第十四章机械振动

第十四章机械振动前言：1、振动是物质的普遍运动形式2、某物理量在某一值附近作周期性变化—振动机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性变化3、简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动一、简谐运动1、运动学特征物体的位移(x)是时间的余弦(或正弦)的函数(或)物体的加速度与位移(x)成正比，而方向相反图示等图线2、动力学特征由牛顿第二定律得以弹簧和物体的振动（弹簧振子）为例，点处物体所受合外力为零，取图示ox坐标轴，物体在任一位置处受到弹簧作用的弹性力令则方程的解：物体作简谐运动，因此物体在线性回复力的作用下作简谐运动，或者说，运动物体具有上式动力学微分方程的，则该物体作简谐运动3、能量特征弹簧振子的动能和势能分别为因为，则总机械能为简谐运动系统的动能和势能随时间变化，但机械能是守恒的，其总能量与振幅(A)平方成正比（如图）二、简谐运动的特征物理量1、周期：物体作一次完全振动的时间得因，所以（固有周期）单位时间内物体的完全振动次数—频率单位时间内所作的完全振动次数的倍—角频率2、振幅A：在振动中，物体离开平衡位置的最大位移绝对值3、相位()，初相位()—确定简谐运动物体在任一时刻运动状态的物理量例如：某时刻的相位则物体的振动状态如时，初相物体的振动状态由即该时刻物体处于平衡位置，且向方向运动的状态即时刻物体处于位移为，且向x负方向运动的状态。反之，若某时刻，物体处于，且向x正方向运动则或又有则必然4、常数和的确定若已知时的位移和速度，则解得三、研究简谐振动的一种辅助方法1、旋转矢量法即和是由振动系统()的初始条件()所决定的自ox轴的原点作一矢量(A为振幅大小)，绕点以逆时针匀角速度转动，设时，矢量与ox轴夹角为，则任一时刻，矢量与ox轴夹角为()，矢量端点在ox轴上投影点的位置因此，旋转矢量的端点投影点在轴上的运动，可以用来表示物体在轴上的简谐运动2、旋转矢量法的应用（1）旋转矢量端点在轴上投影点的运动，形象而直观地展示了简谐运动。由于旋转矢量匀角速运动，因此给研究简谐运动带来方便。（2）旋转矢量把描述简谐运动的三个物理量直观地表示出来（3）用旋转矢量与轴夹角表示相位，不仅相位计算方便，而且有助于对相位概念的理解如前，时，时，运动状态，以及某时刻时的相位（如图）（4）在讨论振动合成时，带来极大方便三、简谐运动的研究1、研究的基本方法（1）正确运用简谐运动的特征和规律（2）旋转矢量方法的应用（3）振动曲线图2、典型例题例1、质量为的平底木船模型，其平均截面积为，竖直高度静浮在水中，若不计阻力，将其竖直再向下压入后，静止释放模型，求船模型的运动和运动方程（设水的密度为木船模型）解：取平衡时模型底部为坐标原点，取图示ox轴，当模型底部在图(b)位置时，其受的合力∴模型作简谐运动其角频率为由初始条件确定和（时）则振动方程解：从动力学进行分析例2、设地球是一个半径为的均匀球体，现假定沿直径凿通一条隧道。若有一质量为的质点在此隧道内作无摩擦的运动，求证此质点作简谐运动（P37，14-4）（1）地球球心为坐标原点作ox轴，当质点处于某位置x时，其受力∴质点作简谐振动式中为半径为的地球质量，若地球质量密度为，则所以讨论：（1）振动周期该周期恰等于人造地球卫星绕地球一周的时间！这是什么道理？（2）若地球上开凿另一隧道，如图，那么情况又如何例题3、已知物体作简谐运动的图线，试根据图线写出其振动方程解：方法Ⅰ设振动方程为由图知，又由图知所以则得由图知所以方法Ⅱ：旋转矢量法∴取由此得振动方程初相的确定：时质点位于点向轴负方向运动，则对应的旋转矢量位于位置，所以初相位角频率的确定：时，质点位于点向轴正方向，对应的旋转矢量位于位置，可见矢量旋转，则角频率为求：（1）质点运动方程（2）质点从运动到处最短时间例题4、已知质点作简谐运动，振幅，角频率，开始时，质点位于处，向轴负方向运动。解：（1）用旋转矢量法确定初相（如图），则（2）将代入运动方程。则又由题意得，此时取显然，计算结果是错误的！（为什么）分析：原运动方程中，表明质点的初始运动状态是从向轴正方向运动，显然与题意不符！按题意所指是从向轴负向运动到处所需时间。因此，其初始运动状态对应的初相，得然后以代入计算，仿前可得更简单的方法是运用旋转矢量法计算质点从运动到最短的时间，对应的旋转矢量是从运动到，则所需时间小结：1、初相位（相位）的物理意义2、旋转矢量法的应用四、单摆和复摆由转动定律1、单摆：设某时刻角位移为，则力矩（对A点）当角很小时（）（与比较）2、复摆：质量为m的物体绕水平轴自由摆动单摆作简谐运动，其简谐运动方程设质心到转轴距离为，复摆小角度摆动，则作用于复摆的力矩为所以复摆作简谐运动，且例题1、一均匀等边三角形薄板，质量为，高度为，如图，当其绕边转动时，已知转动惯量，求其微小振动的周期解：薄板作简谐运动，其式中，质心离转轴距离，所以例题2、图示一轻质绳一端连接轻质弹簧，其劲度系数为，绳另一端绕过一转动惯量为的薄圆盘与物体相连，圆盘半径为开始时，使弹簧处于原长，然后静止释放物体，求物体运动方程解：取物体、弹簧和圆盘为研究对象，分析它们受力，其动力学方程分别为且将物体⑴圆盘⑵弹簧⑶和代入式⑵得则物体作简谐运动，其周期为用能量方法研究系统的运动该系统（和地球）的机械能守恒，则有两边求导式中与上结果相同注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！五、简谐振动的合成（进一步认识研究简谐运动的重要性）1、同频率、同方向的两个简谐运动合成（仍为简谐运动）其中以上结果，可以用旋转矢量方法导出分别画出矢量和矢量由平行四边形法则求得和合成结果：（1）仍然作简谐运动，其振动方向和频率保持不变（2）两个重要的特例若合成加强若合成减弱（3）相位差任意值时，合振幅值在和之间2、多个同方向同频率简谐运动的合成设有个同方向、同频率的简谐运动，且振幅相等，相位差依次恒为，即由旋转矢量法求合成结果，图示，用多边形法则计算合矢量。其合成后仍为简谐运动，表达式为由几何关系得合矢量大小相位为：（1）若讨论：（N个矢量同方向）（2）若（N个矢量构成一闭合图形）如（如图）如（如图）3、两个同方向不同频率简谐运动的合成合成运动不再是简谐运动当两个频率很大且比较接近时，合成结果出现合振幅随时间发生周期性变化—“拍”设定性分析：用位移—时间曲线说明图(a)(b)分别表示两个分振动的位移—时间曲线(设)图(c)表示合振动曲线

虚线表示合振幅随时间周期性变化定量讨论：处两振动相位相同合振幅最大处两振动相位相反合振幅最小合振幅上述结果可以用旋转矢量合成法求得，如图可见其合振幅随时间作缓慢的周期性变化，合振幅在和之间时大时小的变化—“拍”的现象合振幅变化频率—拍频为六、两个垂直简谐运动的合成可见，合振动的轨迹一般为椭圆1、两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成得轨迹方程合振动轨迹为一条直线，合振动是简谐运动（如图）（1）若（或）（2）（或）合振动轨迹为正椭圆，当时为一圆（如图）2、两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成（1）与不同，合成运动复杂，且轨迹不稳定总结：简谐运动是研究复杂运动规律的基础（2）与为简单整数比，才有稳定轨迹—李萨如图（如图）七、阻尼振动、受迫振动、共振1、阻尼振动：系统在回复力和阻力作用下的减幅振动当物体速度不太大时，受到阻力(C为阻力系数）弹簧振子有设（固有频率）（阻尼系数）在阻尼较小时，解得式中—有阻尼时系统的角频率讨论：（1）阻尼振动位移—时间曲线（图示）（2）若过阻尼（图示b）（3）若临界阻尼（图示c）2、受迫振动：系统在周期性外力作用下的振动系统受力：回复力、阻力和周期性外力（驱动力）则