广东省梅州市总工会职工中学2022年高三数学文期末试卷含解析

广东省梅州市总工会职工中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则＝（

）A．1－2i

B．2－i

C．2＋i

D．1＋2i参考答案：D略2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为奇函数，则函数在区间上的值域是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据对称轴之间距离可求得最小正周期，得到；利用平移变换得到，根据为奇函数可求得，从而可得到解析式；根据的范围求得的范围，从而可求得函数的值域.【详解】由相邻两条对称轴之间的距离为，可知最小正周期为即：

向左平移个单位长度得：为奇函数

，即：，又

当时，

本题正确选项：【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题的求解，关键是能够根据函数的性质和图象平移变换的原则得到函数的解析式，进而可通过整体对应的方式，结合余弦函数的解析式求解出函数的值域.4.某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题若上存在不共线的三点到的距离相等，则.对以上两个命题，下列结论中正确的是（

） A．命题“且”为真 B．命题“或”为假 C．命题“或”为假 D．命题“且”为假参考答案：C略6.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积是（）A． B． C． D．2π参考答案： C【考点】球的体积和表面积．【分析】构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P﹣ABC的外接球，与棱长为1，1，．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为1，1，．∵对角线长为（）2+（）2=2．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，体积为×π×13=π．故选：C．7.下列有关命题的说法正确的是(

)．A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件.C．命题“若，则”的逆否命题为真命题.D．命题“使得”的否定是：“均有”．参考答案：C略8.等差数列{an}的前n项和为Sn，若（A）12

（B）18

（C）24

（D）42参考答案：答案：C解析：S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24，选C9.已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为(

)A．2

B．

C．

D．1参考答案：D10.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=3，则点A到平面PBC的距离为(

)A．4 B． C． D．参考答案：D【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用等体积法，求解点A到平面PBC的距离．【解答】解：PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=3，可得PB=PC==．底面三角形ABC的面积为：=12，棱锥是体积为：=12．点A到平面PBC的距离为h．VA﹣PBC==?h=5h，可得：5h=12，h=，故选：D．【点评】本题考查点到平面的距离距离公式的求法，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为

．参考答案：考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．解答： 解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为．故答案为：．点评：本题考查△AOB的面积小于的概率，确定0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π是关键．12.已知平面向量，的夹角为60°，，，则参考答案：13.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为6的概率是．参考答案：考点： 等可能事件的概率．专题： 计算题．分析： 根据题意，列举可得从5个小球中随机取出2个小球的标注的数字情况，分析可得其中满足小球标注的数字之和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答： 解：从5个小球中随机取出2个，其标注的数字情况有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），共10种情况，其中小球标注的数字之和为6的情况有（1，5）、（2，4），有2种情况，则其概率为=；故答案为．点评： 本题考查等可能事件的概率计算，关键是正确列举全部的基本事件，从而得到基本事件的数目和符合要求的基本事件的数目．14.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为＿＿＿＿参考答案：略15.某地教育部门欲派5名工作人员到3所学校进行地震安全教育，每所学校至少1人，至多派2人，则不同的安排方案共有＿＿＿种。（用数字作答）参考答案：16.（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）考点： 抽象函数及其应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围．解答： ∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x，x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示由图可以看出，当x=时，即D点．若a≥0，则f（+a）≥f（），不满足题意．所以a＜0．由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点．C点为f（﹣），此时a=﹣．所以a的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）点评： 本题考查了分段函数的图象和性质，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于难题．17.将函数的图象先向左平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。所得到的曲线对应的函数解析式是

；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知常数数列的前项和为，且（1）求证：数列为等差数列；（2）若且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；（3）若数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）∵∴，，

┄┄┄2分

∴

化简得：（常数），

∴数列是以1为首项，公差为的等差数列；

┄┄┄4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，

∴，∴

①当是奇数时，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

┄7分

②当是偶数时，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

综上可得：实数的取值范围是．

┄10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

设对任意正整数k，都存在正整数，使，

∴，∴

┄┄┄12分

令，则（或）

∴（或）

┄16分19.已知△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，其中b=2．（Ⅰ）若asin2B=bsinA，求B；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求△ABC面积的最大值．参考答案：【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式和正弦定理可得cosB，继而求出B，（Ⅱ）据题意得出，b2=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cosB≥，根据余弦函数的单调性得出答案【解答】解：（Ⅰ）由，得，由正弦定理得，得，又∵B∈（0，π），∴，（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，则有b2=ac=4，∴，当且仅当a=c=2时等号成立，∵y=cosx在（0，π）单调递减，且，∴B的最大值为．∴，当时，△ABC面积取得最大值．20.如图，A，B是椭圆+=1（a＞b＞0））的两个顶点．|AB|=，直线AB的斜率为﹣．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于C，D．证明：△OCM的面积等于△0DN的面积．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=，直线AB的斜率为﹣，建立方程组，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的面积公式，即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：依题意，得

…解得a=2，b=1．

…所以椭圆的方程为．

…（Ⅱ）证明：由于l∥AB，设直线l的方程为y=﹣，将其代入，消去y，整理得2x2﹣4mx+4m2﹣4=0．

…设C（x1，y1），D（x2，y2）．所以x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2…记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．由题意M（2m，0），N（0，m），因为x1+x2=2m，所以=|﹣x1+2m|=|x2|，…∵．

∴S1=S2

…21.已知函数f（x）=lnx﹣mx（m＞0）．（I）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）求函数f（x）的最大值g（m），并求使g（m）＞m﹣2成立的m取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最大值g（m），设h（m）=g（m）﹣（m﹣2），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（I）若m=1，则f（x）=lnx﹣x．所以．所以f'（1）=0，f（1）=﹣1．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（II）因为，当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．所以f（x）在上单调递增；在上单调递减．所以f（x）的最大值．g（m）＞m﹣2，即g（m）﹣（m﹣2）＞0．．设h（m）=g（m）﹣（m﹣2）=﹣lnm﹣m+1．因为，所以h（m）在（0，+∞）上单调递减．又因为h（1）=0所以当0＜m＜1时，h（m）＞h（1）=0．所以m取值范围为（0，1）．…22.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：

组号分组频数频率第一组[160,165)50．050第二组[165,170)0．350第三组[170,175)30第四组[175,180)0．200第五组[180,185]100．100合计

1001．00（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定，，的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率.参考答案：解：（1）由频率分布表知，， ------------3分因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组人，第四组人，第五组人．所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试。-----6分（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的