微分方程模型人口的预测

微分方程模型人口的预测第一页，共四十页，2022年，8月28日微分方程模型

在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.求出方程的解

——求出未知函数的解析表达式

——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求近似解不必求出方程的解

——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势第二页，共四十页，2022年，8月28日

为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。

美丽的大自然

种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续，方便研究§5.6人口的预测第三页，共四十页，2022年，8月28日§5.6人口的预测世界人口年

1625183019301960197419871999人口（亿）

5102030405060中国人口年

1908193319531964198219902000人口（亿）

34.767.210.311.312.95研究人口变化规律控制人口过快增长做出较准确的预报建立人口数学模型第四页，共四十页，2022年，8月28日最简单的人口增长模型—常用公式记今年人口为

x0,k年后人口为

xk,，年增长率为r则第五页，共四十页，2022年，8月28日模型1

马尔萨斯（Malthus）模型——1798年提出假设：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。（2）

（1）的解为：符号：则（1）

于是x（t）满足如下微分方程：r--人口增长率（常数）（可分离变量微分方程）单位时间内人口的增长量第六页，共四十页，2022年，8月28日

马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：故（2）

当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人口指数模型。与常用公式的一致第七页，共四十页，2022年，8月28日模型检验用P164给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作单位），对模型作检验。参数估计：r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计（2）

（2）式两边取对数，得：（3）

以1790－1900年的数据拟合（3）式，用Matlab软件计算得：r＝0.2743/10年，所有散点到曲线的距离平方和最小第八页，共四十页，2022年，8月28日Matlab计算示范以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合：t=[0：11]；%输入数据x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];plot(t,x,’o’);

%画散点图y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（3）

输出结果：表示：第九页，共四十页，2022年，8月28日以1790-1900年共计12个数据为例画出拟合图形：t=[0:11];x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];y=log(x);p=polyfit(t,y,1);

%一次函数的最小二乘拟合f=polyval(p,t);

%计算所拟合函数的函数值ff=exp(f);

%因为事先取过对数plot(t,x,'o',t,ff,'-')axis([0120100])第十页，共四十页，2022年，8月28日以1790-2000年共计12个数据为例进行拟合：r=0.20743/10年，x0=4.1884第十一页，共四十页，2022年，8月28日r=0.2022/10年，x0=6.0450以1790-2000年共计22个数据为例进行拟合：第十二页，共四十页，2022年，8月28日模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。第十三页，共四十页，2022年，8月28日指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.

可用于短期人口增长预测.

不符合19世纪后多数地区人口增长规律.

不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第十四页，共四十页，2022年，8月28日模型2阻滞增长模型——逻辑斯蒂(Logistic)模型人口增长率应当与人口数量有关，即：r=r(x)

从而有：（4）r(x)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(x)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令此时得到微分方程：或（5）（5）可改写成：

（6）r--固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）第十五页，共四十页，2022年，8月28日

(2.6)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为xm（近似地将xm看成常数），x表示当前的种群数量，xm-x恰为环境还能供养的种群数量，（2.6）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（2.6）也被称为统计筹算律的原因。（2.5）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。或（5）（6）dx/dtxOxmxm/2第十六页，共四十页，2022年，8月28日对（6）分离变量：两边积分并整理得：令x(0)=x0，求得：故（6）的满足初始条件x(0)=x0的解为：（7）易见：x(t)的图形请看图2txOxmx0xm/2S形曲线x增加先快后慢第十七页，共四十页，2022年，8月28日dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)指数增长模型Logistic模型的应用

经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量)，新产品的推广.

种群数量模型(鱼塘中的鱼群,森林中的树木).S形曲线第十八页，共四十页，2022年，8月28日参数估计先估计模型参数r,xm

.模型检验阻滞增长模型由统计数据用线性最小二乘法作参数估计例：美国人口数据(百万)t186018701880…19601970198019902000x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4r=0.2557/10年，xm=392.0886第十九页，共四十页，2022年，8月28日年实际人口计算人口(指数增长模型)计算人口

(阻滞增长模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指数增长模型阻滞增长模型第二十页，共四十页，2022年，8月28日用模型计算2000年美国人口误差约2.5%与实际数据比较(2000年281.4)=274.5模型的检验和预报

为作模型检验在参数估计时未用2000年实际数据加入2000年数据重估模型参数r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0

预报美国2010年人口美国人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美国总人口为3.087亿.预报误差不到1%！第二十一页，共四十页，2022年，8月28日Malthus模型和Logistic模型的总结

Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（4）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。

用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。

Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。第二十二页，共四十页，2022年，8月28日新产品的推广

经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭煲销售模型。

设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电饭煲数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为K－x(t)，于是由统计筹算律：记比例系数为k，则x(t)满足：

此方程即Logistic模型，解为：还有两个奇解:x=0和x=K

对x(t)求一阶、两阶导数：第二十三页，共四十页，2022年，8月28日容易看出，x’(t)>0，即x(t)单调增加。由x’’(t0)=0，可以得出=1，此时，。当t<t0时，x’’(t)>0，x’(t)单调增加，而当t>t0时，x’’(t)<0，x’(t)单调减小。实际调查表明，销售曲线与Logistic曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合。在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。第二十四页，共四十页，2022年，8月28日定义

含有未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程.定义

如果一个函数代入微分方程后，方程两端相等，则称此函数为微分方程的解.通解特解例如，都是微分方程的解.是微分方程的解，因为附：微分方程简介第二十五页，共四十页，2022年，8月28日一、可分离变量微分方程一阶微分方程的一般形式是：如果一个一阶微分方程能写成形式，即能把微分方程写成一端只含y

的函数和dy，例如定义另一端只含x

的函数和dx，则原方程就称为可分离变量的微分方程.第二十六页，共四十页，2022年，8月28日的通解.分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)或(此式含分离变量时丢失的解y=0)例1求微分方程解:说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.第二十七页，共四十页，2022年，8月28日标准形式：未知函数及其导数都是一次的微分方程称为一阶线的系数是都是已知函数.如果称为一阶齐次线性微分方程.性微分方程.它的标准形式中二、一阶线性微分方程的系数是1，和都在方程的左边，和，则方程变为如果,则称为一阶非齐次线性微分方程.1.一阶线性微分方程的概念第二十八页，共四十页，2022年，8月28日方程两边积分后得即为齐次方程的通解.（C为常数）分离变量后得将一阶齐次线性微分方程2.一阶齐次线性微分方程的通解第二十九页，共四十页，2022年，8月28日常数变易法作变换求解一阶非齐次线性微分方程则即两边积分，得故非齐次线性微分方方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程特解把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.第三十页，共四十页，2022年，8月28日解：例1第三十一页，共四十页，2022年，8月28日二、伯努利（Bernoulli）方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.除方程两边,得解法:(线性方程)第三十二页，共四十页，2022年，8月28日的通解.解:

令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:例1

求方程第三十三页，共四十页，2022年，8月28日四、二阶线性微分方程时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.齐次方程通解非齐次方程特解解的结构线性无关）第三十四页，共四十页，20