第六讲相关性与Copula函数

第六讲相关性与Copula函数协方差和相关系数变量V1

和V2

的相关系数被定义为变量V1

和V2

的相关系数被定义为独立性两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立精确地讲，变量V1

和V2

在统计上被定义为相互独立，如果对于所有的x，下列等式成立f(﹒)代表变量的概率密度函数独立性并不等同于零相关假定变量V1

的值有三种均等的可能：–1，0，或+1如果V1=-1或V1=+1，那么V2=1如果V1=0，那么V2=0可以清楚地看到V1

和V2

有某种关联性，但它们的相关系数为0几种不同的关联形式监测相关系数定义

xi=(Xi−Xi-1)/Xi-1

和yi=(Yi−Yi-1)/Yi-1varx,n

：以第n-1天估计的X的日方差vary,n

：以第n-1天估计的Y的日方差covn

：以第n-1天估计的协方差相关系数为协方差第n天的协方差为经常被简化为监测相关系数（续）EWMA：GARCH（1，1）：协方差的一致性条件方差-协方差矩阵Ω满足内部一致性条件的不等式为：对于所有的向量w，满足二元正态分布假定两个变量V1

和V2

服从二元正态分布，假定变量变量V1

的某个观察值为v1，V2

在V1

=

v1条件下为正态分布，期望值为标准差为m1

和m2

分别为V1

和V2

的（无条件）期望值，s1和s2分别为V1

和V2

的（无条件）标准差，r

为V1

和V2

的相关系数多元正态分布很容易处理方差-协方差矩阵定义了方差和变量间的相关系数要满足内部一致性条件，方差-协方差矩阵就必须是半正定的生成随机样本：模特卡洛模拟在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（））来生成服从正态分布随机数对于产生多元联合正态分布的随机抽样要采用Cholesky分解的方法因子模型对N个变量之间的相关性进行估计，我们需要估计N(N-1)/2个参数采用因子模型进行估计，我们就可以减少估计参数的数量单因子模型假设Ui

服从标准正态分布，可设其中，共同因子F

和特异因子Zi

均服从标准正态分布Ui

和

Uj

的相关系数为

ai

aj高斯Copula函数假设我们希望在不服从正态分布的两个变量V1

和V2

之间定义一种相关结构我们将变量V1

和V2

映射到U1

和U2

上，这里的U1

和U2

均服从标准正态分布这种映射为分位数与分位数之间的一一映射假定U1

和U2

的联合分布为二元正态分布V之间的相关结构是通过U之间的相关结构定义的-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2相关性假设V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2一对一映射例V1V2V1

到

U1

的映射V1分布的分位数U10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2

到

U2

的映射V2分布的分位数U20.28−1.410.432−0.470.6680.470.8921.41例：计算联合概率分布V1andV2

都小于0.2的概率，等于U1<−0.84和

U2<−1.41的概率当Copula相关系数等于0.5时M（−0.84,−1.41,0.5）=0.043M是二元正态分布的累积分布函数其他Copula函数还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构一种可能是二元学生t-分布二元正态分布的5000个随机样本二元学生t-分布的5000个随机样本多元Copula函数类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，…，Vn

的边际分布我们将Vi

映射到Ui

，其中Ui

服从标准正态分布（这里的映射是分位数之间的一一对应）假定Ui

服从多元正态分布因子Copula模型在因子Copula模型中，变量Ui之间的相关结构通常被假定由一个或多个因子来决定贷款组合模型定义Ti为公司i的违约时间，将变量Ti的分位数与Ui

的分位数之间进行一一对应的映射，假定Ui

满足式F及Zi

为相互独立的正态分布定义Qi

为Ti

的累积概率分布当N(U)=Qi(T)时，Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)贷款组合模型（续）假设所有公司之间