气体动力学讲义吴子牛lecture4课件

IV:气体动力学第四讲理想气体运动的基本方程组回忆2001年9月25日星期二上午9：50－中午12：15明理楼422IV气体动力学中的粘性效应

气体的运动学粘性系数正比于分子平均自由程l和分子的热运动平均速度（音速量级）：在气体动力学考虑的速度范围内，气体的速度为音速量级，即因此，对于特征长度为L的流动问题，相应的雷诺数为因此，除非气体特别稀薄（那时用稀薄气体动力学），雷诺数一般都很大。称为Knudsen数，用以衡量气体的稀薄程度。IV：理想气体运动方程气体动力学中的粘性效应续雷诺数很大时，粘性效应集中在离壁面很薄一层内（边界层）。由此发展了边界层理论（粘性流体力学，并列课程）。在低温和高雷诺数情况下，用无粘流理论获得的压力分布非常接近计及边界层（粘性和热传导效应）的结果。对于高超音速流动，需要考虑高温边界层；但无粘流理论可以提供外流条件。因此，主要考虑理想气体，即无粘性、无热传导的气体。流体方程为欧拉方程。IV：理想气体运动方程IV-1:基本原则需要知道所描述的物理量（6个）：

物性参数：密度，压力，温度运动参数：速度

构造方程的基本定律：

质量守恒定律动量守恒定律能量守恒定律定解问题的四个方面：状态方程＋泛定方程＋初始条件＋边界条件IV-1：基本原则推导基本方程的原则续系统选取：(1)流体团（随体观点即拉格朗日法，封闭系统）或控制体（当地观点即欧拉法，开口系统），它们在任意时刻所包含的流体物质处于准静态过程。(2)依据系统的微观性和宏观性，又可以选取微分法（需要连续性假设）和积分法（对间断也成立）。要点：六个参数，五个微分方程，四个方面，三种定律，两种观点和形式，一个目标。IV-1：基本原则本节授课原则参阅连续介质力学课程、流体力学课程，详细推导忽略。简单回忆。IV-1：基本原则IV-2:连续性方程也称质量守恒方程微分形式积分形式(）对于拉格朗日方法，取IV-2：连续性方程连续性方程两种形式的统一微分形式到积分形式：直接积分积分形式到微分形式（可微假设）：利用得再利用高斯定理，得IV-2：连续性方程连续性方程的利用已知化简答案含涡量的方程涡量定义兰姆(LambH.，ATreatiseofHydrodynamics,1932;看完兰姆的水动力学，不觉得水是液体)方程，由动量方程导出（p.42）克罗柯(Crocco)方程:将写成，带入兰姆方程得IV-4：动量方程克罗柯方程的意义对于定常、均能，方程简化为因此无旋均熵IV-4：动量方程IV-4:能量方程基本形式：总能方程动能方程：内能方程：e温度方程（量热完全气体）焓方程h、熵方程IV-4：能量方程动能方程将动量方程两端点乘以得于是IV-4：能量方程内能方程将总能方程减去动能方程，并利用得内能方程即IV-4：能量方程温度方程对于量热完全气体利用内能方程得

IV-4：能量方程量热完全气体焓方程温度方程量热完全气体焓定义因此焓方程为IV-4：能量方程绝热流动对于绝热流动对于量热完全气体因此积分得等熵关系式IV-4：能量方程熵方程由热力学基本关系式得即对于绝热流动IV-4：能量方程IV-5:一维定常绝热流的积分型方程积分形式的优点：不需要可微性和连续性假设，特别适应于有间断（激波等）的流动描述IV-5：一维定常问题质量方程一般形式特殊情况：定常、边界固定只有左右两个截面对积分有贡献IV-5：一维定常问题IV-6:理想气体基本方程组微分形式基本方程组：称为欧拉方程定解条件求解思路IV-6：方程组微分形式方程组：非守恒形式连续性方程动量方程能量方程热状态方程和量热状态方程封闭性：7个方程，7个未知数IV-6：方程组微分形式方程组：守恒形式连续性方程动量方程能量方程热状态方程和量热状态方程封闭性：7个方程，7个未知数IV-6：方程组方程组由和得方程组的一般形式5个微分方程，5个未知数

IV-6：方程组守恒变量也称未知数IV-6：方程组通量函数IV-6：方程组源项IV-6：方程组守恒形式与非守恒形式二者对于古典解是等价的；对于有间断得解，二者不等价。它们的区别主要应用在计算流体力学上（吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，2001）。对于数值计算，针对守恒形式进行离散得差分方法可以自动捕获激波等间断；而针对非守恒形式构造得格式需要添加特殊运算才能计算有激波得情况。IV-6：方程组问题提法确定问题：泛定方程个数等于未知数个数，如前者多则称为超定问题，如前者少则称为欠定问题定解问题：泛定方程＋定解条件定解条件：边界条件＋初始条件柯西问题（初始值问题，没有边界）：泛定方程＋初始条件边值问题（分狄利克莱、牛曼和劳平，没有初始条件）：定常泛定方程＋边界条件混合初边值问题：泛定方程＋初始条件＋边界条件适定问题：定解问题解存在、唯一且稳定。IV-6：方程组边界条件回忆无限远场（扰动未传播到）：固体壁面：对于理想流体，流体法向速度为0（无穿透条件，也称滑移边界条件）激波条件：Rankine-Hugoniot关系式库塔条件：绕流物体尖后缘处，上下流体在此会合，一侧流体不能绕过尖缘流动（否则梯度无穷大，从而粘性起主导作用）切向间断面条件：滑移面、尾涡面、射流自由面上，切向速度不连续，但两侧法向速度和压力相等IV-6：方程组库塔条件IV-6：方程组求解思路方程组是非线性、彼此耦合的，一般情况下只能求数值解，也因此计算流体力学成为一门单独学科（划时代的计算方法是Godunov于1959年在军令状压力下6个月内完成的）。对流动模型做不同层次的简化，求近似解

（1）一维定常流和非定常流（2）特殊问题的精确解（3）对特殊几何问题采用线化方法（4）找出相似参数，求相似规律IV-6：方程组IV-7:其它坐标系中的方程笛卡尔坐标系正交坐标系柱坐标系球坐标系一般运动变形坐标系中的守恒形式时-空变换坐标系统(Wu,2001)统一欧拉－拉格朗日系统(Huietal,1999)IV-7：其它坐标系坐标变换笛卡尔坐标系一般正交坐标系柱坐标系球坐标系一般运动变换运动变形变换时空变换欧拉－拉各朗日系统IV-7：其它坐标系坐标系变换的原则流动参数随坐标系进行变换：

此时，可以将微分方程写成矢量形式，然后按新坐标系展开成各种分量形式。注意是客观不变量流动参数不变化：此时，可以将微分方程写成笛卡尔坐标系的形式，然后进行坐标变换，即将对的偏导数经过连锁求导法则，转换成对的求导IV-7：其它坐标系变流动参数变换将流动方程写成向量形式IV-7：其它坐标系笛卡尔坐标系利用IV-7：其它坐标系笛卡尔坐标系续IV-7：其它坐标系非惯性笛卡尔坐标系体积力形式的惯性力存在参阅

（1）张兆顺、崔桂香，流体力学，清华出版社，1998；（2）吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，2001柱坐标系利用球坐标系和一般正交坐标系利用参阅（张兆顺、崔桂香，流体力学，清华出版社，1998）固定流动参数变换基本变换基本变换关系式IV-7：其它坐标系固定流动参数变换基本关系式的解IV-7：其它坐标系偏微分与方程的变换求导连锁法则方程变换IV-7：其它坐标系变换方程的守恒形式IV-7：其它坐标系坐标变换与基本解及基本类型坐标变换能否改变基本解的类型？可以坐标变换能否改变方程的类型？可以以上属于前沿研究问题第一项成果将刊登在最古老的欧洲力学学报上V:声速与马赫数、可压缩性声速的定义：自己回忆（p25）声速传播的性质:自己回忆(p26)声速公式的一般形式:自己回忆（p26)热完全气体的声速:自己回忆（p26)马赫数定义:自己回忆(p27)气流速度的划分:自己回忆(p