初中数学浙教版九年级下册第2章直线与圆的位置关系切线长定理

切线长定理1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4eq\r(,3)D.8eq\r(,3)(第1题)(第2题)2.如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为(B)A.7B.14C.D.3.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，D是优弧eq\o(ADB,\s\up8(︵))上不与点A，C重合的一个动点，连结AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(C)A.15°B.20°C.25°D.30°(第3题)4.如图，一圆内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为(B)(第4题)A.32B.34C.36D.5.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连结OA，OP，则eq\f(OA,PA)的值是(D)A.eq\f(2\r(13),13)B.eq\f(12,5)C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)(第5题)(第6题)6.如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是2.(第7题)7.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结OP与⊙O交于点C，连结AC，BC.求证：AC＝BC.【解】∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC.∴AC＝BC.(第8题)8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不与点M，C重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长.【解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，即OA⊥AD，OB⊥BC.∵OA，OB是半径，∴AF，BP是⊙O的切线.又∵PF是⊙O的切线，∴FE＝FA，PE＝PB，∴四边形CDFP的周长为DC＋PC＋DF＋FP＝DC＋PC＋DF＋FE＋PE＝DC＋PC＋DF＋FA＋PB＝DC＋AD＋CB＝2＋2＋2＝6.9.如图，在直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，BO交半圆O于点F，DF的延长线交AB于点P，连结DE.有下列结论：①DE∥OF；②AB＋CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB·DC.其中正确的结论是(C)(第9题)A.①②③④B.①②C.①②④D.③④【解】连结AE.∵四边形ABCD是直角梯形，∴CD⊥AD，AB⊥AD.∵AD是半圆O的直径，∴CD，AB是半圆O的切线.∵BC是半圆O的切线，∴BO是∠ABE的平分线，CD＝CE，AB＝BE，∴OB⊥AE，AB＋CD＝BC，故②正确.∵点E在半圆O上，∴DE⊥AE，∴DE∥OF，故①正确.连结OC.易得△OAB∽△CDO，∴eq\f(OA,CD)＝eq\f(AB,DO)，即OA·OD＝AB·CD，∴AD2＝4AB·DC，故④正确.③无法证明，故正确的结论是①②④.(第10题)10.如图，⊙D的半径为3，A是⊙D外一点，且AD＝5，AB，AC分别与⊙D相切于B，C两点，G是eq\o(BC,\s\up8(︵))上任意一点，过点G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F.(1)△AEF的周长是8.(2)当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBEFC的面积是9.【解】(1)∵AB，AC分别与⊙D相切于点B，C，∴AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝90°.又∵BD＝3，AD＝5，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝4.∵EF切⊙O于点G，∴BE＝EG，FG＝FC.∴△AEF的周长＝AE＋EG＋FG＋AF＝AB＋AC＝8.(第10题解)(2)如解图，AG＝AD－DG＝5－3＝2.在△AEG和△ADB中，∵∠AGE＝∠ABD＝90°，∠GAE＝∠BAD，∴△AEG∽△ADB，∴eq\f(S△AEG,S△ADB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AG,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).又∵S△ADB＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×4×3＝6，∴S△AEG＝eq\f(3,2).同理，S△ACD＝6，S△AFG＝eq\f(3,2).∴S五边形DBEFC＝S△ABD＋S△ACD－S△AEG－S△AFG＝6＋6－eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝9.11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F.(第11题)(1)求证：DE＝eq\f(1,2)BC.(2)若AC＝6，BC＝8，求S△ACD∶S△EDF的值.【解】(1)由题意，得EC，ED都是⊙O的切线，∴EC＝ED，∠ECD＝∠EDC.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＋∠EDB＝90°，∠ECD＋∠B＝90°，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝BE.∴DE＝BE＝EC.∴DE＝eq\f(1,2)BC.(2)在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10.易知△ADC∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，∴AD＝AC2÷AB＝，∴BD＝AB－AD＝，∴S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝9∶16.∵ED＝EB，EF⊥BD，∴S△EDF＝eq\f(1,2)S△EBD.同理可得S△EBD＝eq\f(1,2)S△BCD，∴S△EDF＝eq\f(1,4)S△BCD，∴S△ACD∶S△EDF＝eq\f(9,4).12.如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F，G两点，且与AB，AC分别相切于点D，E，DE∥BC，连结DF，EG.(1)求证：AB＝AC.(2)若AB＝10，BC＝12，求当四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.(第12题)【解】(1)∵⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.(2)如解图，连结AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连结OE，DG.(第12题解)设⊙O的半径为r.∵四边形DFGE是矩形，∴∠DFG＝90°.∴DG是⊙O的直径.∵⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥AC.又∵OD＝OE，∴AN平分∠BAC.∵AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝eq\f(1,2)BC＝6，∴AN＝eq\r(AB2－BN2)＝eq\r(102－62)＝8.∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°.又∵∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN，∴eq\f(OD,BN)＝eq\f(AD,AN)，即eq\f(r,6)＝eq\f(AD,8).∴AD＝eq\f(4,3)r.∴BD＝AB－AD＝10－eq\f(4,3)r.∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN，∴eq\f(BD,BN)＝eq\f(GD,AN)，即eq\f(10－\f(4,3)r,6)＝eq\f(2r,8)，∴r＝eq\f(60,17).∴当四边形DFGE是矩形时，⊙O的半径为eq\f(60,17).13.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α(定值)，⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC，BC相切于点P，Q.(第13题)(1)求∠POQ的度数(用含α的代数式表示).(2)设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的度数是否保持不变，并说明理由.(3)在(2)的条件下，如果AB＝m(m为已知数)，cosα＝eq\f(3,5)，设AD＝x，DE＝y，求y关于x的函数表达式(并指出自变量x的取值范围).【解】(1)∵AC＝BC，∴∠OBQ＝∠OAP＝α.∵⊙O分别与AC，BC相切于点P，Q，∴∠OPA＝∠OQB＝90°，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°－α，∴∠POQ＝180°－2(90°－α)＝2α.(2)∠DOE的度数保持不变.理由如下：连结OM.由切线长定理，得EM＝EQ.又∵OM＝OQ，OE＝OE，∴△OEM≌△OEQ.∴∠MOE＝∠QOE.同理，∠MOD＝∠POD.∴∠DOE＝eq\f(1,2)(∠POM＋∠QOM)＝eq\f(1,2)(360°－∠POQ)＝180°－α.∵α为定值，∴∠DOE的度数保持不变.(3)∵OP＝OQ，∠APO＝∠BQO＝90°，∠PAO＝∠QBO，∴△APO≌△BQO.∴OA＝OB.∵AB＝m，∴OA＝OB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)，∴BQ＝AP＝AO·cosα＝eq\f(3,10)m，∴DM＝DP＝eq\f(3,10)m＋x.∵∠ADO＋∠AOD＝∠OAP＝α，∠BOE＋∠AOD＝180°－∠DOE＝α，∴∠ADO＝∠BOE.又∵∠DAO＝∠OBE＝180°－α，∴△ADO∽△BOE，∴eq\f(AD,A