第8讲图形变换

第8讲图形变换

中南大学地学院GIS中心本讲内容齐次坐标表示法常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换变换矩阵的功能分区图形的复合变换2图形变换指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形坐标系不动而图形变动（几何变换）图形不动而坐标系变动（坐标变换）几何变换通常是以点变换为基础，即对图形对象的每个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新图形图形的拓扑关系不变3齐次坐标表示法将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量表示一个向量的齐次表示不是唯一的当齐次坐标的h为1时，称为规范化齐次方程

有n个分量的向量有n+1个分量的向量4齐次坐标技术的优点齐次坐标可以表达无穷远点对于h=0的齐次坐标表示无穷远点，如(a,b,0)表示ay=bx直线上的无穷远点采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的单一形式5二维图形几何变换二维图形的特点：可看成由若干小的直线段组成直线段由始、终端点连接而成实质：在不改变图形连线顺序的情况下，对一个图形的“点”作几何变换6二维图形几何变换的齐次表示法某一点P(x,y)行向量[xy1]齐次表示法一个图形的点集齐次表示法矩阵图形几何变换表示：变换后的点P’的坐标为：x’=(ax+dy+g)/(cx+fy+i)y’=(bx+ey+h)/(cx+fy+i)7几种常见的二维图形几何变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换8平移变换指不产生变形而移动物体的刚性变换Tx平行于x轴的方向上的移动量Ty平行于y轴的方向上的移动量y平移变换x9平移变换的齐次坐标表示平移矩阵：好处：采用齐次坐标表示法，使得平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法，从而与其余四种几何变换运算方式相统一简写为：10比例变换指图形相对于坐标原点，按比例系数(Sx,Sy)放大或缩小的变换Sx平行于x轴的方向上的缩放量Sy平行于y轴的方向上的缩放量yx相对于原点的比例变换11比例变换的齐次坐标表示比例矩阵：简写为：12比例变换的性质当Sx=Sy时，变换前的图形与变换后的图形相似当Sx=Sy=1时，图形不变，称为恒等变换当Sx=Sy>1时，图形将均匀放大，并远离坐标原点当0<Sx=Sy<1时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点当Sx≠Sy时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）当Sx<0时或Sy<0时，图形不仅大小发生变化，而且将相对于y轴、x轴或原点作对称变换13yxyxyxyx14整体比例变换整体比例变换，比例系数为1/S当0<S≤1时，图形等比例放大当S>1时，图形等比例缩小当S<0时，为等比例变换再加上对原点的对称变换整体比例矩阵：15旋转变换x两式合并可得：y指将图形围绕圆心逆时针转动一个θ角度的变换（规定逆时针转动方向为正）旋转变换16旋转变换的齐次坐标表示旋转矩阵：简写为：17对称变换指相对坐标轴、原点、线的对称变换（反射变换）相对于y轴对称：oyxyox相对于x轴对称：18相对于原点对称（即中心对称）yoxyox相对于直线y=x对称19xyoy=-x相对于直线y=-x对称简写为：20错切变换指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移变换）沿x轴方向关于y轴错切，即变换前后y坐标不变，x坐标呈线性变化 将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的倾斜线，而保持y坐标不变。xy△x21沿y轴方向关于x轴错切，即变换前后x坐标不变，y坐标呈线性变化

将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成φ角的倾斜线，而保持x坐标不变。y△yx简写为：22变换矩阵的功能分区变换矩阵可用3×3矩阵来描述左上角的2×2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；左下角的1×2子块可实现平移变换；右上角的2×1子块可实现投影变换；右下角的1×1子块可实现整体比例变换。23

比例变换、旋转变换对称变换、错切变换

平移变换

投影变换

整体比例变换24复合变换对于任何一个比较复杂的变换，都可以转换成若干个连续进行的基本变换。这些基本几何变换的组合称为复合变换，也称为级联变换。设图形经过n次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1,T2,…,Tn

则经T1变换后：经T2变换后：```

经Tn变换后：就为复合变换矩阵25复合变换矩阵对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相乘，形成总的复合变换矩阵T，再将变换前的坐标与T相乘，得到变换后的最终坐标一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严格按照一定的交换顺序26复合变换的类型连续平移变换连续比例变换连续旋转变换相对任一参考点的二维几何变换以平面内任一直线为对称轴进行对称变换27连续平移变换设点P(x,y)经过第一次平移变换T1(Tx1,Ty1)和第二次平移变换T2(Tx2,Ty2)后的坐标为P’’(x’’,y’’)设点P(x,y)经过第一次平移变换T1后的坐标为P’(x’,y’)设点P’(x’,y’)经第二次平移变换T2后的坐标为P’’(x’’,y’’)28得到连续平移变换的复合矩阵T为：

即连续的平移变换是平移量的相加29连续比例变换设点P(x,y)经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比例变换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为P’’(x’’,y’’)设点P(x,y)经过第一次比例变换T1后的坐标为P’(x’,y’)设点P’(x’,y’)经第二次比例变换T2后的坐标为P’’(x’’,y’’)30得到连续比例变换的复合矩阵T为：

即连续的比例变换是比例系数的相乘31连续旋转变换设点P(x,y)经过第一次旋转变换T1(旋转角度为θ1)和第二次旋转变换T2(旋转角度为θ2)后的坐标为P’’(x’’,y’’)设点P(x,y)经过第一次旋转变换T1后的坐标为P’(x’,y’)设点P’(x’,y’)经第二次旋转变换T2后的坐标为P’’(x’’,y’’)32得到连续旋转变换的复合矩阵T为：

即连续的旋转变换是旋转角度的相加33相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的比例变换平移变换，即将该参考点移到坐标原点处作相对于原点的比例变换平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置相对任一参考点的旋转变换平移变换，即将该参考点移到坐标原点处作相对于原点的旋转变换平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置34Oxy相对于任意点(x0,y0)的比例变换Oxy相对于任意点(x0,y0)的旋转变换(x0,y0)(0,0)θ(x0,y0)(0,0)35令任意点比例变换示意图平移平移比例则有36任意点旋转变换示意图平移平移旋转则有令37例：求点P(x,y)相对任一点M(x0,y0)作比例变换的变换矩阵。其中比例系数为(Sx,Sy)解：平移得平移矩阵T1为：

进行比例变换得比例变换矩阵T2为：

反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵T3为：38

因此，复合变换矩阵应为：39以任一直线为对称轴进行对称变换相对于平面内的任意条直线进行对称变换平移，使对称轴直线经过坐标原点绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如X轴）重合关于某个坐标轴（如X轴）进行对称变换绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向平移，使对称轴直线回到原来的位置40oxy41例：求点P(x,y)关于直线ax+by+c=0进行对称变换的变换矩阵解：根据直线方程，直线在X轴上的截距为-c/a(a≠0),直线在Y轴上的截距为-c/b(b≠0)。则直线与X轴的夹角为θ，θ=arctg(-a/b)。

首先沿X轴方向平移c/a个距离长度：平移矩阵： 再绕原点顺时针旋转θ角，使直线与X轴重合：旋转矩阵：(-c/a,0)o(