初中数学沪科版九年级下册第24章圆2正多边形与圆【全国一等奖】

正多边形与圆第1课时正多边形与圆

教学目标

【知识与技能】了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.【过程与方法】使学生会等分圆,利用等分圆的方法构造正多边形,并会设计图案,发展学生的实践能力和创新能力.【情感、态度与价值观】通过等分圆周、构造正多边形等实践活动,使学生在数学学习活动中获得成功的体验,建立自信心.

教学重难点

【教学重点】掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.【教学难点】探索正多边形和圆的关系.

教学过程

一、问题导入(1)这些图案,都是在日常生活中我们经常看到的图案,你能从这些图案中找出正多边形吗?(2)目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么正多边形和圆有什么关系呢?怎样作出一个正多边形呢?二、合作探究探究点1判定正多边形典例1如图所示,△AOB是正三角形,以点O为圆心,OA长为半径作☉O,直径FC∥AB,AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证:六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形.[解析]∵△AOB是等边三角形,∴∠DOE=∠AOB=60°.∵FC∥AB,∴∠AOF=∠OAB=60°,∠BOC=∠OBA=60°,∴∠EOF=∠BOC=60°,∠COD=∠AOF=60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF=60°,∴AB=BC=CD=DE=EF=AF.由题意可知OA,OB,OC,OD,OE,OF是☉O的半径,∴△AOB,△BOC,△COD,△DOE,△EOF,△AOF是等边三角形.易知∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°.∴六边形ABCDEF是正六边形,且是☉O的内接正六边形.【技巧点拨】判定一个多边形是正多边形的方法:(1)根据定义,证明各边相等,各角相等;(2)根据正多边形与圆的关系,顺次连接各等分点得到的多边形是正多边形.变式训练如图,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为r的☉O.(1)求四边形A1A2A3O的面积;(2)求此正八边形的面积S.[解析](1)∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为r的☉O,∴∠A3OA2=∠A2OA1=18×360°=∴∠A3OA1=90°,∴△A1OA3是等腰直角三角形,∴A1A3=2r,∴S四边形A1A2A3O=12OA2×(BA1+BA3)=12OA2×A1A(2)S△A1∴S正八边形=S△A1OA2×8探究点2利用等分圆周作正多边形典例2如图,AB,CD是☉O中互相垂直的两条直径,以A为圆心,OA为半径画弧,与☉O交于E,F两点.(1)求证:AE是正六边形的一边;(2)请在图上继续画出这个正六边形.[解析](1)如图,连接OE,OF,AF.∵AE=OA=OE,∴△AOE是等边三角形,∠OAE=60°.同理可证:△OAF是等边三角形.∴∠OAF=60°,∴AE=AF,且∠EAF=∠OAE+∠OAF=120°,∴AE是正六边形的一边.(2)用圆规截去AE弧的弧长,然后以点E、点B为圆心,分别在圆上截得相等的弧长,取得点G,H,然后顺次将点A,E,G,B,H和F连接起来就得到正六边形.作图略.变式训练如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD.(写出结论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)[解析]如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形.提示:(1)过圆心O作直径AC;(2)分别以A,C为圆心、以大于圆O半径长度作弧交于点M,N;(3)连接MN交圆O于点B,D;(4)顺次连接A,B,C,D.等分圆周作正多边形的方法:1.用量角器等分圆:用量角器等分圆是一种简单而常用的方法,它有两种方式:(1)依次作相等的圆心角来等分圆;(2)先利用量角器画一个360n°的圆心角,然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧来画正n边形2.用尺规等分圆:对于一些特殊的正n边形,还可以用直尺和圆规来等分圆,如正四边形,正六边形等.三、板书设计正多边形与圆正多边形与圆正多边形的定义

教学反思

在探究新知的过程中,使学生认识到事物之间是普遍联系的,是可以相互转化的,并培养和训练学生综合运用知识解决实际问题的能力,渗透数形结合的思想.第2课时正多边形的性质

教学目标

【知识与技能】了解正多边形的相关概念与性质,能运用正多边形的性质解决计算问题.【过程与方法】通过正多边形的有关计算,培养学生的计算能力,发展学生的转化思想和解题能力.【情感、态度与价值观】通过对正多边形的研究,揭示正多边形的内在规律,激发学生的学习兴趣和探索精神.

教学重难点

【教学重点】正多边形的有关的计算.【教学难点】正确地转化和综合应用几何知识进行计算.

教学过程

一、情境导入如图,要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口至少是多少?二、合作探究探究点1与正多边形有关的概念与性质典例1已知圆的半径为2,填写下表:边长边心距中心角对称轴条数内接正三角形内接正四边形内接正六边形[解析]边长边心距中心角对称轴条数内接正三角形231120°3内接正四边形22290°4内接正六边形2360°6探究点2与正多边形有关的计算典例2如图,以正六边形ABCDEF的边AB为边,在正六边形内部作正方形ABMN,连接MC,求∠BCM的大小.[解析]∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠ABC=120°,AB=BC.∵四边形ABMN为正方形,∴∠ABM=90°,AB=BM.∴∠MBC=120°-90°=30°,BM=BC,∴∠BCM=∠BMC,∴∠BCM=12×(180°-30°)=75°变式训练如图,以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD,连接BE,DE.求∠BED的度数.[解析]∵△ADE和△ABE都是等腰三角形,且∠DAE=120°,∴∠AED=12×(180°-120°)=30°在△ABE中,∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=150°,∴∠AEB=12×(180°-150°)=∴∠BED=∠AE