中招考试数学试卷(附答案解析)

第第页中招考试数学试卷(附答案解析)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．（3分）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣13．（3分）下列运算中，正确的是（）A．2ab﹣ab＝2 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．1÷x﹣2＝x24．（3分）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．115．（3分）某区新教师招聘中，九位评委独立给出分数，得到一列数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是（）A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数6．（3分）若关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值为（）A．﹣5 B．0 C．1 D．27．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（）A．56° B．68° C．72° D．78°8．（3分）下列叙述，错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点均落在坐标轴上，且AC＝BC，将线段AC沿x轴正方向平移至DE，点D恰好为OB中点，DE与BC交于点F，连接AE、AF．若△AEF的面积为6，点E在函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（）A．9 B．12 C．16 D．1810．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．其中，说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）分解因式：2m2﹣8＝．12．（3分）无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米，8350这个数据用科学记数法可表示为．13．（3分）请写出一个是轴对称，但不是中心对称的几何图形名称：．14．（3分）若把一个半径为5，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为．15．（3分）若关于x的方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．16．（3分）若a﹣b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2﹣4a的值等于．17．（3分）若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）+b≤0的解集是．18．（3分）如图，点P为线段AB上一点，AB＝3，AP＝2，过点B作任意一直线l，点P关于直线l的对称点为Q，将点P绕点Q顺时针旋转90°到点R，连接PQ、RQ、AR、BR，则线段AR长度的最大值为．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）|﹣1|﹣（﹣2）0+2tan30°；（2）（x﹣3）2﹣（x﹣8）（x+2）．20．（10分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O，求证：OE＝OF．22．（10分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了名同学；（2）条形统计图中，m＝，n＝；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？23．（10分）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为；（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．24．（8分）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．25．（10分）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．26．（10分）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，1）为反比例函数图象上一点，连接AO并延长，交图象另一支于点B，若点P为第一象限内反比例函数图象上异于点A的任意一点，直线PA、PB分别交x轴于点M、N．（1）试探究线段PM和PN的数量关系，并写出你探究的过程；（2）若△PMN的面积为10，求点P的坐标．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．（1）点A的坐标为；（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】根据平方根的定义求解即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．2．（3分）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．2ab﹣ab＝2 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．1÷x﹣2＝x2【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据负整数指数幂判断D选项．【解答】解：A选项，原式＝ab，故该选项不符合题意；B选项，原式＝x5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；D选项，原式＝1÷＝x2，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．4．（3分）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n﹣2）180°＝144°×n，解得n＝10，故选：C．【点评】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程式解题关键．5．（3分）某区新教师招聘中，九位评委独立给出分数，得到一列数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是（）A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选：C．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．6．（3分）若关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值为（）A．﹣5 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：﹣＝0，m+1+2x＝0，解得：x＝﹣，∵方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入x＝﹣中，2＝﹣，解得：m＝﹣5，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，若∠C＝124°，则∠B的度数为（）A．56° B．68° C．72° D．78°【分析】先根据圆内接四边形和圆周角定理得∠BOD，再利用平行线的性质得到∠CDO，最后利用四边形内角和求出∠B．【解答】解：∵∠C＝124°，∴∠A＝180°﹣124°＝56°，∴∠BOD＝2∠A＝112°，∵OD∥BC，∴∠CDO＝180°﹣124°＝56°，∴∠B＝360°﹣124°﹣56°﹣112°＝68°．故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、平行线的性质、四边形内角和，解题关键是熟练使用圆的相关性质．8．（3分）下列叙述，错误的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．【解答】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点均落在坐标轴上，且AC＝BC，将线段AC沿x轴正方向平移至DE，点D恰好为OB中点，DE与BC交于点F，连接AE、AF．若△AEF的面积为6，点E在函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（）A．9 B．12 C．16 D．18【分析】设B点的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，c），由已知条件可得A（﹣a，0），E（a，c），D（a，0），分别求出直线BC与直线DE的解析式，联立方程组，可求得点F坐标，再结合三角形面积公式可得出ac的值，最后利用反比例函数中k的几何意义可得出答案．【解答】解：∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∴OA＝0B．设B点的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，c），∴A（﹣a，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣a，0），C（0，c）代入，得，∴直线AC的解析式为y＝x+c．∵线段DE是由线段AC沿x轴正方向平移得到，且D为OB中点，∴可得E（a，c），D（a，0），设直线DE的解析式为y＝mx+n，将点D（a，0），E（a，c）代入，得，∴直线DE的解析式为y＝．同理可得直线BC的解析式为y＝﹣，由，得，∴F（）．∵S△AEF＝S△ADE﹣S△AFD＝＝6，∴ac＝16．∵点E在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝ac＝16．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解答本题的关键．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．其中，说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【分析】①计算OC和CD，根据三角形面积公式可得结论正确；②分别根据三角函数计算EC和CD的长，相加可得DE的长；③如图2，过点D作DF⊥B'C'于F，则DF＝B'C'＝OC，证明△OCD≌△DFE（AAS），设BD＝a，则OD＝a，CD＝3m﹣a，根据勾股定理列方程可得结论；④存在两种情况：ED＝2BD或BD＝2ED，如图3，ED＝2BD，同理作辅助线构建全等三角形，可得OD＝ED，设BD＝a，则ED＝OD＝2a，根据勾股定理列方程可得m和a的关系，根据正弦的定义可得结论．【解答】解：①当m＝1时，点B的坐标为（3，1），∴OC＝1，当α＝30°时，∠AOD＝30°，∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠ODC＝∠AOD＝30°，∴OD＝2OC＝2，CD＝，∴S△OCD＝•OC•CD＝×1×＝，即当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；故①正确；②如图1，由旋转得：OA＝OA'＝3，A'B'＝OC＝1，∠A'＝90°，由勾股定理得：OB'＝＝，∴B'C＝﹣1，tan∠COD＝＝，即＝，∴CD＝，∵OA'∥B'C'，∴∠OB'C'＝∠COD，∴tan∠OB'C'＝＝，∴EC＝，∴DE＝EC+CD＝+＝，故②正确；③∵点B的坐标为（3m，m），∴BC＝3m如图2，过点D作DF⊥B'C'于F，则DF＝B'C'＝OC，∵点D为线段BE的中点，∴ED＝BD，∴DF＝OC，∵∠DFE＝∠OCD＝90°，∠FED＝∠CDO，∴△OCD≌△DFE（AAS），∴ED＝OD，设BD＝a，则OD＝a，CD＝3m﹣a，Rt△OCD中，m2+（3m﹣a）2＝a2，解得：a＝m，∴CD＝3m﹣m＝m，即当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；故③正确；④当点D是线段BE的三等分点时，存在两种情况：ED＝2BD或BD＝2ED，如图3，ED＝2BD，过点D作DH⊥B'C'于H，则DH＝B'C'＝OC，同理可得OD＝ED，设BD＝a，则ED＝OD＝2a，在Rt△OCD中，由勾股定理得：m2+（3m﹣a）2＝（2a）2，m1＝a，m2＝a（舍），∴sinα＝＝＝＝≠或；故④错误；本题正确的结论有：①②③故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，必须灵活掌握知识，学会用方程的思想解决问题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）分解因式：2m2﹣8＝2（m+2）（m﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：2m2﹣8，＝2（m2﹣4），＝2（m+2）（m﹣2）．故答案为：2（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．（3分）无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米，8350这个数据用科学记数法可表示为8.35×103．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：8350＝8.35×103．故答案是：8.35×103．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．13．（3分）请写出一个是轴对称，但不是中心对称的几何图形名称：如：正三角形（答案不只一个）．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：是轴对称，但不是中心对称的几何图形名称：如正三角形（答案不只一个）．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．14．（3分）若把一个半径为5，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•r＝，然后解关于r的方程即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2π•r＝，解得r＝，即这个圆锥的底面圆的半径为．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（3分）若关于x的方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为﹣．【分析】根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣m）＝0，解得：m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．16．（3分）若a﹣b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2﹣4a的值等于﹣4．【分析】先根据a﹣b﹣2＝0求出a﹣b的值，再将a2﹣b2﹣4a化简为含有a﹣b的代数式，然后整体代入即可求出所求的结果．【解答】解：∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，a2﹣b2﹣4a＝a2﹣ab+ab﹣b2﹣4a＝a（a﹣b）+b（a﹣b）﹣4a＝2a+2b﹣4a＝2b﹣2a＝﹣2（a﹣b）＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】此题考查了提公因式法分解因式，从多项式中整理成已知条件的形式，然后利用“整体代入法”求代数式的值．17．（3分）若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）+b≤0的解集是x≥5．【分析】先把（1，0）代入y＝kx+b得b＝﹣k，则不等式化k（x﹣4）﹣k≤0，然后在k＜0的情况下解不等式即可．【解答】解：把（1，0）代入y＝kx+b得k+b＝0，则b＝﹣k，所以k（x﹣4）+b≤0化为k（x﹣4）﹣k≤0，即kx﹣5k≤0，因为k＜0，所以x≥5．故答案为：x≥5．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．18．（3分）如图，点P为线段AB上一点，AB＝3，AP＝2，过点B作任意一直线l，点P关于直线l的对称点为Q，将点P绕点Q顺时针旋转90°到点R，连接PQ、RQ、AR、BR，则线段AR长度的最大值为．【分析】连接接BQ，PR，过B作BC⊥AB，且BC＝BP，连接CP、CR，证明△PCQ∽△PBQ得CR＝CP＝，则点R在以⊙C上，当A、C、R依次在同一直线上时，AR的值最大，求出此时AR的值便可．【解答】解：连接BQ，PR，过B作BC⊥AB，且BC＝BP＝BQ＝BP＝AB﹣AP＝3﹣2＝1，连接CP、CR，∵∠PQR＝90°，PQ＝OQ，BC＝BP，∠CBP＝90°，∴∠QPR＝45°＝∠BPC，，∴∠RPC＝∠QPB，∴△PCQ∽△PBQ，∴，∵BP＝BQ＝1，∴PC＝RC＝，∴点R在以⊙C上，当A、C、R依次在同一直线上时，AR的值最大为AR＝AC+CR＝．故答案为：．【点评】本题主要考查旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，关键是确定R点的运动轨迹．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：（1）|﹣1|﹣（﹣2）0+2tan30°；（2）（x﹣3）2﹣（x﹣8）（x+2）．【分析】（1）根据绝对值的性质、零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数即可求出答案．（2）根据完全平方公式、以及整式的加减运算、乘法运算即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝．（2）原式＝x2﹣6x+9﹣x2+6x+16＝25．【点评】本题考查绝对值的性质、零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数、完全平方公式，本题属于基础题型．20．（10分）（1）解方程：；（2）解不等式组：．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）x﹣3+x﹣2＝﹣3，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝1；（2）不等式组整理得：，解得：x＜﹣4．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O，求证：OE＝OF．【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥CB，AD＝CB得到∠OAE＝∠OCF，AE＝CE，证得△AOE≌△COF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠OAE＝∠OCF，∵DE＝BF，AE＝CF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△DEO≌△BFO．22．（10分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了200名同学；（2）条形统计图中，m＝40，n＝60；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是72度；（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？【分析】（1）结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n＝200×30%＝60人，即可得出m的值；（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；（4）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量；【解答】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人，故答案为：200；（2）根据科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n＝200×30%＝60人，m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人，故m＝40，n＝60；故答案为：40，60；（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°，故答案为：72；（4）由题意，得5000×＝750（册）．答：学校购买其他类读物750册比较合理．【点评】此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．23．（10分）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为；（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：∵共有9种等可能结果，其中张三和李四在同一个检测点做核酸检测有3种情况，∴张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率是．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于点O，以O为圆心OC为半径作圆即可；（2）过O点作OD⊥AB于D，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OC＝OD＝r，再利用勾股定理计算出ASB＝13，接着证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到，然后解方程求出r即可．【解答】解：（1）如图，⊙O即为所作；（2）过O点作OD⊥AB于D，如图，设⊙O的半径为r，∴BA为⊙O的切线，∴OC＝OD＝r，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13．∵∠ACB＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得．即⊙O的半径为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质和相似三角形的判定与性质．25．（10分）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．【分析】（1）连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，根据圆周角定理得到∠A＝∠F，求得∠BCD＝∠F，得到∠CBF＝90°，求得∠DCO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BO，OC交BE于点G，根据平行线的性质得到∠OGB＝∠OCD＝90°，根据垂径定理得到BE＝2BG，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，∴∠A＝∠F，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠F，∵CF为⊙O直径，∴∠CBF＝90°，∴∠F+∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵CF是⊙O的直径，∴CD是EO的切线；（2）解：连接BO，OC交BE于点G，∵BE∥CD，∴∠OGB＝∠OCD＝90°，∵OB＝OE，∴BE＝2BG，∵同对，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，在Rt△BOG中，BO＝5，∴，∴．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．26．（10分）学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，营造活动气氛．活动策划部设想：8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，左右分开，使两边的人数相同；接着，从一边走出48位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？【分析】设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且x＞y），根据题意列出方程，写出x+y和x﹣y可能的值，然后分情况计算出x2+y2做出判断即可．【解答】解：设各自组成正方形队列的边长分别为x人和y人（x、y为正整数，且x＞y），∴x2﹣y2＝96，（x+y）（x﹣y）＝96，∴x+y和x﹣y的值可能为96和1，48和2，32和3，24和4，16和6，12和8，∵x+y和x﹣y的奇偶性相同，∴x+y和x﹣y的值为24和4，48和2，16和6，12和8，①，解得，∴x2+y2＝296；②，解得，∴x2+y2＝1154；③，解得，∴x2+y2＝146；④，解得，∴x2+y2＝104；∵1154和146不能被8整除，舍去，且296＞104，答：这次队列展示至多需要296名学生．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识及分类讨论的思想是解题的关键．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（2，1）为反比例函数图象上一点，连接AO并延长，交图象另一支于点B，若点P为第一象限内反比例函数图象上异于点A的任意一点，直线PA、PB分别交x轴于点M、N．（1）试探究线段PM和PN的数量关系，并写出你探究的过程；（2）若△PMN的面积为10，求点P的坐标．【分析】（1）作PE⊥x轴，垂足为E，BC⊥y轴，两垂线交于点C，作AD⊥PE，垂足为D．由题意得B（﹣2，﹣1），反比例函数为y＝，设P（a，），通过正切函数求得∠BPC＝∠APD，进而求得∠PNM＝∠PMN，从而证得PN＝PM．（2）在Rt△PNE中，tan∠NPE＝＝a，求得NE＝2，即可求得MN＝4，利用三角形面积即可求得P的坐标，代入解析式求得横坐标．【解答】解：（1）PM＝PN，作PE⊥x轴，垂足为E，BC⊥y轴，两垂线交于点C，作AD⊥PE，垂足为D．由题意得B（﹣2，﹣1），∵点A（2，1）为反比例函数图象上一点，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数为