广东省汕头市胪溪初级中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析

广东省汕头市胪溪初级中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）A．9 B．2 C． D．3参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断四棱锥的底面边长及四棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：四棱锥的底面是边长为3的正方形，四棱锥的高为1，∴四棱锥的体积V=×32×1=3．故选：D．2.函数图象一定过点（

）A、（0,1）

B、（0,3）

C、（1,0）

D、（3，0）参考答案：B3.锐角△ABC的面积为2，角A，B，C的对边为a，b，c，且，若恒成立，则实数m的最大值为（

）A．2

B．

C.4

D．参考答案：C4.（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（） A． B． C． D． 参考答案：D考点： 平面向量的基本定理及其意义．分析： 由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值解答： ∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故选D点评： 本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组，是解答本题的关键．5.若函数f（x）=ax3+blog2（x+）+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值9参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先令g（x）=ax3+blog2（x+），判断其奇偶性，再由函数在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，得到函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，从而有g（x）在（0，+∞）上有最大值7，则由f（x）=g（x）+2得到结论．【解答】解：令g（x）=ax3+blog2（x+），其定义域为R，又g（﹣x）=a（﹣x）3+blog2（﹣x+）=﹣[ax3+blog2（x+）]=﹣g（x）所以g（x）是奇函数．由根据题意：在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，所以函数g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，由函数g（x）在（0，+∞）上有最大值7，所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．故选D．【点评】本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与﹣x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．6.在△ABC中,已知,则的值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A

7.已知数列是等差数列，且，则=

（

）

A、72

B、60

C、48

D、36

参考答案：B略8.下列选项中与函数y=x是同一函数的是（）A．y=B．y=()2 C．y= D．y=参考答案：A【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数y==x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于B，函数y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数；对于D，函数y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数．故选：A．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9.已知函数的定义域为，的定义域为，则A. B. C. D.参考答案：D10.若，则下列正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数（a，b，c，d∈R），其图象如图所示，则a：b：c：d=

．参考答案：1：（﹣6）：5：（﹣8）【考点】函数的图象．【分析】根据图象可先判断出分母的分解式，然后利用特殊点再求出分子即可．【解答】解：由图象可知x≠1，5∴分母上必定可分解为k（x﹣1）x﹣5）∵在x=3时有y=2∴d=﹣8k∴a：b：c：d=1：（﹣6）：5：（﹣8），故答案为1：（﹣6）：5：（﹣8）．12.函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的单调递减区间是

．参考答案：（﹣∞，1）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，解得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，设t=x2﹣3x+2，则函数y=log2t为增函数，要求函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的递减区间，根据复合函数单调性之间的关系，即求函数t=x2﹣3x+2的减区间，∵函数t=x2﹣3x+2的减区间为（﹣∞，1），∴函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的单调递减区间是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．13.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+ex（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为．参考答案：ln6﹣【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=x+ex，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣故答案为：ln6﹣14.cos（﹣π）+sin（﹣π）的值是．参考答案：0【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：cos（﹣π）+sin（﹣π）=cos（﹣）+sin（﹣）=cos﹣sin=﹣=0，故答案为：0．15.（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于

．参考答案：6考点： 由三视图求面积、体积．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 由题意判断几何体的形状，集合三视图的数据求出侧面积．解答： 由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2×1=6，故答案为：6．点评： 本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查空间想象能力，计算能力．16.（5分）对于下列结论：①函数y=ax+2（x∈R）的图象可以由函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象平移得到；②函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；③方程log5（2x+1）=log5（x2﹣2）的解集为{﹣1，3}；④函数y=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）为奇函数．其中正确的结论是

（把你认为正确结论的序号都填上）．参考答案：①④考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 函数的性质及应用．分析： ①利用图象的平移关系判断．②利用对称的性质判断．③解对数方程可得．④利用函数的奇偶性判断．解答： ①y=ax+2的图象可由y=ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；②y=2x与y=log2x互为反函数，所以的图象关于直线y=x对称，②错误；③由log5（2x+1）=log5（x2﹣2）得，即，解得x=3．所以③错误；④设f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），定义域为（﹣1，1），关于原点对称，f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣=﹣f（x）所以f（x）是奇函数，④正确，故正确的结论是①④．故答案为：①④点评： 本题考查函数的性质与应用．正确理解概念是解决问题的关键．17.已知向量满足，与的夹角为60°，则__________．参考答案：

因为＝，所以..．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2ax+2．（1）当a≤2时，求f（x）在[，3]上的最小值g（a）；（2）如果函数f（x）同时满足：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间[p，q]，使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”．（i）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“闭函数”，求实数t的取值范围；（ii）判断（1）中g（a）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，根据对称轴，分类讨论即可，（2）（i）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p2，q2为方程+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围（ii）由新定义，假设g（a）为“和谐函数”，讨论p，q的范围，通过方程的解即可判断【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a，当a≤时，f（x）在[，3]上单调递增，其最小值为g（a）=f（）=﹣；当≤a≤2时，f（x）在[，3]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2；函数f（x）=x2﹣2ax+2在[，3]上的最小值g（a）=（2）（i）∵y=+t在[1，+∞）递增，由闭函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]，所以p≥1，，∴p2，q2为方程+t=x的二实根，即方程x2﹣（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根且x≥t恒成立，令u（x）=x2﹣（2t+1）x+t2+1，∴，∴，解得＜t≤1∴实数t的取值范围（，1]．（ii）对于（1），易知g（a）在（﹣∞，2]上为减函数，①若p＜q≤，g（a）递减，若g（a）为“闭函数”，则，两式相减得p+q=，这与p＜q≤矛盾．②＜p＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则此时p2+q2=2满足条件的p，q存在，∴＜p＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在，③p≤＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则，消去q得9p2﹣6p+1=0，即（3p﹣1）2=0解得p=此时，q=＜2，且p2+q2=2∴p=＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在，综上所述，当p，q满足时，g（a）为“闭函数”19.（本小题满分12分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．

参考答案：解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3.………………………1分因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.………………………3分（2）这10名学生的平均成绩为：×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，故样本方差为：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.………6分（3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.……………………8分其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.

……………10分故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：.………………12分

20.（本小题满分14分）已知函数

,①

求的解析式并判断其单调性；②

对定义在