为圆心C（3）过A0垂直向上取x

得

A，CA为半径0sataCA0B0AB（4）以C为圆心、CA为半径画圆第二种画法（1）坐标系内画出点

A(x，x)

B(y，y)

（2）

AB与sa

轴的交点C是圆心（3）

以C为圆心以AC为半径画圆——

应力圆或莫尔圆sxtxsyxyOnsataaA(sx

,tx)OsataCB(sy

,ty)x2anD(

sa

,

ta)以上由单元体公式应力圆（原变换）下面寻求：由应力圆单元体公式（逆变换）只有这样，应力圆才能与公式等价换句话说，单元体与应力圆是否有一一对应关系？为什么说有这种对应关系？0sataCA(sx

,tx)B(sy

,ty)x2anD(

sa

,

ta)E2a0单元体与应力圆的对应关系（1）单元体的右侧立面——

应力圆的A点（20

）（2）斜截面和应力(，)——

应力圆上一点D点和坐标(，)（3）单元体上夹角

——

应力圆上CA

与CD

夹角

2

且转向一致sxtxsyxyOnsataaOsataCA(sx

,tx)B(sy

,ty)x2anD(

sa

,

ta)2a0（4）主单元体上1所在面法向是由x

轴顺时针转0

——

轴上应力圆最右端

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；

转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应——圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。ADa(sx

,tx)d(sy

,ty)c四、应力极值A(sx

,tx)COsataB(sy

,ty)x2a12a0s1s2s3五、平面应力状态的分析方法1、解析法

精确、公式不好记

一般公式2个（正、切应力），极值应力5个（极大与极小正应力，极大与极小切应力，主单元体方位角）2、图解法

不必记公式、数值不精确有没有集二者优点、避二者缺点

的方法？为此提出了如下方法——

3、图算法前半部——

画莫尔圆后半部——

看图精确计算例单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体3080单位：MPa8030OA

(-80,30)BCD1、取的中点C为圆心

以AC为半径画莫尔圆2、算出心标0C=-40，半径3、算出主应力、切应力极值4、算出方位角5、画出主单元体（1）A点对应于右垂面（2）右垂面顺时针转OA

(-80,30)BCD3080单位：MPa80

得主单元体的最大拉应力所在的面（3）垂直做主单元体的另一个面例题7.6

已知矩形截面梁，某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kN.m。绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm，h=100mm。1、画各点应力状态图2、计算各点主应力1点2点(处于纯剪状态)3点(一般平面状态)4点

两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a所示，梁的横截面尺寸示于图b中。试绘出截面c上a,b两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab单位：mm(b)例题7.7250KN1.6m2mC(a)AB解:首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图MC=80kN•mFSC左

=200kN+200KN50KN+80KM.m250KN1.6m2mCA横截面C上a点的应力为12015152709zab单位：mma点的单元体如图所示。由定出点由定出点以D1D2为直径作应力圆。oC(122.7,64.6)(0,-64.6)A1，A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1

和3。oC(122.7,64.6)(0,-64.6)A1A2A1

点对应于单圆体上1

所在的主平面主平面及主应力如图所示。oC(122.7,64.6)(0,-64.6)A1A212015152709zab单位：mmb点的单元体如图所示。B点的三个主应力为1所在的主平面就是x

平面,即梁的横截面C。例题7.8

自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面.ad面,db面是该点的主平面。例题7.9

构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。求主应力和最大切应力在应力圆上量取

已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试求角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。95MPa45MPa2oaabbC9545例题7.9’95MPa45MPa2oaabbC9545A1A2122a2bab

空间应力状态——三个主应力均不为零的应力状态；§3空间应力状态的概念s1s2s3xyzo因而独立的应力分量有6个一、空间应力状态的最普遍情况根据切应力互等定理，在数值上有二、应力状态的分类空间应力状态:

1,2,3均不等于零。平面应力状态:1,2,3中有一个等于零。单轴应力状态:1,2,3中只有一个不等于零。

受力物体内某一点处三个主应力1、2、3均为已知利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。三、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力首先研究与其中一个主平面(例如主应力3

所在的平面)垂直的斜截面上的应力。

用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。

与3所在平面垂直的斜截面上的应力可由1

、2作出的应力圆上的点来表示。

主应力3

所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力、与3无关,只由主应力1、2决定。与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力、可用由1

、3作出的应力圆上的点来表示。与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力、可用由2

、3作出的应力圆上的点来表示。该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。abc

截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc结论三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标1。A最大切应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标。ABAB最大切应力所在的截面与2

所在平面垂直,并与1与3所在的主平面各成45°角。上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态，只需将具体问题的主应力求出，并按代数值123的顺序排列。

单元体的应力如图a所示，作应力圆，并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。例题7.10因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x

截面和y

截面上的应力画出应力圆.

解:

该单元体有一个已知主应力oA1A246MPa-26MPa量得另外两个主应力为c该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为ocA1A2B根据上述主应力，作出三个应力圆。ocA1B从应力圆上量得A2据此可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置.ocA1A2B

其中最大切应力所在截面与2垂直，与1和3所在的主平面各成45夹角。

max例题7.13

图示为某点的应力状态，其最大切应力τmax=_____MPa.2001年长安大学（1）符号规定xyzxyyzzx

xyzxyyzzx

一、各向同性材料的广义胡克定律三个正应力分量：

拉应力为正压应力为负。§4应力与应变间的关系xyzo上面右侧面前面xyzo上面右侧面前面三个切应力分量:

若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上切应力矢的指向与坐标轴正向一致,或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上切应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该切应力为正,反之为负。

线应变:以伸长为正,

缩短为负。切应变:使直角减小者为正,

增大者为负。分别对应着直角

xoy，

yoz，zox

的变化。xyzo上面右侧面前面--泊松比（2）各向同性材料的广义胡克定律=++++

在线弹性范围内，小变形条件下，各向同性材料，沿坐标轴（或应力矢）方向，正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变。在平面应力状态下公式的适用范围:

在线弹性范围内，小变形条件下，各向同性材料。例题7.14

边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知，ν=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。

某点的应力状态如图所示,当σx,σy,σz不变,τx增大时，关于εx值的说法正确的是____.A.不变B.增大C.减小D.无法判定

εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。2000年西安建筑科技大学例题7.15例题7.16

一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为钢，E=200GPa，ν=0.3。现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为ε=5.2×10-4，试求圆轴所承受的扭矩。已知E=10GPa、=0.2，求图示梁n－n截面上

k点沿30°方向的线应变30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°补例1解：nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°30°-60°30°-60°nnk1m1m2mAB2001507575k30°30°-60°30°-60°薄壁筒内压容器(t/D≤1/20)，筒的平均直径为D，壁厚为t，材料的E、已知。已测得筒壁上

k点沿45°方向的线应变45°，求筒内压强p。

kptDxxyy解：筒壁一点的轴向应力：筒壁一点的环向应力：补例2

kptDxxyy45°-45°45°-45°二、各向同性材料的体积应变（2）各向同性材料在空间

应力状态下的体积应变123a1a2a3（1）概念:构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用

表示。

公式推导设单元体的三对平面为主平面,其三个边长为a1,a2,a3变形后的边长分别为a1(1+,

a2(1+2,

a3(1+3,因此变形后单元体的体积为123a1a2a3体积应变为表达式在平面纯剪切应力状态下：可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。

在任意形式的应力状态下，各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比，而与切应力无关。

在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x，y，z有关。仿照上述推导有

壁厚t=10mm，外径D=60mm

的薄壁圆筒，在表面上k点处与其轴线成45°和135°角即x、y

两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为m

的扭转力偶，如图所示。已知圆筒材料的弹性常数为E=200GPa和=0.3

，若该圆筒的变形在弹性范围内，且max=80MPa,试求k点处的线应变x、y

以及变形后的筒壁厚度。Dtymkx例题7.17Dtxymkxyk可求得解:从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示k点处的线应变x、y

为圆筒表面上k点处沿径向(z轴)的应变为同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为)处的径向应变为因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为t=10mm。0.50.50.25P

简支梁由18号工字钢制成。其上作用有力P=15KN

，已知E=200GPa,v=0.3。求：A

点沿00，450，900

方向的线应变A00450900例题7.190.50.50.25PA00450900设z=0解：zA(-)yA

,Iz

,d查表得出为图示面积对中性轴的静矩0.50.50.25PA00450900设z

=0A

(2)在三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度应为1、应变能密度的定义：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度2、应变能密度的计算公式:(1)单轴应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为§5空间应力状态下的应变能密度在线弹性范围内、小变形条件下受力的物体，所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力顺序无关。=123mm1-mm2-m3-m=+vε=vV+vd

状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的应变能密度称为体积改变能密度vV。

状态2的体积应变：

状态2无体积改变，只有形状改变，相应的应变能密度称为形状改变能密度vd。应变能｛体积改变而形成。形状改变而形成。用

vv

表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为体积改变能密度。用

vd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为形状改变能密度。应变能密度vε等于两部分之和123mm1-mm2-m3-m=+νε=νV+νd化简后，可得对于最一般的空间应力状态下的单元体，其应变能密度为即应变能密度vε等于体积改变能密度与形状改变能密度两部分之和。[例]边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为，顶面受铅直压力P作用，求钢块的体积应变θ

和形状改变能密度ud

。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：xyz补例用能量法证明三个弹性常数间的关系（1）纯剪切单元体的应变能密度为（2）纯剪切单元体应变能密度的主应力表示为txyA13拉、压弯曲切应力强度条件：扭转弯曲

一、引言正应力强度条件：§6强度理论及其相当应力2、材料的许用应力，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力，以此极限应力作为强度指标，除以适当的安全系数而得。即根据相应的试验结果建立强度条件。上述强度条件具有如下特点：1、危险点处于单轴应力状态或纯剪切应力状态。

二、强度理论的概念

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式，进行分析，提出破坏原因的假说，在这些假说的基础上，可利用材料在单轴应力状态时的试验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。三、基本观点

构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的。

材料破坏的两种类型（常温、静载荷）1.脆断破坏:无明显的变形下突然断裂。2.屈服失效:材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。在常温、静载荷下，常用的四个强度理论分两类第一类强度理论——以脆断作为破坏的标志包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论

第二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志包括：最大切应力理论和形状改变能密度理论第一强度理论（最大拉应力理论）

使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力σ1，只要σ1达到材料的强度极限σb材料将要断裂破坏。破坏条件强度条件该理论与均质脆性材料的实验结果吻合较好.四、强度理论第二强度理论（最大伸长线应变理论）

当材料的最大伸长线应变ε1达到材料单向受拉破坏时的线应变εb=σb/E时，材料将要发生断裂破坏。破坏条件强度条件该理论只与少数脆性材料的实验结果吻合.第三强度理论（最大切应力理论）

最大切应力是使材料发生屈服破坏的根本原因。只要最大切应力τmax达到材料单向受力时的屈服极限σs所对应的极限切应力τs=σs/2，材料将发生屈服（剪断）破坏。破坏条件强度条件第四强度理论（形状改变能密度理论）

形状改变应变能密度是引起材料屈服破坏的基本原因。只要复杂应力状态下材料形状改变应变能密度达到单向受力情况屈服破坏时相应的极限形状改变应变能密度，材料就会发生屈服破坏。破坏条件强度条件

在大多数应力状态下，脆性材料将发生脆性断裂，因而应选用第一强度理论；塑性材料将发生屈服和剪断，故应选用第三强度理论或第四强度理论。但材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为，而且与所处的应力状态、温度和加载速度有关。实验表明：塑性材料在一定的条件下(低温和三向拉伸)，会表现为脆性断裂，脆性材料在三向受压表现为塑性屈服。强度条件可统一写作：

(1)三向拉应力接近时，断裂破坏。例：一钢质球体发放入沸腾的热油中,将引起爆裂，试分析原因。受力分析：

钢球放入热油中，其外部因骤热而迅速膨胀，