2023年二次函数与方程不等式综合题库教师版

二次函数与方程、不等式综合二次函数与方程、不等式综合中考规定中考规定板块考试规定A级规定B级规定C级规定二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会运用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析拟定二次函数的表达式；2.能从函数图像上结识函数的性质；3.会拟定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会运用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简朴的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；知识点睛知识点睛一、二次函数与一元二次方程的联系直线与抛物线的交点轴与抛物线得交点为.与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点.抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是相应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由相应的一元二次方程的根的判别式鉴定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.平行于轴的直线与抛物线的交点．也许有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故二次函数常用的解题方法求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要运用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可运用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的尚有二次三项式，二次三项式自身就是所含字母的二次函数；以时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象运用数形结合的方法来研究是非常有益的．设的二实根为，，，，且是预先给定的两个实数．当两根都在区间内，方程系数所满足的充要条件：∵，相应的二次函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，，，．当时的充要条件是：，，，．两种情形合并后的充要条件是：①当两根中有且仅有一根在区间内，方程系数所满足的充要条件；∵或，相应的函数的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是：②当两根都不在区间内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间的两旁时；∵相应的函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，．当时充要条件是：，．两种情形合并后的充要条件是：，③当两根分别在区间之外的同侧时：∵或，相应函数的图象有下列四种情形：当时的充要条件是：，，④当时的充要条件是：，，⑤（3）区间根定理假如在区间上有，则至少存在一个，使得．此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．例题精讲例题精讲一、二次函数与方程、不等式综合已知二次函数，且方程与有相同的非零实根．（1）求的值；（2）若，解方程.【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】（1）设的两根为，且，则，．于是，的两根为、，且，即．因此，．（2）由⑴得．又，则，解之得或，于是，的两组解为或．【答案】（1）；（2）或【考点】【难度】【题型】【关键词】【解析】【答案】已知二次函数，当自变量取时，其相应的函数值小于，那么下列结论中对的的是（）.的函数值小于 .的函数值大于.的函数值等于 .的函数值与的大小关系不拟定【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】选择【关键词】2023年，日照【解析】由题意得：此二次函数与轴有两交点，两交点横坐标为，，两交点的距离为，∵，∴，∵当取时，函数值小于，∴，∴，∴∴当取时，函数值大于∴选．【答案】B小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为时的值，小亮负责找值为0时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）小明认为只有当时，的值为.小亮认为找不到实数，使的值为.小梅发现的值随的变化而变化，因此认为没有最小值小花发现当取大于的实数时，的值随的增大而增大，因此认为没有最大值.【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】选择【关键词】2023年，烟台【解析】当时，解得，故对的当时，，故对的∵，当时，有最小值，但没有最大值.故错，对的.【答案】D已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】（1）由题意得，．∴．∵为正整数，∴．（2）当时，方程有一根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根．综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．当时，二次函数为，把它的图象向下平移个单位得到的图象的解析式为．（3）设二次函数的图象与轴交于、两点，则，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线通过点时，可得；当直线通过点时，可得．由图象可知，符合题意的的取值范围为【答案】（1）；（2）；（3）已知函数，，为方程的两个根，点在函数的图象上．（1）若，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；（3）若，当时，试拟定三者之间的大小关系，并说明理由．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】2023年，天津【解析】（1）∵，，，∴．将分别代入，得，解得，∴函数的解析式为．（2）由已知，得，设的高为，∴，即．根据题意，，由，得．当时，解得；当时，解得，∴的值为．（3）由已知，得，∴，，，化简得．∵，得，∴，则有．又，∴，∴当时，；当时，；当时，．【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，．已知方程的两个实根一个小于，一个大于，求的取值范围．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设，由于方程的两个实数根一个小于，一个大于，所以有即，解得所以．【答案】已知方程的两根均大于，求的关系式．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】设，由于方程的两根均大于，所以，解得故的关系式为，．【答案】，．设二次方程有一根比大，另一根比小，试拟定实数的范围．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设，由于方程有一根比大，另一根比小，所以有，即解得所以，故当时，原方程有一根比大，另一根比小．【答案】若二次方程在区间内仅有较大实根，另一根不等于，求的取值范围．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原方程可化为，由于方程较大实根在内，且另一根小于，所以有即解得所以，故当时，方程在内仅有较大实数根，且另一根不等于．【答案】已知方程有两个实数根，并且．证明：（1）；（2）．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（1）由韦达定理知．（2）设，则的图像是开口向上的抛物线，且与轴的两交点在与之间，所以，即，，所以，，故．若的二次方程，由于方程的解都位于的范围中，求正整数的值．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】设，由于方程的两个解都位于中，所以，满足条件由②得，符合条件的值为．由③得．把各值代入④，得，，．把各值代入①，得，，．符合条件的，的值是，．【答案】，设有整系数二次函数，其图像开口方向朝上，且与轴有两个交点，分别在、内，且的判别式等于，试求的值．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】依题意知，设的图像与轴的两个交点分别为，且，则，．由于，．．．．，所以，当时，为整数，，所以，．当时满足其它条件．【答案】，．当已知方程有两个大于的实根，求的取值范围．由于有两个大于的实数根，即若设，则该二次函数与轴的两个交点都位于的右边，开口向上，所以有，解得．若关于的二次方程的两根、满足，求实数的取值范围．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】设，根据题意得，即．解得或【答案】或方程有两实根，且两根都大于，证明．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】设，由于方程的两根都大于，所以有即解得【答案】已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．（1）若、均为负整数，且，求、的值；（2）若，，求证：．【考点】二次函数与方程、不等式组综合【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（1）由题意得，，由．又、均为负整数，所以，．故，．（2）由于，所以．从而，即当时，．由，即当时，．由于，所以．设是实数，二次方程的一个根属于区间，另一个根属于区间，求的取值范围．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】由于二次函数与轴的交点横坐标，是方程的根，于是与轴的两个交点必在两点，和两点，之间．令，，由于，所以在点左侧，函数值大于，又，所以．在点右侧，点左侧，函数值小于，所以．同理，．三式联立得：，，所以，，，所以．于是的取值范围是．【答案】已知、均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于且小于，求、的值．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】令，要使方程的两实数根都大于且小于，由函数的图象可知，要满足，即．已知、都为正整数，则由知、、．当时，由得，故，又由③得，矛盾；当时，由得，又由，的制约式得，故；当时，由得，即，又由，的制约式得，矛盾．综合可得．【答案】实数在什么范围内取值时，关于的方程的一个根大于而小于，另一个根大于而小于？【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】设，由题设及其示意图知抛物线与轴的两交点分别落在和内的充要条件是即解得．∴满足条件的的取值范围是．点评：本题中，通过四个不等式即可将抛物线的“位置”拟定，从而解不等式组求出的范围．一般地，在讨论一元二次方程根的情形时，要充足运用数形结合的思想，即先根据条件“定”出图象位置，由所给条件画出满足条件的图象，再由图象列出不等式(组)，最后解不等式(组)求解．【答案】已知方程有两个不同实根，求证：方程至少有一个根，在前一个方程的两根之间．（此处）【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】设方程的两根为，，则有，，且，，．令，则，，．所以抛物线上的两点，在轴的两侧，则方程至少有一根在前一方程两根之间．试证：若实数满足条件，这里时正数，那么方程有一个根介于和之间．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】只需对证明本题即可，由于当时，将与两端同时乘，即可化为的情形．现在分两种情况证明．（1）若．①假如，则方程有根．由可知，因而．显然．②假如，则由可知，这时任何都满足，自然涉及和之间的数．（2）若．令，注意到：．由可知：．①若，则．由不等式和可知，当时，方程由一根在区间中，而这个区间包含在中．②若，则．运用条件可得：．由于，故得．由不等式和可知，当时，方程有一根在区间中，而这个区间包含在之中．阅读材料，解答问题．例：用图象法解一元二次不等式：．解：设，则是的二次函数．∵，∴抛物线开口向上．又∵当时，，解得．∴由此得抛物线的大体图象如图所示．观测函数图象可知：当或时，．∴的解集是或．（1）观测图象，直接写出一元二次不等式：的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2023年，福建漳州【解析】（1）．（2）解：设，则是的二次函数．∵，∴抛物线开口向上．又∵当时，，解得．∴由此得抛物线的大体图象（图象略）．观测函数图象可知：当或时，．∴的解集是：或．【答案】（1）；（2）或阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．例如：考察代数式的值与的大小当时，，∴当时，，∴当时，，∴综上：当时，；当或时，（1）填写下表：（用“”或“”填入空格处）（2）由上表可知，当满足时，；（3）运用你发现的规律，直接写出当满足时，．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2023年，内江【解析】略【答案】（1）略；（2）或；（3）或．如图所示，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】2星【题型】填空【关键词】2023年，辽宁本溪【解析】由图可得或．【答案】或如下右图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是．【考点】二次函数与方程、不等式综合【难度】3星【题型】填空【关键词】2023年，山东德城【解析】由对称轴和可得：抛物线与轴的此外一个交点的坐标为，所以不等式的解集为或．【答案】或解不等式：．原不等式化为，解得，∴原不等式的解集为．对于满足的所有实数，求使不等式成立的的取值范围．【考点】二次函数与方程、不等式综合【