广东省梅州市上八中学高三数学理测试题含解析

广东省梅州市上八中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.与双曲线有共同的渐近线,且经过点A(﹣3,2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()A.1 B.2 C.4 D.8参考答案：B【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得.从而所求双曲线方程的焦点坐标为,一条渐近线方程为，即4x-3y=0，所以焦点到一条渐近线的距离是，故选B.【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A． B． C． D．参考答案：D所以有化简可得，可得。

3.抛物线x2=4y的准线方程是（

）A.y=－1 B.y=－2C.x=－1 D.x=－2参考答案：A【分析】由的准线方程为，则抛物线的准线方程即可得到．【详解】解：由的准线方程为，则抛物线的准线方程是，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．4.对于下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若，，，则△ABC有两组解；③设，，,则；④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象。其中正确命题的个数是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.已知实数x,y满足约束条件则的最小值为A.27

B.

C.3

D.

参考答案：B略6.已知数列为等比数列，且，则（

）A． B． C． D．参考答案：A7.已知直线中的是取自集合中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于，那么符合这些条件的直线共有A.17条

B.13条

C.11条

D.8条参考答案：答案：A8.函数f(x)＝x2019＋a－1－3sinx是R上的奇函数，则f(x)的零点的个数为A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：9.已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b=

（A）（1，1）

（B）（-1，-1）

（C）（1，-1）

（D）（-1，1）参考答案：D略10.已知,则是不等式对任意的恒成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当－1＜x≤3时，若函数y＝f(x)－m|x|恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为

．参考答案：作出函数f(x)与y＝m|x|的图象．【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置关系．12.写出命题“，”的否定___________________.参考答案：,≥0略13.（5分）（x﹣2）6的展开式中x2的系数为．参考答案：考点： 二项式定理的应用．专题： 二项式定理．分析： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答： 解：（x﹣2）6的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣2）r?x6﹣r，令6﹣r=2，求得r=4，可得（x﹣2）6的展开式中x2的系数为?（﹣2）4=240，故答案为：240．点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.函数（且）恒过的定点坐标为______．参考答案：（1,2）试题分析：由对数函数的性质，令，则，此时函数恒过定点．考点：对数函数的图象与性质．15.已知双曲线的一条渐近线为，则__________．参考答案：的渐近线为，∴．16.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=

．参考答案：1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．17.在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是

．（结果精确到0.01）参考答案：0.30三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列a1,a2,…,a2015满足性质P：，．(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差数列，求an；(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015？(Ⅱ)求证：．参考答案：(Ⅰ)（ⅰ）设等差数列a1,a2,…,a2015的公差为d，则．由题意得，所以，即．当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，所以与性质P矛盾；当d>0时，由，，得，．所以．当时，由，，得，．所以．综上所述，或．（ⅱ）设a1,a2,…,a2015是公比为的等比数列，则当时，，则，与性质P矛盾.当时.与性质P矛盾.因此不存在满足性质P的等比数列a1,a2,…,a2015．(Ⅱ)由条件知，必有ai>0，也必有aj<0(i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j)．设为所有ai中大于0的数，为所有ai中小于0的数．由条件得a+a+…+a=，a+a+…+a=-．所以．19.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若=?cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据⊥，结合正弦定理和余弦定理求出B的值即可，（2）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥，∴（sinB﹣sinC）?（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）?sinA=0，∴b2=a2+c2﹣ac，∴2cosB=1，∴B=；（2）∵⊥，∴△ABC是RT△，而B=，故C=，由==2R，得：==2，解得：a=1，b=，故S△ABC=??1=．【点评】本题考察了向量数量积的运算，考察三角恒等变换，是一道中档题．20.（12分）（2016秋?闽侯县校级期中）已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2+1（1）求证数列{}是等差数列，并求出an的通项公式；（2）若bn=，求数列{b}的前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：由an+1=an+2+1=﹣1，∴﹣=1，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）=n，∴an=n2﹣1．（2）解：bn==（n+1）?2n，∴数列{b}的前n项的和Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）?2n，2Tn=2×22+3×23+…+n?2n+（n+1）?2n+1，∴﹣Tn=4+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1=2+﹣（n+1）?2n+1，可得Tn=n?2n+1．【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题满分13分）设，函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间。参考答案：（Ⅰ）∴.

………………3分（Ⅱ）令，得

………………4分函数定义域为R，且对任意R，，当，即时，，的单调递增区间是.

……………6分当，即时，0+0-0+↗

↘

↗所以的单调递增区间是，，单调递减区间是.……………9分当，即时，0+0-0+↗

↘

↗所以的单调递增区间是，，单调递减区间是.……………12分综上，时，的单调递增区间是.

时，的单调递增区间是，，单调递减区间是.时，的单调递增区间是，，单调递减区间是.

……………13分22.(本题满分13分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

幸福度730

8666677889997655

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度