2018届数学复习部分坐标系与参数方程第二节参数方程学案文4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE学必求其心得，业必贵于专精eq\o(\s\up7(第二节)，\s\do5（)）eq\o(\s\up7（参数方程）,\s\do5())1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识点一参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，y＝gt）)，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x，y的变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．1．判断正误（1)参数方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t＋1，,y＝2－t))(t≥1）表示的曲线为直线．（)(2)参数方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝cosθ＋m,，y＝sinθ－m，）)当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(）答案：（1)×（2)√2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\r（5)cosθ，,y＝\r(5）sinθ)）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ为参数,0≤θ≤\f（π，2)）)和eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1－\f（\r（2)，2)t，,y＝－\f（\r（2）,2)t）)(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析:由C1得x2＋y2＝5，且eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0≤x≤\r(5），，0≤y≤\r（5)，)）①由C2得x＝1＋y,②∴由①②联立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＝1＋y，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，，y＝－2))(舍）答案：（2，1）知识点二常见曲线的参数方程的一般形式1．经过点P0(x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋t，y＝y0＋t）)(t为参数）设P是直线上的任一点，则t表示有向线段eq\o(P0P,\s\up15(→)）的数量．2．圆的参数方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝a＋r,y＝b＋r)）（θ为参数)3．圆锥曲线的参数方程椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝a,y＝b))(θ为参数)抛物线y2＝2px的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2pt2，y＝2pt)）（t为参数)答案1．cosαsinα2。cosθsinθ3。cosθsinθ3．若直线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t,，y＝2＋3t)）（t为参数）与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.解析：直线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－2t，y＝2＋3t））（t为参数）的斜率为－eq\f(3，2），所以eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,2））)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)))＝－1,k＝－6.答案：－64．椭圆eq\f(x－12，3)＋eq\f(y＋22，5）＝1的参数方程是________．解析：设eq\f（x－1,\r(3)）＝cosθ，eq\f（y＋2，\r(5））＝sinθ，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r（3)cosθ，，y＝－2＋\r(5)sinθ）)（θ为参数），即为所求的参数方程．答案：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r（3)cosθ,，y＝－2＋\r（5）sinθ)）（θ为参数）5．直线eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4＋at,,y＝bt）)(t为参数)与圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3）cosθ，，y＝\r(3)sinθ）)（θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2）2＋y2＝3，因为直线与圆相切,则圆心（2，0）到直线的距离为eq\r（3），从而有eq\r(3）＝eq\f（|2b－a·0－4b｜,\r（a2＋b2)）,即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±eq\r(3)a，而直线的倾斜角α的正切值tanα＝eq\f（b,a），所以tanα＝±eq\r(3)，因此切线的倾斜角为eq\f(π,3）或eq\f(2π，3).答案：eq\f(π，3）或eq\f（2π,3)热点一参数方程与普通方程的互化【例1】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝t＋1，，y＝2t）)(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ,y＝2tanθ）)(θ为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标．【解】因为直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t））（t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1,代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.因为曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ①，y＝2tanθ②)）,由y＝2tanθ，得tanθ＝eq\f(y，2），代入①得y2＝2x.解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y2＝2x，）)得公共点的坐标为（2，2),eq\f（1,2），－1.【总结反思】1．将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法与加减消元法．2．把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.（1)曲线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1＋cosθ,,y＝2＋sinθ））（θ为参数)的对称中心（)A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上（2）eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，2）et＋e－t，y＝\f（1，2)et－e－t）)(t为参数）的普通方程是________．解析：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(cosθ＝x＋1,,sinθ＝y－2，））消参得（x＋1）2＋(y－2）2＝1。所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y＝－2x上．故选B.(2）由参数方程得et＝x＋y,e－t＝x－y,∴（x＋y）（x－y）＝1，即x2－y2＝1.答案：（1）B（2)x2－y2＝1热点二直线的参数方程的应用【例2】已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋4cosθ,，y＝2＋4sinθ)）(θ为参数），直线l经过定点P(3，5）,倾斜角为eq\f（π,3）。（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求｜PA|·|PB|的值．【解】（1)曲线C：(x－1)2＋（y－2)2＝16,直线l：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，，y＝5＋\f（\r(3)，2)t)）(t为参数)．（2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋（2＋3eq\r(3)）t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3,所以｜PA||PB|＝|t1｜|t2｜＝|t1t2｜＝3。【总结反思】(1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．（2）对于形如eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)．当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题。(2016·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（1，2)t，,y＝\f（\r(3）,2）t））（t为参数）,椭圆C的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，，y＝2sinθ）)(θ为参数）．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．解：椭圆C的普通方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.将直线l的参数方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f（1，2）t，,y＝\f(\r(3），2)t))代入x2＋eq\f（y2，4）＝1,得（1＋eq\f(1，2）t）2＋eq\f(\f（\r(3),2）t2，4）＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0,t2＝－eq\f(16,7).所以AB＝|t1－t2|＝eq\f（16,7）.热点三椭圆参数方程的应用【例3】(2016·新课标全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r(3）cosα，，y＝sinα)）（α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4））)＝2eq\r（2）.（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求｜PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解】（1）C1的普通方程为eq\f(x2,3）＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.（2)由题意,可设点P的直角坐标为（eq\r(3)cosα，sinα)．因为C2是直线，所以｜PQ｜的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d（α）＝eq\f（｜\r(3)cosα＋sinα－4|，\r（2)）＝eq\r（2)｜sin(α＋eq\f（π，3)）－2｜.当且仅当α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z）时，d(α）取得最小值,最小值为eq\r（2）,此时P的直角坐标为(eq\f(3，2)，eq\f(1，2)）.【总结反思】一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.在极坐标中，曲线C的方程为ρ2＝eq\f（3，1＋2sin2θ)，点R坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2\r（2)，\f(π，4)）).（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时点P的直角坐标．解：(1）∵x＝ρcosθ,y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为eq\f（x2，3）＋y2＝1。点R的直角坐标为(2,2）．(2)设P（eq\r(3）cosθ，sinθ)，根据题意可得｜PQ|＝2－eq\r(3）cosθ,|QR|＝2－sinθ，∴|PQ｜＋|QR｜＝4－2sin(θ＋60°）．当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2,∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2),\f(1，2）)).热点四参数方程与极坐标方程的综合应用【例4】（2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint）)（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程;（2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解】(1）消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1）2＝a2.C1是以(0,1）为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.（2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0,，ρ＝4cosθ.）)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去)或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.【总结反思】涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然,还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.（2017·衡水模拟）已知直线l的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcosα，，y＝tsinα，））（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.（1)求曲线C的参数方程；(2)当α＝eq\f（π，4）时，求直线l与曲线C交点的极坐标．解：（1）由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x,标准方程为（x＋1)2＋(y－1）2＝2.曲线C的极坐标方程化为参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋\r（2)cosφ,，y＝1＋\r（2）sinφ，)）（φ为参数)．（2）当α＝eq\f（π，4)时，直线l的方程为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\