广东省梅州市星聚中学高二数学理上学期期末试题含解析

广东省梅州市星聚中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式的解集为(

)．A.(－∞,－1)∪(2,+∞) B. (－∞,－2)∪(1,+∞)C.(－1,2) D.(－2,1)参考答案：C2.已知函数f（x）=，则f′（x）=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】导数的运算．【分析】利用导数除法的运算公式进行求导即可．【解答】解：f'（x）=；故选D．3.若曲线(为参数)与曲线相交于,两点，则的值为(

).A．

B．

C．

D．参考答案：D4.国庆期间，甲去某地的概率为，乙和丙二人去此地的概率为、，假定他们三人的行动相互不受影响，这段时间至少有1人去此地旅游的概率为

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（

）A．2

B．3

C．4

D．8参考答案：A7.由直线曲线及轴所围图形的面积为

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm参考答案：B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．9.直线和圆交于两点，则的中点坐标为A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点、、，其中．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数有（

）个A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C由题意，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，即方程，由三个不同的实数解，即有三个不同的实数解，即函数与的图象有三个不同的交点，又由，当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，其图象如图所示，且当时，，要使得函数与的图象有三个不同的交点，则，所以①正确的；当时，即，解得或，所以当时，则所以②是正确的；结合图象可得，所以③是正确的；又由，整理得，又因为，所以，即，结合③可知，所以④是错误的，故选C．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为双曲线上一点，，为该双曲线的左、右焦点，若则的面积为

▲

．参考答案：略12.变量x，y满足(t为参数)，则代数式的取值范围是

．

．参考答案：13.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围是_____________.

参考答案：14.在两曲线和的交点处，两切线的斜率之积等于

.参考答案：15.下列命题：①?x∈R，x2+1＞0；②?x∈N，x2≥1；③?x∈Z，x3＜1；④?x∈Q，x2=3；⑤?x∈R，x2﹣3x+2=0⑥?x∈R，x2+1=0其中所有真命题的序号是

．参考答案：①③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①由?x∈R，x2+1≥1＞0，即可得出；②当x=0时，x2=0，即可判断出；③例如x=0∈Z，满足x3＜1，即可判断出；④由x2=3，解得x=±，为无理数，即可判断出；⑤举反例如x=0时，x2﹣3x+2=0不成立；⑥由x2+1=0在R范围内无实数根，即可判断出．【解答】解：①∵?x∈R，x2+1≥1＞0，因此①正确；②?x∈N，x2≥0，因此②不正确；③?x∈Z，例如x=0，满足x3＜1，故③正确；④由x2=3，解得x=±，为无理数，因此不存在x∈Q，满足x2=3，因此④不正确；⑤?x∈R，x2﹣3x+2=0，不正确，例如x=0时，x2﹣3x+2=0不成立；⑥∵x2+1=0在R范围内无实数根，∴不存在实数x满足x2+1=0，因此⑥不正确．综上可知：只有①③正确．故答案为：①③．【点评】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、一元二次方程的解与实数及判别式的关系，属于基础题．16.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，我们可得，，则=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）?an，∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n﹣1=（2n﹣1）?an，即中间项的值，等于所有项值的平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．17.若圆与圆相外切，则实数=

．参考答案：±3圆的圆心为，半径为圆的标准方程为：(x－m)2+y2=1其圆心为，半径为，两圆外切时，圆心距等于半径之和，即：，求解关于实数的方程可得：.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；

(2)求三棱锥的体积．参考答案：（1）连结交于E，连结DE∵D为BC中点，E为中点∴在中，∴为直线与所成的角∵侧棱长和低面边长均为2∴∴在中,……7分（2）∵，∴

在正中，D为BC中点，∴

∴∴…12分19.设等差数列的前n项和为求数列的通项

(2)设数列满足参考答案：略20.（本小题14分）已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，直线（）与相交于点D，与椭圆相交于、两点．求四边形面积的最大值．参考答案：（1）方法1：由知，设，因在抛物线上，故，

①又，则，

②，由①②解得，.

……………4分椭圆的两个焦点，，点椭圆上，由椭圆定义得，∴，又，∴，∴椭圆的方程为.……………6分方法2：由知，设，因在抛物线上，故，

①又,则，

②由①②解得，.

……………4分而点椭圆上，故有，即，

③又，则，

④由③④可解得，，∴椭圆的方程为．

……………6分（2）由题，直线的方程为，即，

……………7分设，其中．将代入中，可得，即，

………8分点到直线的距离为，同理，可得点到直线的距离为，………………10分又，所以四边形面积．

……………12分从而，当且仅当，即时，等号成立．此时四边形面积的最大值为．

……………14分21.在直角坐标平面内，已知点，动点满足

.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,轨迹的右端点为点N，求直线MN的斜率的取值范围.参考答案：解:(1)由椭圆的定义知，点P的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆，……….1分且，

∴……….……….3分∴动点的轨迹的方程是.

…4分

(2)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为,由方程组

消去，并整理得

……….……….5分设,,则

，………………6分∴

∴,,……………8分(1)当时，；……………9分(2)当时,

..且

.

……………11分综合(1)、(2)可知直线MN的斜率的取值范围是：.………………12分解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.(1)

当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；

…………5分(2)

当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,

由方程组

消去，并整理得

………6分ks*5u设,,则

，……………7分∴

,,

…9分.且

.

……………11分综合(1)、(2)可知直线MN的斜率的取值范围是：.………………12分略22.已知a为实数，函数．（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；（2）求在区间[0,2]上的最大值．参考答案：、解：∵

∴

……1分（1）∵

∴

……2分

∴