行置换算子集杨盘t的所有的行置换算子组成的集合教学内容

行置换算子集杨盘T的所有的行置换算子组成的集合引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列置换,T与T通过置换pq相联系,即T=pqT.则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现在T的同一列.设两个杨盘由置换r相联系,即T=rT.如果T中任意两个位于同一行的数字不出现在即T的同一列,则置换r必可表示为r=pq.引理3:设T和T是属于不同杨图[λ]和[λ]的两个杨盘,[λ]>[λ],则总能找到两个数字同时出现在T的同一行和T的同一列.引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行和杨盘T的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T,必有引理5:设是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘T的任意行置换p和列置换q,满足

则x与杨算子E(T)差一个常数因子,即引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本原幂等元.相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个不可约表示空间,其维数是n!的因子.引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的.不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.5.2对称群的不可约表示定理:杨算子E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间RGE(T)是对称群Sn的一个不可约表示空间,给出Sn的一个不可约表示;由同一杨图的不同杨盘给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.标准杨盘:在杨图上,每一行数字按从左向右增大,每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到的杨盘称为标准杨盘.记作定理:杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准杨盘的个数f[λ].杨图[λ]的标准盘个数的计算公式:gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.半正则表示:标准盘系列:从Sn的一个标准杨盘Tr[λ]出发,作标准盘系列:相应杨算子为相应本原幂等元为半正规单位(半正则母单位):定义算子为本原幂等元,且满足半正规单位(半正则母单位)定义:设属于同一杨图的标准盘和由置换相联系,即定义算子.为杨算子.构造Sn群代数RG的一组基其中上述这组基矢称为Sn群代数的半正规单位,满足1)半正规单位共有n!个,在群代数空间是完备的.2)每一个杨图[λ]对应与对称群Sn的一个不等价不可约表示.3)Sn群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵.4)在半正规基矢下,表示约化为5)Sn任意群元可写为相邻数字对换的乘积.求表示矩阵元V[λ](s)的规则,其中s=(k–1,k):1)当数字k–1和k在Tr[λ]的同一行时,对角元2)当数字k–1和k在Tr[λ]的同一列时,对角元当数字k–1和k不在Tr[λ]的同一行和同一列时,设Tu[λ]=sTr[λ],则其中ρ为Tr[λ]中数字k–1到k的轴距离的倒数.4)其它情况矩阵元为零.酉表示:定义对称群代数RG的新基矢其中是由杨图[λ]和r决定的数,称为盘函数.如果盘函数取为Cμ是标准盘Tr[λ]中数字n与第μ行最后一个数字的轴距离的倒数,μn是数字n所在行数.上述基矢给出对称群的酉表示.李代数:设g是数域K上的线性空间,对于任意X,Y∈g,定义李积[X,Y]∈g,如果李积满足下述条件:1)双线性.即对任意a,b∈K,X,Y,Z∈g,有2)反对称.即对任意X,Y∈g,有3)雅可比关系则称代数g为李代数.以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间g={X=aiXi|ai∈R}中,若定义李积为对易关系[X,Y]=XY-YX,则构成一个李代数.第六章李代数基础6.1基本概念■子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X,Y∈g1,李积运算都满足则g1称为李代数g的一个子代数.

群的乘法:两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换.■理想子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X∈g1,Y∈g,都有则g1在李积运算下是不变的,称为李代数g的一个理想子代数,或简称理想.

■中心:李代数g中所有与李代数对易的元素组成的集合,称为李代数g的极大可交换理想,或简称为李代数g的中心,即■直和:李代数g的两个理想g1和g2如果满足条件则称李代数g是理想g1和g2的直和.记为g=g1g2.■半直和:李代数g的两个子代数g1和g2如果满足则称李代数g是g1和g2的半直和.记为g=g1Sg2.■同构:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的一一对应的满映射P,且对任意a,b∈K和X,Y∈g满足则称李代数g1和g2同态.■同态:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的满映射P,且对任意a,b∈K和X,Y∈g满足则称李代数g1和g2同构.■单纯李代数:如果李代数g不具有非平庸理想,则称g为单纯李代数,或单李代数.■半单李代数:如果李代数g不具有非平庸可交换理想,则称g为半单李代数.■半单李代数的判据:判据1李代数g是半单李代数的充要条件为:g可以写作其理想的直和,即且gi均为单李代数.李代数的内导子:李代数g上的内导子是李代数g上的线性变换,设X∈g,则内导子ad(X)定义为半单李代数的嘉当判据:李代数g为半单李代数的充要条件是:李代数的基林型(基林度规张量):定义为下述对称张量其中是李代数g关于基矢X1,X2,…,Xn的结构常数,即即基林度规张量不退化,存在逆张量李代数的卡塞米尔算子:半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可对易.推广的卡塞米尔算子:李代数的内导子与基林度规张量的关系:李代数的导出代数-----子代数链:1.a)李代数g的导出链b)可解李代数:如果存在一个正整数k,使得则g称为可解李代数.c)可解李代数的每一个子代数都是可解李代数.d)可解李代数不含任何单纯李代数.b)幂零李代数:如果存在一个正整数k,使得则g称为幂零李代数.2.a)李代数g的降中心链c)幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数.幂零李代数不含任何单纯李代数.幂零李代数必为可解李代数定理:任意一个李代数g都可以表示为一个可解李代数与一个半单李代数的直和.例:so(3)李代数b)卡塞米尔算子a)基林度规张量6.2复半单李代数的正则形式■李代数基底(线性变换)------>另一组基底1.李代数上的本征值问题李代数g是r维复李代数,{Xμ}是g的一组基底,满足因{Xμ}是李代数g的一组基底,是g上一组线性无关的向量是关于{xν}的本征方程,有非平凡解条件为在复数域上有r个非平凡解,每个解称为李代数的一个根.2.李代数的嘉当子代数如果(1)选择A,使A的不同根的数目最大;(2)李代数g是半单李代数.则(a)只有ρ=0的根是简并的,而其余的非零根都是单的;(b)半单李代数的秩:零根ρ=0的简并度l

称为g的秩;(c)嘉当子代数:对零根ρ=0,有l

个线性无关的本征向量与之对应,记为Hi(其中i=1,2,…l),则l向量Hi张开r维李代数g的一个l维子代数,称为嘉当子代数(d)其余的(r–l)个非零根对应的本征向量Eα满足[A,Eα]=αEα,张开一个(r–

l)维子空间,称为嘉当子代数的补空间.3.李代数的根的性质

(1)设Hi是半单李代数g的嘉当子代数的基,满足[Hi,Hj]=0;Eα是A=λi

Hi的非零本征值(g的非零根对应的本征矢,满足[A,Eα]=αEα,则αi

可看作l向量空间中向量α的协变分量.根α则表示l向量空间中分量为αi的向量,称为根向量.对李代数的根进行分类证明:[Hi,Eα]是A的属于同一本征值的本征向量,α是非简并的

(2)如果Eα

和Eβ是g的两个非零根,则证明:半单李代数非零根是单根

(3)根的对称性质定理:对于半单李代数的每一个非零根α,必有一个根–α存在.证明:考虑基林度规张量根据根的性质(1)和(2),有所以,如果–α不是根,则基林度规张量的本征值α对应的行中所有元素为零,故det(gατ)=0.与半单李代数前提相矛盾.(1)规定Eα的归一化因子,使(2)gik看作向量α张开的l维空间的度规张量,且有(3)全反对称张量4.嘉当-韦尔基则基林度规张量为αi

为α的逆变分量.(4)半单李代数g的嘉当-韦尔基底(正则形式)正则形式下对易关系(结构常数)卡塞米尔算子:(1)如果α和β是半单李代数的非零根,则(2)如果α是半单李代数的根,则α的整数倍mα中,只有

α,0,–α才是根.5.关于根的几个定理且存在一个β的α根链或(3)如果α和β是半单李代数的非零根,则6.Nαβ的确定设半单李代数的根链为则7.根向量的图形表示(1)半单李代数根向量的性质如果α是根向量,则–α也是根向量;如果α和β是根向量(非零根),则c)如果α和β是根向量(非零根),则d)定义两个根向量α和β之间的夹角和长度比分别为取β为长度较长根向量;考虑到α和–α均为根向量,只需取锐角.可得下述几种情况秩l>2的单李代数:典型李代数的根系

l维根空间中,引进l个相互正交的单位向量根向量的图形表示1秩单李代数:李代数A1,l=1.(2)2秩半单李代数:(4)例外李代数及其根系8.素根和邓金图对于给定的半单李代数,有关其根向量的信息,可以从所有根向量集合的一个子集合得到.正根:在某个任意选定的基底下,如果根α+

的第一个不为零的坐标是正的,则称α+

为正根.通常,组成根图的一半非零根是正根.所有正根和的一半记为素根的概念素根(单纯根):如果一个正根不能分解为另外两个正根之和,则称这个正根是素根.上述B2的4个正根中,只有(0,1)和(1,–1)是素根.例:李代数B2的8个非零根:中,(1,0),(1,1),(0,1),(1,–1)是正根.素根系:所有素根组成的集合,用п来表示.对于秩为l的半单李代数,共有l个素根,它们是线性无关的,构成根空间一组基,每一个正根都表示为关于素根的定理(1)如果α和β是半单李代数的两个素根,则(2)如果α和β是半单李代数的两个素根,则这两个素根的夹角只能取90°,120°,135°和150°,设β是长根,则典型李代数的素根系:素根与基底选取有关邓金图:用图形表示半单李代数的素根系:一个小圆圈代表一个素根;夹角为120°,135°,150°的两个素根分别用单线、双线和三线连结;正交的两个素根不连;连线箭头由长根指向短根.典型李代数的邓金图:(a)李代数Bl(b)李代数Cl(c)李代数Dl嘉当矩阵:设∏={α1,α2,…,αl}是半单李代数的素根系,则称为元素构成的矩阵为嘉当矩阵.嘉当矩阵对角元恒为2,非对角元只能取0,–1,–2,–3例:9.典型李代数的根系单李代数根向量的完全集由其素根系和嘉当矩阵确定.如果α是正根,则如果已知m级正根和所有m级以下正根,则m+1级正根都具有问题:对于已知的m级正根,确定出素根αj,使得β是根.根据假设(1),ξ是已知的.且10.舍瓦累基底设g是秩为l的单李代数,α(m)是其第m个素根,定义下列3l个元素满足下述对易关系:3l个元素并不一定生成整个李代数g,舍瓦累基底中的其它元素由下式得到11.Nαβ的确定(1)考虑β的α根链12.例:李代数A2邓金图:(1)嘉当矩阵:由邓金图知,李代数A2

有两个素根α和β,长度相等,夹角为120°,即由此得到:嘉当矩阵:(2)根系:a.考虑β的α根链由于α和β均为素根,故β–α不是根,得到ξ=0.考虑α的β根链,同理可得β+α是根.b.考虑β+α的α根链由于β是根,β–α不是根,得到ξ=1.c.考虑β+α的β根链由于α是根,α–β不是根,得到ξ=1.d.所以,李代数A2共有3个正根:α,β,γ=β+α

6个非零根:α,β,γ,–α,–β,–γ2个零根.(3)根图(4)嘉当-韦尔基底取基底的规范化,使得:故可得再由β的α根链知(5)嘉当-韦尔基的对易关系(6)舍瓦累基对易关系定义:设g是李代数,V是复数域C上的线性空间,gl(n,C)是V上的一般线性李代数.如果存在一个从g到gl(n,C)的同态线性映射A,对于任意X,Y∈g,使得A:X→A(X)∈gl(n,C),且映射A保持g的运算规律不变,即则称映射A是李代数g的一个表示,V称为这一表示的表示空间.关于李群表示的几个定理:1.可解李群的每一个有限维不可约表示都是一维的.2.连通单纯紧致李群的不可约酉表示都是有限维的.3.连通单纯非紧致李群的不可约酉表示,除恒等表示外,都是无限维的.第七章李代数表示基础设g是半单李代数,g的嘉当-韦尔基底为李代数g的表示A可用基底的表示得到,即7.1半单李代数的表示则李代数g可表示为的表示矩阵保持g的李积运算规律不变,即权:权的概念:关于权的一些性质和定理:2.定理:半单李代数的任意表示空间V至少有一个权.推论:具有不同的权的本征向量相