广东省梅州市大埔中学2023年高三数学理模拟试题含解析

广东省梅州市大埔中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，且在上是增函数，则实数的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.复数等于

（

）参考答案：B3.下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；由三角形中，A=B?a=b?sinA=sinB，得：命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确．故选：D．4.若关于的不等式无解，则

（

）A.－3

B.－2

C.2

D.3参考答案：A5.过椭圆：的左焦点作直线轴，交椭圆C于A、B两点.若△OAB（O为坐标原点）是直角三角形，则椭圆C的离心率e为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A6.直线在平面内，直线在平面内，下列命题正确的是A．

B．C．

D．参考答案：D7.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A8.如果函数是奇函数，则函数的值域是(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为（

）

、

、

、

、参考答案：A略10.在正方体上任取三个项点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量=（﹣1，1），=（x﹣3，1），且⊥，则x=．参考答案：4略12.如图,△ABC内接于，过点A的切线交

直径CB的延长线于点P,若PB=4．BC=5.

则AB=__________.参考答案：13.已知函数的图象与x轴恰有两个公共点，则d=

。参考答案：14.等差数列的前项和为，若成公比为的等比数列，则=

；参考答案：或15.已知单位向量，且，若，则的最小值为________________．参考答案：16.已知锐角满足，则的最大值为

。参考答案：因为，所以，即，因为，所以。所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最大值是。17.

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．

（I）甲班10名同学成绩标准差____

乙班10名同学成绩标准差（填“>”或“=”或“<”）；

（Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2．（1）当k=0时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当k=0时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求函数导数，讨论k的范围，结合函数的单调性研究最值即可求k的取值范围．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e2x﹣1﹣2x，f'（x）=2e2x﹣2，…令f'（x）＞0，则2e2x﹣2＞0，解得：x＞0，令f'（x）＜0，则2e2x﹣2＜0，解得：x＜0，…所以，函数f（x）=e2x﹣1﹣2x的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．

…．（2）由函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2，则f'（x）=2e2x﹣2kx﹣2=2（e2x﹣kx﹣1），令g（x）=e2x﹣kx﹣1，则g'（x）=2e2x﹣k．

…由x≥0，所以，①当k≤2时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

…②当k＞2时，令g'（x）＜0，即2e2x﹣k＜0，则．即g（x）在上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在上小于0．即f'（x）＜0，所以f（x）在上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．综上，k≤2．

…19.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求多面体的体积.参考答案：（1）取的中点，连接.在中，是的中点，是的中点，所以，又因为，所以且.所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，故平面.（2）.20.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点[来，为中点，连接交于点，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB

；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．参考答案：见解析考点：几何选讲（Ⅰ）证明：因为AB是直径，

所以∠ACB＝90°

又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2

……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半径为．

21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求得c=1，结合隐含条件得到a2=b2+1，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由判别式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0，代入（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0求得P的坐标，然后写出直线F1Q方程为，联立方程组，求得x=4，即说明点Q在定直线x=4上．解答：（Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，因此a2=b2+1①，直线AB：，即bx﹣ay﹣ab=0．∴原点O到直线AB的距离为②，联立①②，解得：a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，（*）由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得：4k2﹣m2+3=0，将4k2+3=m2，即m2﹣3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得，∴，又F1（1，0），∴，则，∴直线F1Q方程为，联立方程组，得x=4，∴点Q在定直线x=4上．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题．22.如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，BF=2，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅱ）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD，证明RM∥FD，然后利用直线余平米平行的判定定理证明QR∥平面BCD．（Ⅱ）以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，面BDF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大小即可．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD∵O，Q为中点，∴OQ∥DF，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵DF⊥CD∴RM∥FD，又FR=3RC，∴，∴∵E为FD的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴OQ∥RM，且OQ=RM∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM又RQ?平面BCD，OM?平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵DF=2，，，∴BF2=BD2+DF2，∴BD⊥DF，又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系∵，∴∠