结构动力学多自由度体系的自由振动课件

§13-5多自由度体系的自由振动5.1自由振动分析一.运动方程的建立及其解自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。1.建立运动方程(1)刚度法m1m2=++m1m2或记作其中若为自由振动则有,于是:简记为位移向量柔度矩阵荷载向量质量矩阵加速度向量若为自由振动则有,于是:简记为设方程的特解为2.运动方程的解代入方程,得---频率方程展开整理后有：---与第一频率相对应的振型，简称第一振型解频率方程得的两个根值小者记作称作第一频率也称作基本频率;值大者记作称为第二频率或高阶频率.将频率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的两个方程是线性相关的，只有一个独立的方程：同样处理将频率代入振型方程---与第二频率相对应的振型，简称第二振型---频率方程即或记作---振型方程通解特解1特解2其中A1、A2是由初始条件确定的任意常数。特解1也可写为特解2也可写为二.关于频率与振型的讨论体系按特解振动时有如下特点1)各质点同频同步;2)任意时刻,各质点位移的比值保持不变定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型。几点说明：1.按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2.发生按振型的自由振动是有条件的.3.振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.几点说明：1.按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2.发生按振型的自由振动是有条件的.3.振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.4.N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得N个从小到大排列依次称作第一频率,第二频率...第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.将频率代入振型方程得N个振型N个振型彼此之间是线性无关的.5。若已知柔度矩阵时6。求振型、频率可列幅值方程.振型方程频率方程按振型振动时m1m2振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移三.求多自由度体系频率、振型例题例1.求图示体系的频率、振型解令1111第一振型第二振型1111第一振型第二振型对称系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型按对称振型振动=1l/3按反对称振型振动11第二振型对称系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型按对称振型振动=1l/3按反对称振型振动对称系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型按对称振型振动=1l/3按反对称振型振动=1l/9（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有例3.求图示体系的频率、振型解:令0.5a例4.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型例5利用对称性简化图示结构柔度系数的求解。mmmaaaaaaEIEIEI解：

因为结构和质量分布均匀对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构计算。求对称振型求反对称振型m2=m/2m1=maaaEIEIaaaEIEIm1=mm2=m/2

以求对称振型为例说明[δ]中系数的求解。首先求出半边结构在集中质量上分别作用有单位集中力产生的弯矩图。aaa1aaa1(a)