初中数学沪科版九年级上册第23章　解直角三角形 名师获奖

锐角的三角函数—正弦与余弦课后作业：方案（A）一、教材题目：P116练习T3、T41．如图，分别写出两个直角三角形中∠A和∠B的各个三角函数.在平面直角坐标系内有一点P（2,5），连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝eq\f(3,5)，则AB等于()A．15B．12C．9D．66.(中考·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝eq\f(3,5)，则斜边上的高等于()\f(64,25)\f(48,25)\f(16,5)\f(12,5)9.(2023·乐山)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()\f(\r(3),3)\f(\r(5),5)\f(2\r(3),3)\f(2\r(5),5)10．(2023·崇左)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是()A．sinA＝eq\f(12,13)B．cosA＝eq\f(12,13)C．tanA＝eq\f(5,12)D．tanB＝eq\f(12,5)13.已知x＝cosα(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cosα的值．14．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB于点E，sinA＝eq\f(3,5)，求DE的长和菱形ABCD的面积．15．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得△BFE，点F落在AD上．(1)求证：△ABF∽△DFE；(2)若sin∠DFE＝eq\f(1,3)，求tan∠EBC的值．16.(2023·南充)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形；(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，求AB的长．答案教材解：(1)因为AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(102－42)＝2eq\r(21)，所以sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,5)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(21),5)，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2\r(21),21)，sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(21),5)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,5)，tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(21),2).因为BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(92－52)＝2eq\r(14)，所以sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2\r(14),9)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(5,9)，tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2\r(14),5)，sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(5,9)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2\r(14),9)，tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(5\r(14),28).点拨：本题先用勾股定理求出未知边，然后运用三角函数的定义求相应的三角函数值，求解时要分清对边和邻边．解：如图，过点P向x轴作垂线，垂足为Q.在Rt△PQO中，OQ＝2，QP＝5，所以OP＝eq\r(29).所以sinα＝eq\f(QP,OP)＝eq\f(5,\r(29))＝eq\f(5\r(29),29)，cosα＝eq\f(OQ,OP)＝eq\f(2,\r(29))＝eq\f(2\r(29),29)，tanα＝eq\f(QP,OQ)＝eq\f(5,2).点拨：本题关键是过点P向x轴作垂线，构造出以α为锐角的直角三角形．典中点9．D点拨：如图，过B点作BD⊥AC于点D，求出AB的长，AD的长，即可求得cosA的值．13．解：∵方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝eq\f(1,2)，又∵0＜cosα＜1，∴cosα＝eq\f(1,2).常见错解：∵方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝eq\f(1,2)，此时忽略了cosα(α为锐角)的取值范围是0＜cosα＜1，而错得cosα＝2或cosα＝eq\f(1,2).14．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴sinA＝eq\f(DE,AD)，∴DE＝sinA·AD＝eq\f(3,5)×10＝6(cm)．∴S菱形ABCD＝AB·DE＝10×6＝60(cm2)．15．(1)证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB＝∠ABF，∴△ABF∽△DFE.(2)解：由折叠可得FB＝BC，EF＝EC，∵sin∠DFE＝eq\f(1,3)，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(1,3)，即EF＝3DE.∴AB＝CD＝DE＋EC＝DE＋EF＝4DE，DF＝eq\r(EF2－DE2)＝2eq\r(2)DE.∵△ABF∽△DFE，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(FB,AB)，即FB＝eq\f(EF·AB,DF)＝eq\f(3DE·4DE,2\r(2)DE)＝3eq\r(2)DE.又∵FB＝BC，EF＝EC，∴tan∠EBC＝eq\f(EC,BC)＝eq\f(3DE,3\r(2)DE)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).16．解：(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD，共3对．(2)∵AD∥BC，∴∠DQC＝∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC＝∠DQM，∴∠MDQ＝∠DQM，∴MD＝MQ.∵AM＝ME，BQ＝EQ，∴BQ＝MQ－ME＝MD－AM.∵∠DFQ＝∠C＝90°，∴sin∠DMF＝eq\f(DF,MD)＝eq\f(3,5)，设DF＝3x，MD＝5x，∴BP＝PE＝PA＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(3x,2)，BQ＝5x－1.易知△AMP∽△BPQ，∴eq\f(AM,BP)＝eq\f(AP,