普通物理 第八章 稳恒电流

第八章稳恒电流本章主要讨论导体内形成的不随时间改变的稳恒电流。要在导体内维持一稳恒的电流分布（电流场），必须在其中建立一稳恒电场。所以我们首先说明稳恒电场与电流分布之间的定量关系：欧姆定律的微分形式。导体内的稳恒电场虽然有与静电场相同的性质，但它是依靠电源（例如化学电池）来维持的。电源的作用是使稳恒电流在闭合回路中进行，一方面电源要不断作功，将其他形式的能量转化为电能，另一方面，电流在回路中产生热效应或以其他形式消耗电能。因此，电路中的功能关系或能量转换关系也是本章的重点内容—焦耳—楞次定律。

8.1稳恒电流电流密度一、电流电流强度1、电流

电荷的定向移动，简称电流。形成传导电流的条件是：①物体中存在可以自由移动的电荷，即载流子（电子或离子）；②存在电场。按习惯，规定正电荷流动的方向为电流的方向。2、电流强度电流的强弱用电流强度来描述，其定义为：单位时间内通过某导体横截面的电量。大小：单位（SI）：安培（A）方向：规定为正电荷运动方向。电流强度是标量，通常所说的电流方向是指正电荷在导体内移动的方向，并非电流是矢量。

当I=dq/dt=常数时，即电流强度的大小和方向都不随时间发生变化时，这种电流称为稳恒电流，也叫直流电流；当I随时间发生周期性变化时，称为交变电流；当I随时间作正弦规律的变化时，称为正弦交流电。

电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。当遇到电流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的情况时，导体的不同部分电流的大小和方向都可能不一样。有必要引入能够细致描述电流分布的物理量——电流密度矢量，即需引入一个描述空间不同点电流的大小的物理量。二、电流密度导体中某点的电流密度，数值上等于通过该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度。方向：该点场强（电流）的方向。单位（SI）:安培·米-2量纲：IL-2电流密度和电流强度的关系穿过某截面的电流强度等于电流密度矢量穿过该截面的通量。电流强度是电流密度的通量。三、稳恒电流的连续性方程

在导体内任取一个闭合曲面S，因为闭合曲面S的法线正方向总是规定向外的，所以通过该闭合曲面的j通量，就是面内向外流出的电流强度，亦即单位时间内向外流出的电量。根据电荷守恒定律，从曲面内流出的电量应等于面内电量的减少量。设闭合曲面内的电量为q，则有该式称为电流连续性方程。对于稳恒电流，由于I的大小和方向都不随时间发生变化，这样形成电流的电场就必须是一个稳定场，产生电场的电荷就必须是一个稳定的分布，这样对于任一闭合曲面S，必有此即为稳恒电流的连续性方程，也叫电流的稳恒条件。

如果取导体的两个截面S1和S2以及导体的侧面构成一个闭合曲面，则由上式知，单位时间内通过S1面的电量一定等于单位时间内通过S2的电量，即

这是稳恒电流连续性方程的另一种表达形式。这一方程可以推广到三根或三根以上载流导线连结在一点的情况．分别在三根载流导线中，选取横截面S1

、S2和S3

，也可得连续性方程为四、稳恒电场——电流的连续性方程稳恒电流：导体内各处的电流密度都不随时间变化对稳恒电流有：在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变。不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场，这种电场称稳恒电场。静电场稳恒电场电荷分布不随时间改变但伴随着电荷的定向移动电场有保守性，它是保守场，或有势场产生电场的电荷始终固定不动电场有保守性，它是保守场，或有势场静电平衡时，导体内电场为零，导体是等势体导体内电场不为零，导体内任意两点不等势维持静电场不需要能量的转换稳恒电场的存在总要伴随着能量的转换例8—1金属导体中的传导电流是由大量自由电子定向漂移运动形成的。自由电子除了无规则的热运动外，在电场的影响下，将沿着场强的反方向漂移设电子的电量的绝对值为e，电子“漂移”运动速度的平均值为，单位体积内自由电子数为n。试证电流密度的量值。

解:

在金属导体中，取一微小截面△S

，△S的法线与电场方向平行．通过△S的电流强度△

I，等于每秒内通过截面△S的所有自由电子的总电量（绝对值）.以△S为底面积，以

为高作小柱体。显然，柱体内的自由电子数等于每秒内通过截面△S的自由电子数。因此则电流密度的量值8.2一段电路的欧姆定律及其微分形式一、欧姆定律

当导线的温度一定时，导线中的电流强度与导线两端的电势差成正比，亦即称为欧姆定律。

R是比例系数，与导线的材料及几何形状有关，称为导线的电阻。R的倒数G（1/R）称为电导。在国际单位制中，电阻的单位为欧姆（符Ω），电导的单位为西门子（符号S）。电阻的量纲为。电导的量纲为。二、电阻

一般金属导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验指出，对由一定材料制成的横截面均匀的导体的电阻该式称为电阻定律。

当导体的横截面积不均匀或电阻率不均匀时，导体的电阻

式中ρ是一个仅与导体材料有关的物理量，称为这种材料的电阻率。电阻率的倒数γ（1/ρ

）称为电导率。

三、欧姆定律的微分形式

在通有电流强度I的导体中，沿电流线方向任取一个小圆柱体，通过的电流强度为dI，长度为dl，横戴面积为dS，使圆柱体的轴线和它所在处的电场强度E的方向一致，面积dS垂直于E。沿电场方向圆柱体两端的电势为U和U＋dU，圆柱体电阻为R，电流密度矢量为j。则而

所以

即

称作欧姆定律的微分形式。它表明导体中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，且同方向。

例8—2

长度l=1.00m的圆柱形电容器，内外两个极板的半径分别为rA=5×10-2m，rB=1×10-1m，所充非理想电介质的电阻率为ρ=1×109Ω·m。设两极板间所加电压UA-UB=1000v。求介质内各点处的场强、漏电流的电流密度以及该介质的漏电电阻值。解：设圆柱形电容器内、外极板间的漏电总电流为I，由于漏电电流（从内极板流向外极板）是沿径向对称分布的，而在距离圆柱轴线r处，总电流所通过的截面积S=2πrl，所以该处电流密度的大小应为对于r—r+dr的圆柱形薄层来说，相应的电阻为对于从内到外的一系列圆柱形薄层来说，各层相应的电阻是相互串联的，因此可求得漏电电阻值为代入数据后，得按欧姆定律，求得漏电总电流求得漏电的电流密度之值

式中的r以米计，应用欧姆定律的微分形式，可求得介质中各点处场强的大小为

式中的r以米计，E和J的方向都是沿径向向外的。8.3电流的功和功率焦耳—楞次定律及其微分形式一、电流的功和功率设有一段导线AB

，电阻为R，其两端A、B间的电势差为U1-U2，通过的电流强度为I。我们知道在稳但电流的情形下，在时间t内，通过导线内任一横截面处的电量q都等于It。这里，在时间t内，导线内电场力对各处运动电荷所作的功的总和，相当于一个量值为q的电荷从A点移到B点时，电场力对q所作的功。所以其量值为即电流的功，简称电功。相应的功率为单位：J焦耳单位：W瓦特电流通过电阻时产生的热量由实验得出为该式叫电热定律，也叫焦耳—楞次定律。意义：电流通过一段固定不动的导体时放出的热量（简称电热），与电流通过的时间。导体的电阻和电流强度的平方三者的乘积成正比。其电热功率为

*电流的功是外电源所供能量的量度。

二、焦耳——楞次定律的微分形式电热功率密度：当导体内通有电流时,单位体积导体中每秒所放出的热量称为热功率密度，以表示之。设小圆柱体的电阻率为ρ，则它的电阻R为ρdl/dS

，又其体积为dSdl，所以，由热功率密度的定义得因

所以上式称为焦耳一楞次定律的微分形式。它说明：在导体内某点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，也与导体的电导率成正比。它像欧姆定律的微分形式一样，是对任意一点都是成立的。8.4电动势闭合电路和一段含源电路的欧姆定律一、电动势

为了形成稳恒电流，必须有一种装置，它能为电路提供一种非静电力，从而把正、负电荷再分开以维持电势差不变。在电路上，把能够提供这种非静电力的装置叫电源。从能量的角度讲，电源是一种向电路提供能量的装置，干电池、蓄电池、发电机等都属于电源。电源是一种能量转换装置，它的作用是通过非静电力对电荷作功，把其它形式的能量转换为电路所需的电能。不同的电源，非静电力的形式不同，所以能量转换的方式也不同。

电源有两个电极，一个叫正极，一个叫负极。电源工作时就是靠非静电力作功不断地把正电荷从负极推向正极，其能力的大小用电源的电动势ε来表示，其定义为：把单位正电荷从电源的低电位(负极)推向高电位(正极)非静电力所作的功。设电源对正电荷q施加的非静电力为Fk，则从电源负极到正极所作的功为所以电源的电动势式中表示非静电力场，数值上等于单位正电荷受的非静电力，方向和正电荷受的非静电力的方向相同。

+–电动势是一个标量，其单位和电势的单位相同，为伏特(V)，其大小只取决于电源本身的性质，与电源外电路的连接方式无关。为了使用方便，常规定电动势的方向为电源内部电势升高的方向，也即从负极指向正极。

表征电源的另一个重要参量是电源的内阻r，当有电流通过电源时，电阻r对电流也有阻碍作用，电势在r上也有降落，电能也会损失而使电源发热。由电源的电动势ε＝A／q和q＝It可得，电源的功率

将该式与电阻的功率P＝IU相比较，可以看出ε与U相当，事实上，当电源无内阻时，ε在数值上就等于电源的端电压。二、闭合电路的欧姆定律如图所示一闭合电路，外电路中有一电阻R，称为外电阻，ε为电源的电动势。当电路中通有电流I时，在时间t内，流过任一截面的电量为q=It，电源所作的功为εq

。根据能量守恒和转换定律，电能将在整个电路中全部变为焦耳一楞次热。因此式中r为电源的内电阻，R+r为闭合电路的总电阻，上式称为闭合电路的欧姆定律。

关于闭合电路的欧姆定律应注意以下几点：(1)当R→∞时，外电路开路，I＝0，此时电路上没有电流；当R＝0时，外电路短路，I＝ε/r，由于一般r很小，I很大，所以极易烧毁电源，应注意避免发生这种情况。(2)对式变形可得IR＋Ir－ε＝0，其中IR是电压，若将ε看作无内电阻电源的端电压，则这一关系可理解为，在稳恒电路中，从电路的某一点出发，绕电路一周，各个元件的电压之和为零，这是一个很重要的结论，在分析电路时经常用到。(3)电源两端的电压称作路端电压，它是电源向电路提供能量(也称为放电)时的电压，UAB＝IR＝ε-Ir。(4)如果一个闭合电路含有多个电源，则先取一绕行方向,并假设电流强度方向,然后按上述规定的符号法则便可得三、计算电路中电势增量的一项约定计算电势增量的约定如下：先任意选定一个沿电路的顺序方向。我们约定：（1）如果电阻中电流的方向与选定的顺序方向相同，电势增量为；相反时，电势增辇为。（2）如果电动势方向与选定的顺序力向相同，电势增量为；相反时，也势增量为。关于电流和电压的正负，通用的是：（1）对电流：与巡行方向相同的电流设为正，反之为负。（2）对电压：要参考电流的方向，顺着电流方向走，越过电阻电位降落，逆着电流方向走，越过电阻电位升高。（3）对于电源电动势，与电流无关，由负到正电位升高，由正到负电位降落。升高为正，降落为负。

四、一段含源电路的欧姆定律对于一段含源电路，其欧姆定律的表达式为式中的符号法则规定为：(1)表示选定方向为A→B，若UAB＞0，表明电势升高，即UA＞UB；若UAB

＜0，表明电势降低，即UA＜UB。(2)若电阻中的电流方向与选定方向相同，则电势降落，电压取-IR；反之取+IR，对电源内阻r亦相同。(3)若电动势的方向(负极指向正极)与选定方面相同，则电势升高，取+ε；反之，取-ε。

例如下图所示的电路，如果选定方向为A→B，则电势差

例8-3如图所示的电路中，电池A的电动势εA=24V，内电阻rA=2Ω，电池B的电动势εB

=12V，内电阻rB=1Ω

，而外电阻R=3Ω

，试计算：（1）电路中的电流；（2）电池A的端电压Uab；（3）电池B的端电压Ucd；（4）电池A所消耗的化学能功率以及所输出的有效功率；（5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率；（6）电阻R上所产生的热功率。

解：（1）所选定的电流方向如图所示，应用闭合电路的欧姆定律，得

（2）

设所选定的顺序方向经过电池A从a到b，应用一段含源电路的欧姆定律，得即（3）

设所选定的顺序方向自c经过电池B而到d，仍应用一段含源电路的欧姆定律，得（4）电池A的化学能功率

而其输出功率

消耗于内电阻的功率

（5）输入电池B的功率

变为化学能的功率

消耗于内电阻的功率（6）电阻R上的热功率

8.5基尔霍夫定律及其应用