函数的极值及其求_第1页
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第五节函数的极值与最大值最小值定义设函数f(x)若存在x0的邻域，对该邻域内的任何点x，且x≠x0均成立:则称是函数f(x)的一个极大值(或极小值)一、函数的极值及其求法在

(a,b)有定义，

x0∈(a,b)定理1(必要条件)定义注意:例如,使函数取得极值的点称为极值点.且在处取得极值,设f(x)在点可导,可导函数的极值点必定是它的驻点，但驻点不一定是极值点。函数的极大值与极小值统称为极值,定理2(第一充分条件)则f(x)在处取得极大值.

则f(x)在处取得极小值.

则f(x)在处无极值.

设f(x)在处连续,求极值的步骤:(1)求导数(3)检查驻点与不可导点两侧，导数的正负号(4)求极值(2)求驻点与不可导点解极大值极小值例1求出函数的极值.图形如下定理3(第二充分条件)证同理可证(2).设f(x)在处有二阶导数,则(1)当时,(2)当时,函数在处取得极大值;函数在处取得极小值;所以，函数f(x)在处取得极大值

解例2求函数的极值.例3解练习题1.函数的极大点为______,极小点为______,极小值为___。极大值为___,2.试问a为何值时，函数取得极值？是极大值还是极小值？并求此极值。二、最大值、最小值问题若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]有上的最大值与最小值。最值点极值区间端点驻点、不可导点区间端点步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,注意:如果区间内只有一个极值,3.比较大小,求出最大值、最小值;则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例1求函数在[－3,4]上的最大值与最小值.解=6(x+2)(x－3)驻点:x=1,x

=－2f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142,最大值:f(4)=142最小值:f(1)=7例2造一个容积为16π立方米的有盖圆桶，问如何选取底半径和高，可使用料最省。解设半径为x，高为y表面积:得驻点:x=2故选半径为2米、高为4米时，可是用料最省实际问题求最值时应注意:若目标函数只有一个驻点，则该点就是所求得最大(小)点。例3外切于单位圆的等腰三角形，三边长分别为多少时面积最小?ABCOEF解设x=

AO,则面积S驻点x=2所以x=2时,面积S最小故三边长均为面积最小.例4设A、B两城分别位于草原与沙漠之中，两区城的分界线为直线，求骑手从A到B的

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