广东省梅州市隆文中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

广东省梅州市隆文中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量m=(-1，4)与n=(2，t)的夹角为钝角，则函数f(t)=t2—2t+1的值域是(

)

A．

B．

C.[0,81)(81,+∞)

D.[0,+∞)参考答案：A2.（5分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y一定减少2个单位；（3）若p且q为假命题，则p，q均为假命题；（4）命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则．A．2B．3C．4D．5参考答案：A【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，即可判断出正误；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，即可判断出正误；（3）由已知可得：p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误；（4）利用命题否定定义即可判断出正误；（5）由正态分布的对称性可得：P（﹣1＜ξ＜0）=，即可判断出正误．解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，因此不正确；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，因此不正确；（3）若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确；（4）命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，正确；（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则P（﹣1＜ξ＜0）==，因此正确．综上真命题的个数为2．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的应该知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[e﹣1，2]B．[e﹣2，2]C．[﹣e，1+e]D．[1﹣e，1+e]参考答案：B【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由题意知|lnx+﹣m|≤1，变形得m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则问题转化为函数h（x）的值在[m﹣1，m+1]，对函数h（x）求导即可得h（x）在[，e]上的最值情况，对比后即可答案．解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，∴对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，即|lnx+﹣m|≤1，从而m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则h′（x）==，从而当x＞1时，h′（x）＞0；当x＜1时，h′（x）＜0；当x=1时，h（x）取极小值，也就是最小值，故h（x）在[，e]上的最小值为1，最大值为e﹣1，所以m﹣1≤1且m+1≥e﹣1，从而e﹣2≤m≤2，故选：B．【点评】：本题考查新定义函数，其本质仍是通过变形，求导讨论函数的单调性，属于中档题．4.已知斜率为2的直线双曲线交A、B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于（A)

(B)2

(C)

(D)参考答案：D略5.是虚数单位，若，则等于A、1B、C、D、参考答案：C6.已知设函数，则的最大值为（

）A．1

B．2

C．

D．4参考答案：C7.设，则！等于（）

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A略8.设曲线C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝9，直线l的方程x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为（

）A、1B、2C、3D、4参考答案：9.已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为（

）

A.1

B.

2

C.

0

D.0或2参考答案：C略10.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：g/m3）则下列说法正确的是

（A）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等

（B）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大

（C）这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等

（D）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：cos215°﹣sin215°=．参考答案：【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°=cos30°=．故答案为：．12.函数的定义域为

参考答案：13.已知函数若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．参考答案：画出函数图象，利用数形结合的方法求解．若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，即函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象有两个不同的交点，由图象可知a＜1.

答案(－∞，1)14.向量，，若，则_________.参考答案：【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】向量，，所以，又因为，所以，即，解得，故答案为.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.15.几何证明选讲）在圆内接△ABC中，AB=AC=，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P，且AQ：QP=1：2，则AP=

。参考答案：15连接BQ，∵∠ACB与∠AQB同对弧AB，∴∠ACB=∠AQB，又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠AQB=∠ABP，∵∠BAQ=∠PAB，∴△AQB∽△ABP，可得又因为，即。16.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．参考答案：25【分析】设椭圆的左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），左焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2＝|PF|+|PF'|，即|PF'|＝2﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|＝8﹣2，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|＝2，可得﹣2≤8﹣2≤2，解得，所以,①又A在椭圆内，所以,所以8m-16<m(m-4),解得或,与①取交集得故答案为25．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．17.已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，转化成f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，然后利用参数分离法将a分离得a≥3x2，使x∈（﹣1，1）恒成立即可求出a的范围．【解答】解：由题意应有f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，故a≥3．故答案为：a≥3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本大题10分）如图，在中，，是上一点，以为直径的圆交于点，连交半圆于点，延长交于点，（I）求证：；（II）求证：四点共圆．参考答案：（I）证明：略；

（II）证明：略．

略19.（本小题满分14分）

已知函数（a∈R）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；

（3）已知当x>-1,n≥1时，，求证：当n∈N*，x2<n时，不等式成立．参考答案：(1)解： 1分

当a≤0时，，则在上单调递增 2分

当a>0时，在上单调递减，在上单调递增． 4分(2)解：由，得 5分

考查函数(x∈[1，2])，则 6分

令，

当1≤x≤2时，，∴在[1，2]上单调递增 7分

∴,，∴在[1，2]上单调递增

∴在[1，2]上的最小值为，最大值为 8分

∴当时，函数在[1，2]上有且仅有一个零点 9分(3)解： 10分

由(1)知，则 11分

∵，且n∈N*，∴，∴ 12分

又∵，∴ 13分

14分20.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）当时，求出可得切线的斜率，从而得到切线方程.（Ⅱ）求出后就讨论其符号后可得函数的单调区间.（Ⅲ）就、、、、分类讨论后可得的最大值和最小值，从而得到关于的不等式组，其解即为所求的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，因为所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）因为，所以.令，解得或.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.若，则，当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅲ）由题设，只要即可.令，解得或.当时，随变化，变化情况如下表：

减极小值增

由表可知，此时，不符合题意.当时，随变化，变化情况如下表：

增极大值减极小值增

由表可得，且，，因，所以只需，即，解得.当时，由（Ⅱ）知在为增函数，此时，符合题意.当时，同理只需，即，解得.当时，，，不符合题意.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查曲线的切线、函数的单调性以及不等式的恒成立，注意导数符号的讨论需按导数的零点是否存在、根存在的条件下根的大小关系来分类讨论，本题属于难题.21.（本题满分7分）设.（1）若，试判断集合与集合的关系；（2）若，求实数组成的集合.参考答案：（1）由得或，所以.若，得，即，所以，故.（2）因为，又.①当时，则方程无解，则；②当时，则，由，得，所以或，即或故集合.22.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热