北师版九年级数学下册综合复习试题含答案

北师版九年级数学下册综合复习试题含答案一、解答题(共66分)19．(8分)计算：sin30°－2cos230°＋(－tan45°)2022.解：原式＝eq\f(1,2)－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋(－1)2022＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＋1＝0.20．(10分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B，且当x＝4时，二次函数的值为6.(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴1＋m＝0，解得m＝－1；∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，且当x＝4时，二次函数的值为6，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,16＋4b＋c＝6.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝2.))∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2.(2)∵由(1)知m＝－1，抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2，∴直线的表达式为y＝x－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝x2－3x＋2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0.))∴B(3，2)．∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，∴不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x＜1或x＞3.21．(12分)某游乐园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水头意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝a(x－3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5，得25a＋5＝0，解得a＝－eq\f(1,5).∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－eq\f(1,5)(x－3)2＋5(0＜x＜8)．(2)当y＝1.8时，有－eq\f(1,5)(x－3)2＋5＝1.8，解得x1＝－1，x2＝7.∴为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心7m以内．22．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知AC＝15，cosA＝eq\f(3,5).(1)求线段CD的长；(2)求sin∠DBE的值．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝15，cosA＝eq\f(3,5)，∴AB＝eq\f(15,cosA)＝25.又∵D是AB的中点，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(25,2).(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝eq\f(25,2)，∴∠DCB＝∠DBC.又∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△ACB，∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(BC,AB).又∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(252－152)＝20，∴eq\f(EC,20)＝eq\f(20,25)，∴EC＝16.∵CD＝eq\f(25,2)，∴DE＝16－eq\f(25,2)＝eq\f(7,2).∴在Rt△DEB中，sin∠DBE＝eq\f(7,2)×eq\f(2,25)＝eq\f(7,25).23．(12分)图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(结果精确到0.1)(1)如图②，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝160°.②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．(2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．(参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)①②③解：(1)②如图②，过点A作AG⊥BC交BC于点G，∵AG＝30cm，OA＝6.8cm，∠ABC＝70°，∴AG＝30sin70°≈28.2(cm)，∴OG＝OA＋AG≈6.8＋28.2＝35(cm)，∴OG－CD≈27.0cm，∴点D到桌面OE的距离约是27.0cm.(2)如图③，延长CD交OE于点M，过点B作OE的平行线交DC的延长线于点H.∵CD⊥OE，OE∥BH，∴CD⊥BH，∠ABH＝70°.由题意得CM＝14cm，由(1)得HM≈35cm，∴CH＝21cm.在Rt△BCH中，sin∠CBH＝eq\f(CH,BC)≈eq\f(21,35)＝0.6，∴∠CBH≈36.8°，∴∠ABC＝∠ABH－∠CBH≈70°－36.8°＝33.2°.24．(12分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．题图解：(1)将A，B，C三点的坐标分别代入函数表达式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.(2)①设直线BC的表达式为y＝kx＋t，将B，C的坐标分别代入函数表达式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋t＝0，,t＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,t＝－3.))∴直线BC的表达式为y＝x－3.设M(n，n－3)，则P(n，n2－2n－3)，答图①PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4)(0＜n＜3)，∴当n＝eq\f(3,2)时，线段PM的最大值为eq\f(9,4).②满足题意的有PM＝PC和PM＝CM两种情况：(Ⅰ)如答图①，当PM＝PC时，∵OB＝OC，PH⊥x轴，∴∠PMC＝∠OCB＝45°，又∵PM＝PC，∴△PCM是等腰直角三角形，∴PC∥x轴，∴点P与C(0，－3)关于y＝x2－2x－3的对称轴x＝1对称，答图②此时点P的坐标为(2，－3)；(Ⅱ)如答图②，当PM＝CM时，作MN∥x轴交y轴于点N，则CM＝eq\r(2)MN＝eq\r(2)n，∴－n2＋3n＝eq\r(2)n，∵n＞0，∴n＝3－eq\r(2)，又∵n2－2n－3＝(n＋1)(n－3)＝2－4eq\r(2)，则此时P点坐标为(3－eq\r(2)，2－4eq\r(2))．综上所述，点P的坐标为(2，－3)或(3－eq\r(2)，2－4eq\r(2))．二、解答题(共66分)19．(8分)计算：2cos30°＋tan45°－tan60°＋(eq\r(2)－1)0.解：原式＝2×eq\f(\r(3),2)＋1－eq\r(3)＋1＝eq\r(3)＋1－eq\r(3)＋1＝2.20．(10分)已知函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴总有交点，求m的取值范围．解：当m＋6＝0时，函数为y＝－14x－5与x轴必有一个交点；当m＋6≠0时，它为二次函数，若它与x轴有交点，则一元二次方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0有实数根，故[2(m－1)]2－4(m＋6)·(m＋1)≥0，解得m≤－eq\f(5,9)且m≠－6.综上可知，当m≤－eq\f(5,9)时，此函数图象与x轴有交点．21．(12分)如图，某旅游区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行，在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向，已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度．(结果保留整数)eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(参考数据：sin32°≈\f(17,32)，cos32°≈\f(17,20)，tan32°≈\f(5,8)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin42°≈\f(27,40)，cos42°≈\f(3,4)，tan42°≈\f(9,10)))解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120m，DF＝CE，在Rt△BDF中，∠BDF＝32°，BD＝80m，∴DF＝BD·cos32°≈80×eq\f(17,20)≈68m．BF＝BD·sin32°≈80×eq\f(17,32)＝eq\f(85,2)m.∴BE＝EF－BF≈eq\f(155,2)m.在Rt△ACE中，∠ACE＝42°，CE＝DF≈68m.∴AE＝CE·tan42°≈68×eq\f(9,10)＝eq\f(306,5)m．∴AB＝AE＋BE≈eq\f(306,5)＋eq\f(155,2)≈139(m)．答：木栈道AB的长度约为139m.22．(12分)(江西中考)如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD为半圆的切线；(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD之间的数量关系，并证明你的结论．①(1)证明：连接OC，∵CD∥AB且BC∥OD，∴四边形BODC为平行四边形．∴CD＝BO＝AO，∵CD∥OA，∴四边形OADC为平行四边形，∵AD为切线，可得AD⊥OA，∴四边形OADC为矩形，∠OCD＝90°，即CD为半圆的切线．(2)解：∠AED＋∠ACD＝90°.②证明：连接BE，∠ACD＝∠2.∵AB为直径，可得∠AEB＝90°，∠2＋∠EAB＝90°.∵AD为切线，∠EAB＋∠EAD＝90°，∴∠2＝∠EAD，∠1＝∠EAD.∵CD∥AB，∴∠EDA＝90°，∠EAD＋∠AED＝90°，即∠AED＋∠ACD＝90°.23．(12分)(望花区模拟)每年5月的第二个星期日为母亲节，“父母恩深重，思怜无歇时”，许多人喜欢在母亲节送花给母亲，感恩母亲，祝福母亲，今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨，经分析上一年的销售情况，发现这种康乃馨每天的销售量y(枝)是关于销售单价x(元)的一次函数，已知销售单价为7元时，销售量为16枝；销售单价为8元时，销售量为14枝．(1)求这种康乃馨每天的销售量y(枝)关于销售单价x(元)的一次函数表达式；(2)若按去年的方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每枝5元，商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为多少元？(3)在(2)的条件下，当销售单价x为何值时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大？求出获得的最大利润．解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，∵销售单价为7元时，销售量为16枝；销售单价为8元时，销售量为14枝，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7k＋b＝16，,8k＋b＝14，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝30，))∴y关于x的函数表达式为y＝－2x＋30.(2)设商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为x元，根据题意，得(x－5)(－2x＋30)＝42，整理，得x2－20x＋96＝0，解得x1＝8，x2＝12.答：商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为8元或12元．(3)设花店销售这种康乃馨每天获得的利润为w元，根据题意，得w＝(x－5)(－2x＋30)＝－2x2＋40x－150＝－2(x－10)2＋50.∵－2＜0，∴当x＝10时，w有最大值，最大值为50.答：当销售单价为10元时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大，最大利润为50元．24．(12分)如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP.(1)当⊙O与直角边AC相切时，如图②所示，求此时⊙O的半径r的长；(2)随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围；①(3)当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．解：(1)∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.∵AC，AP都是圆的切线，∴AP＝AC＝3，∴PB＝2.连接PE，PO.∵∠ACB＝90°，AC切⊙O于C，∴点O此时在BC上．∵∠BPE＋∠OPE＝∠OPE＋∠OPC＝90°，∴∠BPE＝∠OPC.②又∵∠OPC＝∠OCP，∴∠BPE＝∠OCP，∵∠B＝∠B，∴△PBE∽△CBP，∴PB2＝BE·BC，即22＝BE×4，∴BE＝1，∴⊙O半径r＝eq\f(4－1,2)＝eq\f(3,2).(2)∵最短PC为AB边上的高，即最短PC＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5)，最长PC＝BC＝4，∴eq\f(12,5)≤PC≤4.(3)如答图，当点P与点B重合时，圆最大．点O在BC的垂直平分线上，答图过点O作OD⊥BC于D，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∴∠ABD＋∠OBD＝∠BOD＋∠OBD＝90°，∴∠ABC＝∠BOD，∴eq\f(BD,OB)＝sin∠BOD＝sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，∴OB＝eq\f(10,3)，即当切点P在点B处时，⊙O的半径r有最大值，最大值为eq\f(10,3).三、解答题(共66分)19．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点(1，－4)和(－1，0)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．解：(1)根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－3＝－4，,a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3.(2)∵y＝(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)，∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，该函数有最小值，最小值为－4.20．(10分)如图是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15m，AB＝2.7m，∠BOD＝70°，∠ODC＝∠BCD＝90°.求端点A到地面CD的距离．(精确到0.1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，则四边形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝0.15m.∵OD⊥CD，AE⊥CD，∴AE∥OD.∴∠A＝∠BOD＝70°.∵在Rt△AFB中，AB＝2.7m，∴AF＝AB·cosA＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)．∴AE＝AF＋EF≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端点A到地面CD的距离约为1.1m.21．(12分)(安徽期末)如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC.(1)求证：DE平分∠CDF；(2)求证：∠ACD＝∠AEB.证明：(1)∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF.(2)∵∠ACB＝∠ABC，∴∠CAE＋∠E＝∠ABD＋∠DBC，又∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠AEB.22．(12分)用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．(1)如图①，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成．①设DE＝xm，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②菜园的面积能不能等于110m2，若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；(2)如图②，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．①解：(1)①由题意可得DE＝xm，则DC＝eq\f(1,2)(32－x)m.∴菜园面积y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(1,2)(32－x)x＝－eq\f(1,2)x2＋16x(0＜x≤8)．②不能，理由：若菜园的面积等于110m2，则－eq\f(1,2)x2＋16x＝110，解得x1＝10，x2＝22.∵0＜x≤8，∴不能围成面积为110m2的菜园．②(2)设DE＝xm，则菜园面积为y＝eq\f(1,2)x(32＋8－2x)＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100.当x＝10时，函数有最大值100.答：当DE长为10m时，菜园的面积最大，最大值为100m2.23．(12分)(枣庄中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC2＝CD·2OE；(3)若cos∠BAD＝eq\f(3,5)，BE＝6，求OE的长．(1)解：DE与⊙O相切，理由：连接OD，DB，∵AB是直径，∴∠BDC＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝EB，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODE＝∠A