2018届数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第9练三角函数的概念、三角恒等变换练习文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19学必求其心得，业必贵于专精PAGE第9练三角函数的概念、三角恒等变换［明考情］三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础，常在交汇点处命题，个别年份单独命题,难度中档偏下。［知考向]1。任意角的三角函数.2。三角函数的求值与化简.3。三角恒等变换的应用.考点一任意角的三角函数要点重组（1）终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内，构成集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝.（2）三角函数：角α的终边与单位圆交于点P1(x,y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f（y,x）(x≠0）。(3)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。1.已知圆O:x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动eq\f(π，2)弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα等于（)A.－1B。1C。－2D.2答案B解析圆的周长为4π，eq\f（π,2)弧长对应的圆心角为eq\f(π,4）,故以ON为终边的角为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(,，，））α）)＝2kπ＋\f（π，4），k∈Z）），故tanα＝1.2。已知角α的终边经过点(eq\r（m),eq\r(3,m))，若α＝eq\f（7π，3)，则m的值为()A.27B。eq\f(1,27）C。9D。eq\f（1，9）答案B解析角α的终边经过点（eq\r（m)，eq\r（3,m）)，若α＝eq\f(7π，3）,则taneq\f（7π,3)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)＝eq\f(\r（3，m）,\r(m))＝,则m＝eq\f(1,27）。3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P（4,y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝－eq\f（2\r（5)，5)，则y＝________.答案－8解析因为r＝eq\r（42＋y2)＝eq\r（16＋y2），且sinθ＝－eq\f(2\r(5），5），所以sinθ＝eq\f（y，r)＝eq\f（y，\r（16＋y2））＝－eq\f(2\r（5）,5)，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.4。（2017·北京)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。若sinα＝eq\f（1,3)，则sinβ＝________.答案eq\f（1，3)解析由角α与角β的终边关于y轴对称，可知α＋β＝π＋2kπ（k∈Z)，所以β＝2kπ＋π－α（k∈Z)，所以sinβ＝sinα＝eq\f（1,3）。5。函数y＝eq\r(2sinx－1)的定义域是________.答案eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（π,6），2kπ＋\f（5π,6）))，k∈Z考点二三角函数的求值与化简要点重组（1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f（sinα,cosα)＝tanα。(2）诱导公式：角eq\f(k，2）π±α（k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变,符号看象限。（3)和差公式。方法技巧（1)三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”；注意角的变形,看函数名称之间的关系;观察式子的结构特点。（2)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点,sin2α＝eq\f(1－cos2α，2),cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2）。6。（2017·安徽淮北二模)已知α满足sinα＝eq\f(1，3），则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)＋α））coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－α))等于（）A。eq\f(7，18) B.eq\f(25,18)C。－eq\f（7，18） D。－eq\f(25,18）答案A解析coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，4）＋α）)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－α））＝eq\f(\r(2),2）(cosα－sinα）·eq\f(\r(2）,2)(cosα＋sinα)＝eq\f(1,2）(cos2α－sin2α)＝eq\f(1,2)(1－2sin2α）＝eq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(1，9））)＝eq\f(7，18），故选A.7.(2017·全国Ⅲ)已知sinα－cosα＝eq\f(4，3)，则sin2α等于（)A。－eq\f（7,9)B。－eq\f（2，9）C.eq\f（2，9）D。eq\f(7，9）答案A解析∵sinα－cosα＝eq\f(4,3)，∴(sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝eq\f（16,9）,∴sin2α＝－eq\f（7，9）.故选A.8.若(4tanα＋1）(1－4tanβ）＝17，则tan(α－β）等于（）A。eq\f(1,4）B。eq\f（1，2）C.4D。12答案C解析由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∴tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ），∴tan(α－β）＝eq\f（tanα－tanβ,1＋tanαtanβ）＝4.9。（2017·全国Ⅰ）已知α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))）,tanα＝2，则coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π，4）））＝________.答案eq\f（3\r（10)，10)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f(π，4))）＝cosαcoseq\f(π,4）＋sinαsineq\f（π，4)＝eq\f(\r(2)，2）（cosα＋sinα)。又由α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2））），tanα＝2知,sinα＝eq\f（2\r(5）,5），cosα＝eq\f（\r（5)，5)，∴coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－\f(π，4))）＝eq\f（\r（2),2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(5),5）＋\f(2\r（5),5)））＝eq\f（3\r(10)，10）.10.已知cos（2α－β)＝－eq\f（11,14），sin（α－2β)＝eq\f(4\r（3)，7)，0＜β＜eq\f（π，4)＜α＜eq\f(π,2）,则α＋β＝________。答案eq\f(π,3）解析因为cos(2α－β）＝－eq\f(11,14）且eq\f(π，4）＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝eq\f(5\r(3)，14).因为sin（α－2β）＝eq\f(4\r（3），7）且－eq\f（π，4)＜α－2β＜eq\f(π,2）,所以cos（α－2β)＝eq\f（1,7).所以cos(α＋β)＝cos[（2α－β)－(α－2β)］＝cos（2α－β)cos（α－2β)＋sin(2α－β）sin(α－2β）＝－eq\f（11,14)×eq\f(1,7）＋eq\f（5\r（3),14）×eq\f(4\r（3）,7）＝eq\f(1，2)。因为eq\f（π,4）＜α＋β＜eq\f（3π，4），所以α＋β＝eq\f(π,3).考点三三角恒等变换的应用要点重组辅助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r（a2＋b2)·sin(α＋φ）,其中cosφ＝eq\f（a,\r(a2＋b2）)，sinφ＝eq\f(b，\r（a2＋b2））。11.(2017·山东)函数y＝eq\r（3）sin2x＋cos2x的最小正周期为(）A。eq\f（π,2）B。eq\f(2π，3)C.πD.2π答案C解析∵y＝eq\r(3）sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6）))，∴T＝eq\f（2π,2)＝π。故选C.12。（2017·全国Ⅲ）函数f(x）＝eq\f(1，5)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)））＋coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，6）)）的最大值为（)A.eq\f(6,5)B.1C.eq\f（3,5）D。eq\f（1,5）答案A解析方法一∵f（x）＝eq\f(1，5）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,3）））＋coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，6）））＝eq\f(1，5）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）sinx＋\f(\r(3),2)cosx)）＋eq\f（\r(3),2)cosx＋eq\f（1，2)sinx＝eq\f(1，10）sinx＋eq\f(\r(3)，10）cosx＋eq\f（\r(3），2）cosx＋eq\f(1,2）sinx＝eq\f(3，5)sinx＋eq\f(3\r（3）,5)cosx＝eq\f(6,5）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3)）），∴当x＝eq\f(π,6)＋2kπ（k∈Z)时，f(x)取得最大值eq\f（6,5).故选A。方法二∵eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,3）））＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6）－x)）＝eq\f(π,2）,∴f（x）＝eq\f(1,5）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3）)）＋coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6）））＝eq\f（1，5）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3）））＋coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，6）－x)）＝eq\f（1，5）sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，3）））＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，3)））＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)））≤eq\f(6,5)。∴f(x)max＝eq\f（6，5)。故选A。13。已知函数f（x)＝cos2x－sin2x，下列说法错误的是（)A.f(x）的最小正周期为πB.直线x＝eq\f（π，2)是f(x）图象的一条对称轴C。f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π,4)，\f（π，4）)）上单调递增D。|f（x）|的值域是［0,1]答案C解析f(x）＝cos2x，f（x）在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π,4），\f（π，4）)）上不单调,∴选项C中的结论错误。14。设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________。答案－eq\f（2\r(5）,5)解析f（x)＝sinx－2cosx＝eq\r（5）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(5）,5)sinx－\f(2\r(5),5)cosx))＝eq\r（5)sin(x－φ）,其中sinφ＝eq\f(2\r(5),5)，cosφ＝eq\f(\r（5），5）.当x－φ＝2kπ＋eq\f（π，2)（k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，即当θ＝2kπ＋eq\f（π,2)＋φ时，函数f（x）取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－eq\f(2\r(5），5）.15.函数f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6））)的值域为________.答案[－eq\r（3），eq\r(3)]解析f（x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6))）＝sinx－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3），2）cosx－\f（1,2)sinx)）＝eq\f（3,2）sinx－eq\f（\r（3），2)cosx＝eq\r(3）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2)sinx－\f(1，2)cosx））＝eq\r（3)sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（π，6)））∈[－eq\r（3），eq\r（3)］.1.设cos(－80°）＝k，那么tan100°等于（)A。eq\f（\r（1－k2）,k） B。－eq\f（\r(1－k2），k)C。eq\f（k，\r（1－k2)） D.－eq\f（k，\r（1－k2))答案B解析sin80°＝eq\r(1－cos280°)＝eq\r（1－cos2－80°)＝eq\r(1－k2)，所以tan100°＝－tan80°＝－eq\f(sin80°,cos80°)＝－eq\f（\r（1－k2）,k)。2.设α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2))）,β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2))），且tanα＝eq\f(1＋sinβ，cosβ),则(）A.3α－β＝eq\f(π，2) B.2α－β＝eq\f(π,2)C。3α＋β＝eq\f(π,2） D。2α＋β＝eq\f(π，2)答案B解析∵tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f（1＋sinβ，cosβ)，∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin（α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－α))。 ①∵0＜α＜eq\f（π，2)，0＜β＜eq\f（π，2），∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2），0＜eq\f(π,2）－α＜eq\f（π,2)，∴由①得α－β＝eq\f（π，2)－α，即2α－β＝eq\f（π，2）。故选B。3。已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈（0，π)，则tanθ的值为________.答案－eq\f(12,5）解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π),∴(sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f（49,169），∴sinθcosθ＝－eq\f(60，169），∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f（289,169）.又θ∈(0,π）,∴sinθ＞0，cosθ＜0,∴sinθ－cosθ＝eq\f(17,13)，∴sinθ＝eq\f（12，13），cosθ＝－eq\f（5,13），∴tanθ＝－eq\f(12，5).解题秘籍(1）使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号。（2)利用三角函数值求角要解决两个要素：①角的某一个三角函数值；②角的范围（尽量缩小）.1。点P从（1，0）出发,沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动eq\f（2π,3）弧长到达Q点，则点Q的坐标为（）A。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，\f（\r(3),2))）B.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3)，2)，－\f（1,2）))C.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，－\f(\r（3），2）））D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3),2)，\f(1，2)）)答案A解析设点Q的坐标为(x,y），则x＝coseq\f(2π，3）＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f（2π,3)＝eq\f(\r(3),2)。∴点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2），\f（\r(3）,2）)）.2。若0≤sinα≤eq\f（\r(2),2)，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是（)A。eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－2π，－\f（7π，4)））∪eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f(5π,4）,－π））B.eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－2π＋2kπ，－\f(7π，4）＋2kπ))∪eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（5π，4）＋2kπ，－π＋2kπ))(k∈Z）C。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，4))）∪eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π）)D.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（2kπ，2kπ＋\f(π,4）))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(3π,4），2kπ＋π））（k∈Z)答案A解析根据题意并结合正弦线可知，α满足eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(2kπ,2kπ＋\f(π，4）))∪eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（3π，4），2kπ＋π))(k∈Z),∵α∈[－2π，0］，∴α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－2π，－\f（7π,4）))∪eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（5π,4)，－π）)。故选A。3。(2017·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2θ＋\f（π，4)))的值为()A.－eq\f（7\r(2）,10)B。eq\f（7\r(2),10）C.－eq\f（\r(2）,10）D.eq\f（\r（2)，10)答案D解析由题意得tanθ＝2，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f（2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4,5)，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f（1－tan2θ，1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5），∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f（π，4)）)＝eq\f(\r(2),2）(sin2θ＋cos2θ）＝eq\f(\r(2）,10）。4.若α是第四象限角,taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，3）＋α)）＝－eq\f（5，12),则coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,6)－α)）等于(）A。eq\f(1,5）B.－eq\f(1,5）C.eq\f(5,13)D.－eq\f(5，13)答案D解析由题意知，sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，3）＋α))＝－eq\f(5,13），coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π，2）－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,3)＋α)))）＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,3）＋α））＝－eq\f(5,13）.5.eq\f（2cos10°－sin20°，sin70°）的值是()A。eq\f(1，2)B。eq\f（\r（3)，2)C。eq\r(3)D.eq\r（2）答案C解析原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°，sin70°)＝eq\f(2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°，sin70°)＝eq\f（\r（3)cos20°,cos20°）＝eq\r（3）.6。已知sinα＝eq\f（\r（5),5），sin（α－β）＝－eq\f(\r(10）,10），α,β均为锐角，则角β等于（）A。eq\f（5π，12)B.eq\f(π，3)C.eq\f（π,4）D.eq\f（π，6）答案C解析因为α，β均为锐角，所以－eq\f(π，2)＜α－β＜eq\f（π，2）。又sin(α－β)＝－eq\f(\r（10），10）,所以cos（α－β）＝eq\f(3\r（10）,10).又sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝eq\f(2\r（5）,5)。所以sinβ＝sin［α－（α－β)］＝sinαcos(α－β）－cosαsin（α－β)＝eq\f（\r(5)，5)×eq\f(3\r（10)，10)－eq\f(2\r（5），5）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（\r(10）,10）））＝eq\f(\r(2),2),所以β＝eq\f（π,4).7.tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°tan50°的值等于(）A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3)，3)C.－eq\f（\r（3），3)D.－eq\r(3）答案D解析因为tan120°＝eq\f(tan70°＋tan50°，1－tan70°tan50°)＝－eq\r（3），即tan70°＋tan50°－eq\r（3)tan70°tan50°＝－eq\r(3）.8.记a＝sin（cos2010°）,b＝sin（sin2010°），c＝cos（sin2010°）,d＝cos(cos2010°),则a，b，c，d中最大的是()A。aB。bC。cD.d答案C解析注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－eq\f(1，2），cos2010°＝所以a＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3），2）)）＝－sineq\f（\r（3)，2)＜0,b＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)））＝－sineq\f（1,2)＜0，c＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）))＝coseq\f(1,2)＞d＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3),2)）)＝coseq\f（\r