第四章量纲分析

流体动力学理论基础量纲分析和相似原理对工程实际中遇到的流体力学问题，通常的方法有理论分析、数值模拟和科学实验。由于边界条件的复杂性，直到目前为止，通过理论分析和数值模拟只能计算一些较为简单的问题，大量的问题还是要靠实验来解决，或是多种方法同时并用，相互验证，互为补充。流体力学实验是解决流体力学工程问题的一个重要手段，同时也是我们理解流体力学现象、验证流体力学假设、发展流体力学理论的重要手段。另一方面，实验要在理论指导下进行，否则将是盲目的。用什么理论指导实验，用什么准则设计模型，用什么参数整理成果，不仅对于流体力学实验研究是重要的，而且对于如何理解、评价、运用实验成果，及发展实验技术也是很重要的。本章内容量纲和谐原理量纲分析法流动相似原理

模型实验量纲和谐原理量纲和单位无量纲量量纲和谐原理量纲和单位自然现象的根本特点是客观性。描述和研究自然现象必然要进行量化表示，选择一组状态变量，从一个状态变化到另一个状态具有客观性。量化过程中由于度量标准的不同，引入了主观性。高斯原则量纲和单位在同一度量体系下从状态空间中的一点移向另一点的客观变化称为实质变化。实质变化度量变化在状态空间的给定点上，由于度量体系的变化导致的主观性数量变化称为度量变化。量纲和单位度量各种物理量数值大小的标准量，如长度单位为m或cm等。——“量”的表征单位Unit量纲Dimension是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别，如长度量纲为L。——“质”的表征量纲和单位基本量纲具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。国际标准单位制中有7个基本量纲，2个辅助基本量纲，流体力学中常用的基本量纲有3～4个。量纲和单位7个基本量纲长度m（米）L质量kg（千克）M时间s（秒）T温度K（开尔文）Θ

电流A（安培）光强Cd（坎德拉）物质的量mol（摩尔）2个辅助基本量纲平面角rad（弧度）立体角Sr（球面度）量纲和单位诱导量纲面积[A]=L2

速度[V]=LT-1加速度[a]=LT-2

力[F]=MLT-2

动力粘度[μ]=([F]/L2)/([V]/L)=ML-1T-1电压[U]=[P]/I=[W]/TI=[F]L/TI=ML2T-3I-1由基本量纲推导出来的其他物理量的量纲。量纲和单位力学中的量纲公式

几何学量纲

运动学量纲

动力学量纲无量纲量无量纲量（纯数）量纲可以简化为1的物理量，如雷诺数。

无量纲量的数值大小与所采用的单位无关无量纲量可以进行超越函数的计算量纲和谐原理

凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。量纲和谐原理只有量纲相同的物理量才能进行加减。不同量纲的物理量不能进行加减运算，但可以进行乘除运算。各物理量可以通过乘除运算成为量纲和谐的方程中的一项。一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。可用来建立物理方程式的结构形式。量纲和谐原理重要性量纲分析法瑞利法只适用于简单问题。布金汉定理（Π定理）具有普遍适用性。瑞利法瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。确定与所研究的物理现象有关的n个物理量将任一物理量写成其它物理量的指数乘积形式根据量纲和谐原理，确定物理量的指数a、b、···、m，即可得到各物理量之间的关系式。例题4-1已知作用在圆周运动物体上的离心力F与物体的质量m、速度V和圆周半径R有关，试用瑞利法给出离心力F的表达式。（1）根据已知条件，与该物理现象有关的物理量共有4个（2）根据题意，需要研究离心力F的表达式，首先将F表示为其它物理量的指数乘积形式（3）写出量纲表达式（4）选取L、T、M为基本量纲，用基本量纲来表示量纲表达式中各物理量的量纲（5）根据量纲和谐原理求出各量纲指数（6）代入指数乘积形式得例题4-2由实验得知流体在圆管作层流运动时，所通过的流量Q与流体的动力粘度μ，管道半径r0、管道长度l和管段两端的压强差Δp有关。且根据实测资料分析，已知Q与l成反比，与Δp成正比，试用瑞利法推求圆管层流的流量计算公式。（1）根据已知条件，与该物理现象有关的物理量共有5个（2）根据题意，需要研究流量Q的表达式，首先将Q表示为其它物理量的指数乘积形式（3）写出量纲表达式（4）选取L、T、M为基本量纲，用基本量纲来表示量纲表达式中各物理量的量纲（5）根据量纲和谐原理求出各量纲指数（6）代入指数乘积形式得Π定理Π定理若某一物理过程包含有n个物理量，可表示为其中有m个基本物理量，则该物理过程可由n个物理量所构成的n-m个无量纲组合量的关系式来描述Π定理Π定理的运用步骤（1）确定与所研究的物理现象有关的n个物理量（2）从n个物理量中选取m个独立的基本物理量量纲独立条件Π定理（3）将m个基本物理量依次与其它（n-m）个非基本量组合成（n-m）个无量纲π

项（4）写出各π

项的量纲表达式Π定理（5）根据量纲和谐原理求出各π

项的指数（6）将指数代入写出描述该物理过程的关系式，或将某一π

项表达与其它π

项的关系式例题4-3试用Π

定理推求圆球绕流阻力D的表达式。（1）根据已有实验资料可知，与该物理现象有关的物理量共有5个（2）选取3个独立的基本物理量、d、V量纲独立条件量纲独立（3）列出n-3=5-3=2个无量纲π

项（4）写出各π

项的量纲表达式（5）根据量纲和谐原理求出各π

项的指数（5）根据量纲和谐原理求出各π

项的指数（6）将指数代入写出描述该物理过程的关系式例题4-4试用Π

定理分析气体管路压强损失Δp的表达式。（1）根据已有实验资料可知，与该物理现象有关的物理量共有7个（2）选取3个独立的基本物理量、d、V量纲独立条件量纲独立（3）列出n-3=7-3=4个无量纲π

项（4）写出各π

项的量纲表达式（5）根据量纲和谐原理求出各π

项的指数（6）将指数代入写出描述该物理过程的关系式流动相似原理模型试验根据相似原理，将需要进行试验的实际流动区域制作成相似的小比尺的模型，根据模型试验结果，推测原型可能发生的现象。流动相似原理关键问题如何设计模型，使模型与原型流动相似如何把模型试验中得到的实验结果换算到原型力学相似力学相似几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件的相似力学相似几何相似原型和模型的几何形状相似，即两个流场相应的线段长度成比例，相应的夹角相等。下标p：prototype（原型）下标m：model（模型）力学相似运动相似两个流场相应点的速度方向相同，大小成比例力学相似运动相似平均流速比尺力学相似运动相似加速度比尺力学相似动力相似在两个流场的相应点上，其质点所受到的各种作用力均维持一定的比例关系。力学相似初始条件和边界条件的相似初始条件相似两个流体相应的边界条件相同，包含几何，运动和动力几方面。只适用于非恒定流。边界条件相似力学相似流动相似的含义几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据。动力相似是决定两个流动相似的主导因素。运动相似是几何相似和动力相似的表现。凡流动相似，必须满足几何相似、动力相似、运动相似、初始条件和边界条件相似。相似准则流体质点受力企图维持原有运动状态的力重力G、粘滞力T、动水压力P惯性力I企图改变原有运动状态的力相似准则惯性力比尺企图改变运动状态的力F的比尺相似准则根据动力相似牛顿数牛顿相似准则相似准则主要相似准则雷诺准则：粘滞力作用为主弗劳德准则：重力作用为主欧拉准则：流体动压力为主韦伯准则：表面张力为主柯西准则：弹性力为主相似准则雷诺准则（粘滞力相似准则）相似准则雷诺准则（粘滞力相似准则）雷诺准则相似准则弗劳德准则（重力相似准则）相似准则弗劳德数弗劳德准则（重力相似准则）弗劳德准则相似准则欧拉准则（压力相似准则）相似准则欧拉准则（压力相似准则）欧拉数欧拉准则相似准则韦伯准则（表面张力相似准则）相似准则韦伯准则（表面张力相似准则）韦伯数韦伯准则相似准则柯西准则（弹性力相似准则）相似准则柯西准则（弹性力相似准则）柯西数柯西准则马赫数马赫准则相似准则由定解方程推导相似准则定义比尺相似准则将上述比尺代入方程相似准则方程两侧乘以若流动相似，对应的定解方程必须相似，即上述方程各项前由比尺组成的系数必须等于1。相似准则相似准则斯特劳哈尔准则弗劳德准则（质量力只有重力时）相似准则欧拉准则雷诺准则模型试验模型律的选择

一般来说模型试验不可能做到完全相似，而只能近似相似，即保证对流动起主要作用的力相似。因此模型律的选择就是要选择一个合适的相似准则来进行模型设计。模型试验雷诺准则与弗劳德准则不可能同时满足若满足雷诺准则模型试验雷诺准则与弗劳德准则不可能同时满足若满足弗劳德准则模型试验雷诺准则与弗劳德准则不可能同时满足若同时满足二者模型试验模型设计根据原型要求的试验范围和现有试验条件选择长度比尺根据对流体受力的分析，找出主要作用力，从而选择相应的相似准则，并根据原型的最大流量计算模型所需的流量确定模型的几何边界模型试验按雷诺准则设计模型试验按弗劳德准则设计例题4-5以1:15的模型在风洞中测定气球的阻力，原型风速为36km/h，问风洞中的风速应为多大？若在风洞中测得阻力为687N，问原型中阻力为多少？（1）风洞中