中招考试数学试题(含答案解析)

第第页中招考试数学试题(含答案解析)一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列四个数中，绝对值最大的是（）A．1 B．0.3 C．﹣ D．﹣32．某T型台如图所示，它的左视图为（）A． B． C． D．3．下列运算中结果正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．6a6÷2a2＝3a3 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣2ab2）2＝2a2b44．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000017s．把0.0000000017s用科学记数法可表示为（）A．0.17×10﹣8 B．1.7×10﹣9 C．1.7×10﹣8 D．17×10﹣95．若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）6．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（）A．48° B．24° C．22° D．21°7．如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，若AF＝9，BC＝10，则△ABC的周长为（）A．19 B．28 C．29 D．388．函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的大致图象为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：（﹣）×＝．10．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有个．11．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为．12．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（﹣2，2），C（﹣1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是．13．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是⊙O的切线，⊙O与BC交于点D，点E是AC的中点，连接OE，四边形BDEO是平行四边形，则图中阴影部分的面积是．14．如图，在正方形ABCD中，对角AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，AE的延长线交BF于点M，OE＝OF，若，OE＝1，则EM的长为．三、作图题（本大题满分4分）15．（4分）已知：如图，在△ABC中，∠A为钝角．求作：⊙P，使圆心P在△ABC的边AC上，且⊙P与AB、BC所在的直线都相切．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）先化简，再求值：，其中x＝3．（2）解不等式组：．17．（6分）某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x＜540.085≤x＜5.590.185.5≤x＜6n6≤x＜6.5110.226.5≤x＜7m0.207≤x＜7.52合计501.00c．乙试验田穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为，n的值为；（2）表2中w的值为；（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是；A．甲B．乙C．无法推断（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．18．（6分）如图，有四张背面相同的纸牌，其正面分别画有平行四边形、矩形、菱形、圆四种图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出两张牌．（1）直接写出两张牌都是中心对称图形的概率是；（2）用树状图（或列表法）求两张牌都是轴对称图形的概率（可用牌面字母表示）．19．（6分）某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）20．（8分）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系．（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式；（不需要写出自变量x的取值范围）（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数．21．（8分）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．22．（10分）正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城．乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中OE＝米，OF＝米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线F→E→G的函数关系式；（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？（3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求OA＝AB．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？23．（10分）【问题提出】在由m×n（m×n＞1）个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：矩形横长m233545…矩形纵长n112233…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f23466x…观察上表数据，表中的x＝．结论：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是．探究二：当m，n不互质时，不妨设m＝ka，n＝kb（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：a233523…b112211…k222233…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f468y6z…观察上表数据．表中的y＝，z＝．结论：当m，n不互质时，若m＝ka，n＝kb（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在m×n的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是．【模型应用】一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是个．【模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是个．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，对角线BD＝12cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿BD的延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t≤10），过点P作PE∥BD，交AD于点E，以DQ，DE为边作▱DQFE，连接PD，PQ．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形？（2）设四边形BPFQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形BPFQ的面积为菱形ABCD面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列四个数中，绝对值最大的是（）A．1 B．0.3 C．﹣ D．﹣3【分析】根据绝对值的大小比较大小即可得出答案．【解答】解：∵|0.3|＜|1|＜|﹣|＜|﹣3|，∴绝对值最大的是﹣3．故选：D．【点评】本题考查了实数的比较大小，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．2．某T型台如图所示，它的左视图为（）A． B． C． D．【分析】画出这个几何体的左视图即可．【解答】解：这个几何体的左视图为，故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，画出这个几何体的左视图是正确解答的前提．3．下列运算中结果正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．6a6÷2a2＝3a3 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（﹣2ab2）2＝2a2b4【分析】直接根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方的运算法则逐项判断即可．【解答】解：A、a3•a2＝a5，故原结果错误，不符合题意；B、6a6÷2a2＝3a4，故原结果错误，不符合题意；C、（﹣a2）3＝﹣a6，计算正确，符合题意；D、（﹣2ab2）2＝4a2b4，故原结果错误，不符合题意；故答案为：C．【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方的运算法则是解题的关键．4．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000017s．把0.0000000017s用科学记数法可表示为（）A．0.17×10﹣8 B．1.7×10﹣9 C．1.7×10﹣8 D．17×10﹣9【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.0000000017s＝1.7×10﹣9，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．5．若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝﹣2x+b经过点（2，0）．【解答】解：由方程的解可知：当x＝2时，﹣2x+b＝0，即当x＝2，y＝0，∴直线y＝﹣2x+b的图象一定经过点（2，0），故选：A．【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．6．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（）A．48° B．24° C．22° D．21°【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．【解答】解：连接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED＝∠COD＝21°．故选：D．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，若AF＝9，BC＝10，则△ABC的周长为（）A．19 B．28 C．29 D．38【分析】连接CD、BD，由垂直平分线性质可得BD＝CD，再由HL证得Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE＝CF，由HL证得Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE＝AF，即可得出结果．【解答】解：连接CD、BD，如图所示：∵D在BC的垂直平分线上，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∠BED＝∠DCF＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF＝9，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝（AE+BE）+BC+（AF﹣CF）＝AE+BC+AF＝9+10+9＝28，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，证得Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．8．函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝﹣kx+b的大致图象为（）A． B． C． D．【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，则﹣k＜0，根据二次函数的图象可知a＜0，b＜0，∴函数y＝﹣kx+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C．【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：（﹣）×＝9．【分析】先化简括号内的式子，然后根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（﹣）×＝（2﹣）×＝2×﹣×＝12﹣3＝9，故答案为：9．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．10．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有17个．【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，∵假设有x个红球，∴＝0.85，解得：x＝17，经检验x＝17是分式方程的解，∴口袋中红球约有17个．故答案为：17．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．11．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为10．【分析】设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y＝的图象过A，B两点，所以ab＝4，cd＝4，进而得到S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2，S矩形MCDO＝3×2＝6，根据四边形MAOB的面积＝S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．【解答】解：如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），∵反比例函数y＝的图象过A，B两点，∴ab＝4，cd＝4，∴S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2，∵点M（﹣3，2），∴S矩形MCDO＝3×2＝6，∴四边形MAOB的面积＝S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO＝2+2+6＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC＝|ab|＝2，S△BOD＝|cd|＝2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．12．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（﹣2，2），C（﹣1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（1，﹣1）．【分析】根据旋转的性质可得：旋转中心到点A和点D的距离相等，旋转中心到点B和点E的距离相等，从而可得旋转中心是AD和BE的垂直平分线的交点，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，∴作AD和BE的垂直平分线，交点为点P（1，﹣1），∴旋转中心的坐标是（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是⊙O的切线，⊙O与BC交于点D，点E是AC的中点，连接OE，四边形BDEO是平行四边形，则图中阴影部分的面积是π﹣2．【分析】连接OD，根据平行四边形的性质及圆的性质可得OD∥AC，OD＝AC，再根据中位线定理得OD∥AC，然后由切线的性质及扇形面积公式、三角形面积公式可得答案．【解答】解：连接OD，如图所示，∵四边形BDEO是平行四边形，∴ED∥OB，OE＝OB，∵AB是圆O的直径，∴OB＝AB，AO＝BO，∴OD∥AC，OD＝AC，∵点E是AC的中点，∴D是BC的中点，∴DE∥AB，∵AC是圆O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，∵OD＝OB＝AB＝×4＝2，∴S阴影＝﹣OD•OB＝﹣×2×2＝π﹣2．故答案为：π﹣2．【点评】此题考查的是切线的性质、平行四边形的性质、圆周角定理及扇形面积公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，对角AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，AE的延长线交BF于点M，OE＝OF，若，OE＝1，则EM的长为．【分析】根据正方形的性质，易证△AOE≌△BOF（SAS），根据全等三角形的性质可得AM⊥BF，再根据等积法求出AM的长，进一步即可求出EM的长．【解答】解：在正方形ABCD中，OA＝OB，∠AOE＝∠BOF＝90°，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴∠OAE＝∠OBF，∵∠AEO＝∠BEM，∴∠BME＝∠AOE＝90°，∴AM⊥BF，∵，OE＝1，根据勾股定理，可得AO＝＝2，∴AF＝OA+OF＝3，OB＝OA＝2，∵△AOE≌△BOF，∴BF＝，∵，∴，∴AM＝，∴EM＝AM﹣AE＝﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等积法等，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键，本题综合性较强，属于中考常考题型．三、作图题（本大题满分4分）15．（4分）已知：如图，在△ABC中，∠A为钝角．求作：⊙P，使圆心P在△ABC的边AC上，且⊙P与AB、BC所在的直线都相切．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】作∠ABC的角平分线BP，过点P作PD⊥BC于D，以P为圆心，PD为半径作⊙P即为．【解答】解：如图，⊙P即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．四、解答题（本大题共9小题，共74分）16．（8分）（1）先化简，再求值：，其中x＝3．（2）解不等式组：．【分析】（1）先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）＝÷＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝＝2；（2），解不等式①，得x≥2，解不等式②，得x＜7，所以原不等式组的解集是2≤x＜7．【点评】本题考查了分式的化简求值和解一元一次不等式组，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，注意运算顺序，嫩根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．17．（6分）某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x＜540.085≤x＜5.590.185.5≤x＜6n6≤x＜6.5110.226.5≤x＜7m0.207≤x＜7.52合计501.00c．乙试验田穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为10，n的值为0.28；（2）表2中w的值为6.15；（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是A；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是A；A．甲B．乙C．无法推断（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为2.1万个．【分析】（1）用50乘以对应频率可得m的值，先求出7≤x＜7.5对应的频率，再由频率之和为1可得n的值；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将5.9与甲、乙的中位数比较，再比较两个实验田的方差即可得；（4）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）m＝50×0.2＝10，7≤x＜7.5这一组的频率为2÷50＝0.04，∴n＝1﹣（0.08+0.18+0.22+0.20+0.04）＝0.28，故答案为：10，0.28；（2）表2中w的值为＝6.15，故答案为：6.15；（3）穗长为5.9cm的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，因为甲试验田的稻穗长度的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，故答案为：A、A；（4）估计甲试验田所有“良好”的水稻约为3×（0.22+0.2+0.28）＝2.1（万个）．故答案为：2.1．【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（6分）如图，有四张背面相同的纸牌，其正面分别画有平行四边形、矩形、菱形、圆四种图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出两张牌．（1）直接写出两张牌都是中心对称图形的概率是1；（2）用树状图（或列表法）求两张牌都是轴对称图形的概率（可用牌面字母表示）．【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、圆均为中心对称图形，知两张牌都是中心对称图形的事件是必然事件，从而得出答案；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵平行四边形、矩形、菱形、圆均为中心对称图形，∴两张牌都是中心对称图形的概率是1，故答案为：1．（2）画树状图如下：由图可知：共有12种等可能结果，其中两张牌都是轴对称图形的有6种结果，所以两张牌都是轴对称图形的概率为＝．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（6分）某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin26.5°≈，cos26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，则BE＝CF，CE＝BF，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出DF，CF的长，从而求出BE，EC的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，则BE＝CF，CE＝BF，在Rt△CDF中，∠CDF＝26.5°，CD＝10米，∴CF＝CD•sin26.5°≈10×＝4.5（米），DF＝CD•cos26.5°≈10×＝9（米），∴BE＝CF＝4.5米，∵BD＝9米，∴CE＝BF＝BD+DF＝9+9＝18（米），在Rt△AEC中，∠ACE＝37°，∴AE＝CE•tan37°≈18×＝13.5（米），∴AB＝AE+BE＝13.5+4.5＝18（米），∴旗杆AB的高度约为18米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（8分）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系．（1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式；（不需要写出自变量x的取值范围）（2）根据计划，要想在5天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？（3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了25%，最终提前了1天完成任务，求实际完成运送任务的天数．【分析】（1）设反比函数的解析式，代入（2，100）即可求解；（2）设该车队每天至少要运送m吨物资，根据题意列不等式，解不等式即可；（3）设原计划每天运送货物n吨，根据题意列分式方程，即可求出．【解答】解：（1）∵y与x满足反比例函数关系，∴设，将点（2，100）代入，解得k＝200，∴．（2）设该车队每天至少要运送m吨物资，则5m≥200，则m≥40，∴该车队每天至少要运送40吨物资．（3）设该车队原计划每天运送的货物n吨，则实际每天运送的货物为（1+25%）n吨，根据题意列方程得，，解得n＝40，经检验，n＝40是原方程的根，∴原计划每天运送货物40吨，实际每天运送货物50吨，∴实际完成运送任务的天数是＝4（天）．【点评】本题考查了反比例函数、不等式和分式方程，通过反比例函数确定总的运送任务再根据题意列出相应的分式方程，是解决问题的关键，本题综合性很强．21．（8分）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，求出CE∥AB，CE＝AB，根据平行四边形的判定得出四边形ABEC是平行四边形，根据矩形的判定得出即可．（2）根据平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，求出AG＝CF，根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形，求出AG＝CG，根据菱形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CD＝CE，∴CE∥AB，CE＝AB，∴四边形ABEC是平行四边形，∵AC⊥CD，∴∠ACE＝90°，∴四边形ABEC是矩形；（2）四边形AFCG是菱形，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∵点F、G分别是BC、AD的中点，∴AG＝DG＝AD，BF＝CF＝BC，∴AG＝CF，∴四边形AFCG是平行四边形，∵∠ACD＝90°，G为AD的中点，∴AG＝CG，∴四边形AFCG是菱形．【点评】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．22．（10分）正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城．乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中OE＝米，OF＝米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线F→E→G的函数关系式；（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？（3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求OA＝AB．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出P，G坐标，再求出PG长度，通过抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，平移长度为PG+GK，可得抛物线K→H→Q解析式，然后把y＝4代入解析式解方程可得结论；（3）先设出A，B横坐标，再代入解析式，分别求出M，N的纵坐标，然后求出AM，CM，BN，DN之和的最小值，从而求出最低造价．【解答】解：（1）由图象可设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2，把F（0，）代入，得：＝a（0﹣）2，解得：a＝，∴抛物线F→E→G的函数关系式为y＝（x﹣）2；（2）当y＝5时，5＝（x﹣）2，解得：x1＝，x2＝，∴P（，5），G（，5），PG＝＝＝5，∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，∴抛物线K→H→Q由抛物线P→E→G向右平移（PG+GK）个单位，∴抛物线K→H→Q为y2＝（x﹣﹣5﹣）2＝（x﹣10）2，令y2＝4，则4＝（x﹣10）2，解得：（舍），x2＝10+，∴离出发点的水平距离最远为（10+）米；（3）设OA＝AB＝a，A（a，0），B（2a，0），yM＝（a﹣）2＝a2﹣5a+，yN＝（2a﹣）2＝a2﹣10a+，∴l＝AM+CM+BN+DN＝﹣5a+a++﹣10a++2a＝4a2﹣12a+＝4（a﹣）2+，∵4＞0，∴开口向上，∴当a＝时，l最短，最短为，8000×＝53000（元），∴当OA＝AB＝时，造价最低，最低造价为53000元．【点评】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．23．（10分）【问题提出】在由m×n（m×n＞1）个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：矩形横长m233545…矩形纵长n112233…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f23466x…观察上表数据，表中的x＝7．结论：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是f＝m+n﹣1．探究二：当m，n不互质时，不妨设m＝ka，n＝kb（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：a233523…b112211…k222233…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f468y6z…观察上表数据．表中的y＝12，z＝9．结论：当m，n不互质时，若m＝ka，n＝kb（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在m×n的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是f＝k（a+b﹣1）．【模型应用】一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是1050个．【模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直接穿过的小正方体的个数是6个．【分析】探究一：通过观察即可得出当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式；探究二：当m、n不互质时，根据a、b、k的值求出m、n的值，计算f的值，即可得到规律；（模型应用】利用630与490求出a、b、k的值，计算f的值，即可得到规律；【模型拓展】如图，连接长方体上下两个底面的对角线，得到矩形ACBD，利用勾股定理求出AC＝＝4，由每个小正方体的对角线长为，得到AC的长是4个小长方体的对角线，根据BC＝3，且4与3互质，利用公式求出答案．【解答】解：探究一：根据表中规律可知，当矩形横长为5，纵长为3时，矩形对角线穿过的小正方形个数为：5+3﹣1＝7，当矩形横长为m，纵长为n时，矩形对角线穿过的小正方形个数：f﹣m+n﹣1，故答案为：7，f＝m+n﹣1；探究二：当m、n不互质时，根据图表2表格可得：当a＝2，b＝1，k＝2，m＝ka＝4，n＝kb＝2时，f＝2×（2+1﹣1）＝4，当a＝3，b＝1，k＝2，m＝ka＝6，n＝kb＝2时，f＝2×（3+1﹣1）＝6，当a＝3，b＝2，k＝2，m＝ka＝6，n＝kb＝4时，f＝2×（3+2﹣1）＝8，••；∴当m、n不互质时，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a、b、k之间的