人教版八年级数学下册专题讲解+课后训练及答案解析：勾股定理

PAGEPAGE2人教版八年级数学下册专题讲解+课后训练及答案解析：勾股定理勾股定理及逆定理一、学习导航1.有一个角是900的三角形是直角三角形；2.两锐角互余的三角形是直角三角形；3.两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；4.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。5.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设三边长分别为a、b、c(c为斜边)，则a2+b2=c2c=c2-a2=b2b=c2-b2=a2a=6.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足：两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。二、知识梳理与例题精讲知识点一勾股定理例1.在Rt△ABC中，∠C=900。如果a=10,b=24,那么c=如果a=15,c=25,那么b=如果c=10,b=8,那么a=例2.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？例3.一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑2米，那么它的底端是否也滑动2米？知识点二勾股定理的逆定理例4.有六根木棒，它们的长度分别为2,4,6,8,10,12,（单位：cm）,从中取出三根，首尾顺次连接成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（）A.2,4,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12例5.已知：△ABC的三条边长分别为a、b,、c,且a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1).△ABC是直角三角形吗？为什么？例6.在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一点,且BC=4EC.小明经过测量发现∠EFA=900,你认为对吗？三、方法规律考点一：转化思想AB1如图，一只壁虎在底面半径为20cm,高为30Πcm的圆柱下底边A处,发现在它正上方圆柱边缘的B处有一只害虫，为捕捉这只害虫，它故意不走直线，而绕着圆柱沿一条螺旋路线从背后对害虫进行突然袭击，偷袭成功，得到一顿美餐，请问壁虎AB3m3m4m2.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走捷径，在花园内走出一条路。他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。FDABFDABCEGH的一个顶点A处沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点G处觅食，试求它需要爬行的最短路程。考点二：方程思想4.等边三角形的边长为2，求它的面积。5.如图，在三角形ABC中，AB=17,BC=9,AC=10,求三角形ABC的面积。6.如图，一架云梯AB斜靠在墙上，底端B到墙角C的距离是7米，若云梯上端下滑4米，则底端B沿水平方向向外滑动8米，试求云梯AB的长度。考点三：分类讨论思想7.如果一个直角三角形三边的长分别为2、4、a，则a的长为（）ABC或D不确定8.为美化小区环境，某小区有一块面积为180的等腰三角形草地，测得其一边长为20，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为。9.在△ABC中，AB=25,AC=30，BC边上的高AD为24，试求第三边BC的长。《勾股定理》综合练习题一、选择题1．已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A、5 B、25 C、7 D、152．直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A、4个 B、5个 C、6个 D、8个3．下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1，其中正确的是（）A、①② B、①④ C、 ①③ D、②④4．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定5．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40 B、80 C、40或360 D、80或3606.如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()北南北南A东第8题图ABABCDEF150150°20m30m第9题图第7题图第6题图第7题图第6题图7．如图，BC长为3厘米，AB长为4厘米，CD长为13厘米．则正方形ABCD的面积是（）．A.196B.1195C.194D.2008．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里9．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元二、填空题1．已知直角三角形的三边长为6、8、x，则以x为边的正方形的面积为_____。2．一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，想要开进某工厂，工厂厂门如图1所示（上部分为半圆，下部分为长方形），则这辆卡车通过．（填“能”或“不能”）3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。ABCABCD第10题图7cmAB2.3米2米ABOEDC第4题图第4题图第3题图第3题图第2题图9题图第2题图4．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出①一个面积是2的直角三角形；②一个面积是2的正方形。5．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能按要求把三角形做好。6．将一根长为24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________。7．已知点P是边长为4的正方形ABCD的AD边上一点，AP=1，BE⊥PC于E，则BE=________。8．已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为

cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.9．如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,若将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。三、解答题AB1．如图5，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，BABC2．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等C3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。ABCD4．已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cmABCD求四边形ABCD的面积。5．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将ABCDABCD6．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AAA′BAA′OA7．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.（1）求A、C两点之间的距离.（2）确定目的地C在营地A的什么方向8．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长参考答案1.C2.C3.B4.C5.C6.D7.B8.C9.D10.C11．48，100；12．能；13．10；14．略画图；15．8；16．11≤h≤12；17．；18．13，；19．；20．49；21．m或m；22．由勾股定理得：CE2=x2+152,DE2=102+（25-x）2,由已知得：x2+152=（25-x）2,解得x=10；23．12米；24．36cm2;25．16时；26．（1）24米；（2）8米；（3）7米27．解：（1）过B点作BE∥AD，如图4.∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500m，AB＝500m.由勾股定理可得：AC＝BC＋AB.所以AC＝＝＝1000（m）.（2）在Rt△ABC中，∵BC＝500m，AC＝1000m，∴∠CAB＝30°.∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.28．设EC=x，由已知得：42+x2=(8-x)2，解得：x=3第十七章勾股定理检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A.2，3，4 B.，，C.6，8，10 D.，，2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A.1倍 B.2倍C.3倍 D.4倍3.下列说法中正确的是（）A.已知是三角形的三边长，则B.在直角三角形中，两边长的平方和等于第三边长的平方C.在Rt△ABC中，若∠C=90°，D.在Rt△ABC中，若∠B=90°，4.如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169，那么正方形A的面积为（）A.313 B.144C.169D.255.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()A.5 B. C.6 D.5或6.（2015辽宁大连中考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=,则BC的长为（）A.－1B.+1C.－1D.+17.在△ABC中，三边长a，b，c满足A.∠A与∠B B.∠C与∠A C.∠B与∠C D.以上都不正确8.若一个三角形的三边长a，b，A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=BN=BC，则A.6B.7MABCMABCN第9题图10.如图所示，有两棵树，一棵树高10m，另一棵树高4m，两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()A.8m B.10m C.12m D.14m二、填空题（每小题3分，共24分）11.若三角形ABC的三边长a,b,c满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,则三角形ABC的形状是三角形.12.在△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于点D，则13.（2015·江苏苏州中考）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4.设AB=x，AD=y，则x2+第13题图14.如果一梯子底端离建筑物9m远，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是_______m.15.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是.16.下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a(a>17.在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=18.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为________米（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．三、解答题（共46分）19.（6分）若△ABC的三边满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形，并说明哪个角是直角.（1）（2）20.（6分）若三角形的三个内角的比是1∶2∶3，最短边长为求：（1）这个三角形各角的度数；（2）另外一边长的平方.21.（6分）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A1处，问梯子底部B将外移多少米？22.（7分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？23.（7分）观察下表：列举猜想3，4，535，12，1357，24，257………………1313请你结合该表格及相关知识，求出b，24.（7分）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8求：（1）FC的长；（2）EF的长.25.（7分）如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=BB'=第十七章勾股定理检测题参考答案1.A解析：在三角形的三边长中，如果较短两边长的平方和等于最长边长的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.B解析：设原直角三角形的三边长分别是a，b，c，且3.C解析：A.不确定三角形是否为直角三角形，也不确定c是否为斜边长，故A错误；B.不确定第三边是否为斜边，故B错误；C.因为∠C=90°，所以其对边为斜边，故CD.因为∠B=90°，所以a2+4.D解析：设三个正方形的边长由小到大依次为a，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，所以a2+b2=5.D解析：当已知的两边均为直角边时，由勾股定理，得第三边长为5；当4为斜边长时，由勾股定理，得第三边长为.点拨：本题中没有指明哪是直角边哪是斜边，故应该分情况进行分析.注意不要漏解.6.D解析：在△ADC中，∠C=90°，AC=2，所以CD=,因为∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠B=∠BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故选D.7.B解析：由b2-a所以△ABC是直角三角形，且b是斜边长，所以∠B=90°从而互余的一对角是∠C与∠A.8.B解析：由a2整理，得a2即a-52所以a=5，b=12，所以这个三角形一定是直角三角形.9.C解析：在Rt△ABC中，因为AC=40，所以由勾股定理得AB=41.因为BN=BC=9，AM=AC=40，所以MN=AM+BN-10.B解析：根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两树梢之间的距离求出.如图所示，设大树高AB=10m，小树高CD=4m.连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形.故EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6(m).在Rt△AEC中，AC==＝10(m).11.直角解析：由题意得a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，(a²-6a+9)+(b²-8b+16)+(c²-10c+25)=0，即(a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0，所以a-3=0，b-4=0，c-5=0，所以a=3，b=4，c=5.因为3²+4²=5²，即a²+b²=c².由勾股定理的逆定理得以a,b,c为三边的三角形是直角三角形.12.15cm所以BD=BC.因为BC=16cm，所以BD=BC=因为AB=AC=17cm所以AD=AB13.16解析：∵BD⊥DE，∴△BDE是直角三角形.∵点F是BE的中点，∴BF=BE=DF=4.∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=x，BC=AD=y.∴CF=BF-BC=4-y.在Rt△DCF中，∵CD2+CF2=DF2，∴x2+(4-y)2=42=16，即x2+(y-4)2=16.14.12解析：15215.15解析：设第三个数是a.①若a为最大数，则a=8②若17为最大数，则a=17故答案为15．ABCABCD第17题答图E17.3解析：如图，过点D作DE⊥BC于因为∠A=90°，AB=4，所以AD=B因为BD平分∠ABC，∠所以点D到BC的距离DE=AD=3．18.2.9解析：∵AM=4米，∠MAD=45°，∴DM=4米.∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米.∵∠MBC=30°，∴BC=2MC，∴MC2+MB