初中数学北师大版九年级上册第一章　特殊平行四边形 优质课比赛一等奖

．矩形的性质与判定第2课时矩形的判定课后作业:方案（B）一、教材题目：P16，T1-T31．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE.(1)试判断四边形ABEC的形状；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？(第1题)2．如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．(第2题)问题解决3．如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍．(第3题)二、补充题目：部分题目来源于《点拨》1．下列条件中，能判定四边形是矩形的是()A．对角线互相平分B．对角线互相垂直平分C．对角线互相平分且相等D．对角线相等3．〈湖南常德〉如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为()\f(3,2)B．3C．1\f(4,3)(第3题)9．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．(1)试说明：△BOE≌△DOF.(2)若OA＝eq\f(1,2)BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．(第9题)14．如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别为BC，AO的中点．求证：MN垂直平分DE.(第14题)答案教材1．解：(1)∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.又∵DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∠ADC＝∠EDB，∴△ABD≌△ECD，△ADC≌△EDB.∴AB＝CE，BE＝AC.∴四边形ABEC是平行四边形．(2)当∠BAC＝90°时，四边形ABEC是矩形．2．解：四边形ACBD是矩形．证明：∵BC平分∠ABM，BD平分∠ABN，∴∠ABC＝∠CBM＝eq\f(1,2)∠ABM，∠ABD＝∠DBN＝eq\f(1,2)∠ABN.∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABM＋eq\f(1,2)∠ABN＝eq\f(1,2)(∠ABM＋∠ABN)＝90°.∵CD∥MN，∴∠DCB＝∠CBM，∠CDB＝∠DBN.∴∠DCB＝∠ABC，∠CDB＝∠ABD.∴CO＝BO，BO＝DO.∴DO＝CO.∵O为AB中点，∴AO＝BO.又∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC.∴AD＝BC，同理可得BD＝AC，∴四边形ACBD是平行四边形．又∵∠CBD＝90°，∴四边形ACBD是矩形．(第3题)3．解：如图，四边形EFGH即为所作矩形，其中EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD.随堂练习证明：∵△ABD和△CBD都是等边三角形，M，N是BC和AD的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝60°，∠BDM＝eq\f(1,2)∠BDC，DM⊥BC，BN⊥AD.∴∠BDM＝30°，∠DMB＝∠DNB＝90°.∴∠NDM＝∠NDB＋∠BDM＝90°.∴四边形BMDN是矩形．.点拨1．C3．A点拨：∵AB＝3，∴DC＝3.又∵AD＝4，∴AC＝eq\r(32＋42)＝5.根据折叠可得△DEC≌△D′EC，∴CD′＝CD＝3，ED＝ED′.设ED＝x，则ED′＝x，AD′＝AC－CD′＝2，AE＝4－x.在Rt△AED′中，AD′2＋ED′2＝AE2，即22＋x2＝(4－x)2，解得：x＝eq\f(3,2).故选A.9．解：(1)∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°.∵点O是EF的中点，∴OE＝OF.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF.(2)四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵OA＝eq\f(1,2)BD，OA＝eq\f(1,2)AC，∴BD＝AC，∴四边形ABCD是矩形．14．证明：连接EM，DM，EN，DN.∵BD，CE是△ABC的两条高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDB＝∠AEC＝∠BEC＝90°.在Rt△ADO中，N为斜边AO的中点，∴DN＝eq\f(1,2)AO.在Rt△AEO中，N为斜边AO的中点，∴EN＝eq\f(1,2)AO，∴EN＝DN.∴N在DE的垂直平分线上．在Rt△BC