广东省汕头市西元中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省汕头市西元中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知向量，且共线，那么的值为(

)1

2

3

4参考答案：D略3.在某项测量中，测量结果服从正态分布＞，若在（0，2）内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为A.0.1

B.0.2

C.0.4

D.0.8参考答案：C4.已知等差数列满足且，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.函数的图像

Ａ．关于y轴对称

Ｂ．关于x轴对称

Ｃ．关于直线y=x对称

Ｄ．关于原点对称参考答案：D略6.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()

参考答案：D7.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：C解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6，选C8.已知函数有个零点，则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面平行的判定定理结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若平面α与平面β平行，则平面α内的两条直线与平面β都平行，即必要性成立，若平面α内的两条直线与平面β都平行，若两条直线不相交，则平面α与平面β平行不一定成立，即充分性不成立，故“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的必要不充分条件，故选：B．10.设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A． B．C．1 D．参考答案：B【考点】复数求模．【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i得z===+i，则则|z|==，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正确结论的序号是

．（写出所有正确的序号）

参考答案：②③⑥12.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，)是数列的前n项和，则=

．参考答案：113.在△ABC中，若b=2，c=1，tanB=2，则a=． 参考答案：3【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】解三角形． 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosB=，再利用余弦定理求得a的值． 【解答】解：在△ABC中，若b=2，c=1，tanB=2，故=2，sin2B+cos2B=1， 解得sinB=，cosB=． 由余弦定理可得b2=8=a2+c2﹣2accosB=a2+1﹣， 解得a=3，或a=﹣（舍去）， 故答案为3． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦定理的应用，属于基础题．14.若集合满足,则称为集合的一种拆分.已知:①当时，有种拆分；②当时，有种拆分；③当时，有种拆分；……由以上结论，推测出一般结论：当有_________种拆分.参考答案：因为当有两个集合时，；当有三个集合时，；当有四个集合时，；由此可以归纳当有个集合时，有种拆分。15.的展开式中，的系数是__________．（用数字填写答案）参考答案：通项公式，令，解得，∴系数为．16.已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左向右依次交于四个不同点，且，则实数的值为

.参考答案：略17.在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=1，，若，，且，则实数的值为

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．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设函数f（x）=e2x+aex，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣4时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈R，f（x）≥a2x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当a=﹣4时，f′（x）=2ex（ex﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）单调区间．（Ⅱ）对x∈R，f（x）≥a2x恒成立?e2x+aex﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+aex﹣a2x，则f（x）≥a2x恒成立?g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+aex﹣a2=2[ex﹣（﹣a）]，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（I）当a=﹣4时，函数f（x）=e2x﹣4ex，f′（x）=2e2x﹣4ex=2ex（ex﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间为：[ln2，+∞）时，单调递减区间为（﹣∞，ln2）．（Ⅱ）对x∈R，f（x）≥a2x恒成立?e2x+aex﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+aex﹣a2x，则f（x）≥a2x恒成立?g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+aex﹣a2=2[ex﹣（﹣a）]，①a=0时，g′（x）=2e2x＞0，此时函数g（x）在R上单调递增，g（x）=e2x＞0恒成立，满足条件．②a＞0时，令g′（x）=0，解得x=ln，则x＞ln时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增；x＜ln时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在R上单调递减．∴当x=ln时，函数g（x）取得极小值即最小值，则g（ln）=a2（1﹣ln）≥0，解得0＜a≤2e．③a＜0时，令g′（x）=0，解得x=ln（﹣a），则x＞ln（﹣a）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增；x＜ln（﹣a）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在R上单调递减．∴当x=ln（﹣a）时，函数g（x）取得极小值即最小值，则g（ln（﹣a））=﹣a2ln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．综上可得：a的求值范围是[﹣1，2e]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.设函数，其中a为常数.（1）当，求a的值；（2）当时，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）;(2)实数a的取值范围为.试题分析：（1）代入求得.（2）分参得到恒成立，则的最大值，所以取最小，则，所以。试题解析：（1），所以，，由于，即，解得.（2）因为恒成立，所以，即，分类参数，因为，所以，此时，所以，即实数的取值范围为.点睛：函数的恒成立问题，常用方法为分离参数法，本题分离参数得到，所以的最大值，则取最小，由对勾函数的性质得，所以得到的范围。恒成立问题是函数的常考题型，学会分参即恒成立的处理。20.设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．（2）若B=?，求m的取值范围．（3）若A?B，求m的取值范围．参考答案：【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由条件：“x∈Z”知集合A中的元素是整数，进而求它的子集的个数；（2）由条件：“B=?”知集合B中的没有任何元素是，得不等式的解集是空集，进而求m；（3）由条件：“A?B”知集合B是A的子集，结合端点的不等关系列出不等式后解之即得．【解答】解：化简集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B可写为B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}（1）∵x∈Z，∴A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集数为28﹣2=254（个）．（2）显然只有当m﹣1=2m+1即m=﹣2时，B=?．（3）当B=?即m=﹣2时，B=??A；当B≠?即m≠﹣2时，（ⅰ）当m＜﹣2时，B=（2m+1，m﹣1），要B?A，只要，所以m的值不存在；（ⅱ）当m＞﹣2时，B=（m﹣1，2m+1），要B?A，只要．【点评】本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算．是一道中档题．21.已知。函数且.（1）求的解析式及单调递增区间；（2）将的图像向右平移单位得的图像，若在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：1）递增区间为；

（2）.解析：解

（1）

1分由，知函数的图像关于直线对称，

2分所以，又，所以

4分即所以函数的递增区间为；

5分（2）易知

6分即在上恒成立。令因为，所以

8分当，在上单调递减，，满足条件；当，在上单调递增，，不成立；③当时，必存在唯一，使在上递减，在递增，故只需，

解得；

12分综上，由①②③得实数的取值范围是：.

13分另解：由题知：∴即在x∈[0,]上恒成立也即在x∈[0,]上恒成立令，如图：的图象在图象的下方，则：故.

略22.（12分）（2009?重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．

【专题】计算题．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（Ak）=C2k（）k（）2﹣k，P（Bl）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1?B1）=P（A1）?P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0?B0）=P（A0）?P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0?B1）+P（A1?B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0?B2）+P（A1