初中数学浙教版九年级上册第4章　相似三角形4．5　相似三角形的性质及其应用(a)

相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶2．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A.4B.eq\f(12,5)C.eq\f(20,3)D.63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶eq\r(2)(第3题)(第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED的面积的比为(B)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28，则△ABC的面积为__36__．6．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求eq\f(S1,S2)的值．(第7题)【解】∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,2)，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC＝eq\r(5)a.∵BF⊥AC，四边形ABCD为矩形，∴易得△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE·AC，AB2＝AE·AC，∴a2＝CE·eq\r(5)a，(2a)2＝AE·eq\r(5)a，∴CE＝eq\f(\r(5)a,5)，AE＝eq\f(4\r(5)a,5)，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,4).易得△CEF∽△AEB，∴eq\f(S1,S2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CE,AE)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,3)，S△ABC＝25，求S▱BFED.(第8题)【解】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB.∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AC)))eq\s\up12(2)，eq\f(S△CEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CE,AC)))eq\s\up12(2).∵eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,5)，eq\f(CE,AC)＝eq\f(3,5).∵S△ABC＝25，∴S△ADE＝4，S△CEF＝9，∴S▱BFED＝25－4－9＝12.9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为(D)(第9题)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,16)【解】∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，△BDE∽△BAC，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,4)，∴S△DOE∶S△AOC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).10．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半．若AB＝eq\r(2)，则此三角形移动的距离AA′＝eq\r(2)－1．(第10题)【解】设BC与A′C′交于点E.易知AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2.∵AB＝eq\r(2)，∴A′B＝1，∴AA′＝AB－A′B＝eq\r(2)－1.11．如图，已知△ABC是面积为eq\r(3)的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE交于点F，则△AEF的面积等于eq\f(3－\r(3),4)(结果保留根号).(第11题)【解】过点F作FG⊥AE于点G.∵△ABC∽△ADE，∴eq\f(S△ABC,S△ADE)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AD)))eq\s\up12(2)＝4，∴S△ADE＝eq\f(\r(3),4)，∴正三角形ADE的边长为1.∵∠EAD＝∠CAB＝60°，∴∠EAF＝∠BAD＝45°，∴FG＝AG.在Rt△EGF中，设EG＝x，则易得FG＝eq\r(3)x，∴eq\r(3)x＋x＝1，∴x＝eq\f(\r(3)－1,2)，∴FG＝eq\f(3－\r(3),2).∴S△AEF＝eq\f(1,2)AE·FG＝eq\f(3－\r(3),4).12．如图，已知A是反比例函数y＝eq\f(\r(6),x)在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边向右作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在反比例函数y＝eq\f(k,x)上运动，则k的值是－3__eq\r(6)．(第12题)(第12题解)【解】∵反比例函数y＝eq\f(\r(6),x)的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB.连结OC，如解图．∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∠BAC＝60°.∴AC＝2OA.∴OC＝eq\r(3)OA.过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F.∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC＝90°，∴∠AOE＝90°－∠FOC＝∠OCF，∴△OFC∽△AEO，且相似比eq\f(OC,OA)＝eq\r(3)，∴eq\f(S△OFC,S△AEO)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OC,OA)))eq\s\up12(2)＝3.设点A的坐标为(a，b)．∵点A在双曲线y＝eq\f(\r(6),x)上，∴S△AEO＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(6),2)，∴S△OFC＝eq\f(1,2)FC·OF＝eq\f(3\r(6),2).设点C的坐标为(x，y)．∵点C在第四象限，∴FC＝x，OF＝－y.∴FC·OF＝x·(－y)＝－xy＝3eq\r(6).∵点C在双曲线y＝eq\f(k,x)上，∴k＝xy＝－3eq\r(6).(第13题)13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并将△ABC分成面积分别为S1，S2，S3的三块．若S1∶S2∶S3＝1∶4∶10，BC＝15，求DE，FG的长．【解】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,BC)))eq\s\up12(2)，eq\f(S△AFG,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FG,BC)))eq\s\up12(2)，即eq\f(S1,S1＋S2＋S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,15)))eq\s\up12(2)，eq\f(S1＋S2,S1＋S2＋S3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FG,15)))eq\s\up12(2).设S1＝k，则S2＝4k，S3＝10k，∴eq\f(S1,S1＋S2＋S3)＝eq\f(k,k＋4k＋10k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,15)))eq\s\up12(2)，eq\f(S1＋S2,S1＋S2＋S3)＝eq\f(k＋4k,k＋4k＋10k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(FG,15)))eq\s\up12(2)，∴DE＝eq\r(15)，FG＝5eq\r(3).14．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC相交于点O.①求证：△OCP∽△PDA.②若△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．(2)若图①中的P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上(点M不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，过点M作ME⊥BP于点E.试问：在点M，N移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长度．【解】(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝∠C＝90°，∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠APD.又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.②∵△OCP与△PDA的面积之比为1∶4，△OCP∽△PDA，∴eq\f(OC,PD)＝eq\f(OP,PA)＝eq\f(CP,DA)＝eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，OC＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，OC＝8－x，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴AB＝AP＝2OP＝10，∴边AB的长为10.(2)∵P是CD边的中点，∴DP＝eq\f(1,2)DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝eq\f(1,2)AP.∵∠D＝90°，∴∠DAP＝30°.∵∠DAB＝90°，∠OAP＝∠OAB，∴∠OAB＝30°.(3)过点M作MQ∥AN交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ.∵ME⊥PQ，∴PE＝QE＝eq\f(1,2)PQ.∵BN＝MP，MP＝MQ，∴BN＝MQ.∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠B