误差理论的基本知识演示文稿

误差理论的基本知识演示文稿第一页，共三十三页。（优选）误差理论的基本知识第二页，共三十三页。观测误差产生的原因人为因素----观测者感觉器官的鉴别力的局限仪器因素----测量仪器与测量方法给观测结果带来误差客观环境----客观环境给观测结果带来的影响第三页，共三十三页。误差的分类粗差(AppreciableArror)

：由测量人员粗心大意或仪器故障所造成的差错，称为粗差。系统误差(RegularError)

：在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。偶然误差(IrregularError)

：在相同的观测条件下，对某一量进行多次的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。第四页，共三十三页。偶然误差的统计特性在相同的观测条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内角观测值之和不等于三角形内角和的理论值（真值）。设三角形内角和的真值为X，观测值为Li，则三角形内角和的真误差（或简称误差）为Δi=Li-X（i一1，2，…n）对于每个三角形来说，Δi是每个三角形内角和的真误差，Li是每个三角形三个内均观测值之和，X为180°。现将817个真误差按每0.5″为一区间，以误差值的大小及其正负号，分别统计出在各误差区间内的个数v，及相对个数v／817。

第五页，共三十三页。Δi=Li-X(i=1,2,…,n)第六页，共三十三页。偶然误差的概率分布偶然误差分布曲线σ2:方差σ:标准差StandardError第七页，共三十三页。Δi=Li-X(i=1,2,…,n)

偶然误差的特性有界性：聚中性：对称性：抵偿性：第八页，共三十三页。σ对偶然误差分布曲线形状的影响f(Δ)ΔO0.6830.683σ愈小，曲线顶点愈高，误差分布比较密集；反之较离散。第九页，共三十三页。

当观测次数愈来愈多，误差出现在各个区间的相对个数的变动幅度就愈来愈小。当n具有足够大时，误差在各个区间出现的相对个数就趋于稳定。当观测次数足够多时，如果把误差的区间间隔无限缩小，则图中各长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑曲线，称为误差分布曲线。其方程（称概率密度）为式中参数δ是观测误差的标准差（方根差或均方根差）

第十页，共三十三页。评定精度的指标在一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定的误差分布。如果该组误差值总的说来偏小些，即误差分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差σ的值也较小；反之，如果该组误差值偏大，即误差分布比较分散，则表示该组观测质量差些，这时标准差的值也就较大。因此，一组观测误差所对应的标准差值的大小，反映了该组观测结果的精度。所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准差σ的值。第十一页，共三十三页。1、中误差在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述公式：第十二页，共三十三页。例：设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，试求这两组观测值的中误差。第十三页，共三十三页。2、平均误差在测量工作中，对于评定一组同精度观测值的精度来说，为了计算上的方便或别的原因，在某些精度评定时也采用下述精度指标：θ称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。第十四页，共三十三页。3、或然误差在某些国家，也有将一组误差按其绝对值的大小顺序排列，取居中的一个误差值作为精度指标，并称为或然误差，以ρ表示，在误差理论中可以证明，对于同一组观测误差来说，当n→∞时，求得的中误差m、平均误差θ和或然误差ρ之间都有一定的数量关系。第十五页，共三十三页。4、相对中误差对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精度。为此，利用中误差与观测值的比值，即mi／Li来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写成分子为1的分式，即1／N。上例为即前者的精度比后者高。

第十六页，共三十三页。在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。10-4误差传播定律

第十七页，共三十三页。一、倍数的函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。第十八页，共三十三页。即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。

第十九页，共三十三页。例：在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。解：SAB=500*Sab=500X23.4=11700mm=11.7m得msAB＝500*mSab＝500*（士0.2）=±100mm最后答案为SAB=11.7m±0.1m第二十页，共三十三页。设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则二、和或差的函数第二十一页，共三十三页。由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即求和，并除以n，得

第二十二页，共三十三页。将满足上式的误差Δx、Δy称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。第二十三页，共三十三页。当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为式中mxi是观测值xi的中误差。n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。第二十四页，共三十三页。例：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=L＋L＋……＋Ll（式中共有n个L）。而L的中误差为m。量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。第二十五页，共三十三页。例：以30m长的钢尺丈量90m的距离，当每尺段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为第二十六页，共三十三页。当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。第二十七页，共三十三页。例：为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2…n）之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

即，水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。

第二十八页，共三十三页。

当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为

或第二十九页，共三十三页。设有线性函数：则有例设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差三、线性函救第三十页，共三十三页。四、一般函数当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。第三十一页，共三十三页。式中（i=l