高数课件2-12.1习题

一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用

第十二章微分方程的基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题

求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法

一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．(4)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．其中形如(6)全微分方程注意：解法(a)应用曲线积分与路径无关.(b)用直接凑全微分的方法.通解为(7)可化为全微分方程形如(a)公式法:(b)观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．常见的全微分表达式可选用积分因子例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为方法1

这是一个齐次方程.方法2

化为微分形式故这是一个全微分方程.例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)

(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326题2求以为通解的微分方程.提示:消去

C

得P327题3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分离变量方程:提示:

这是一阶线性方程,其中P326题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)提示:

可化为关于

x

的一阶线性方程提示:

为贝努里方程,令提示:

为全微分方程,通解提示:可化为贝努里方程令微分倒推公式原方程化为,即则故原方程通解提示:令例4.设河边点O

的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点

A游向点二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:

如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(求解过程参考P273例3)(齐次方程

)思考:

能否根据草图列方程?练习题:P327题5,6P327题5.

已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:

设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵P327题6.已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入

t时刻车间空气中含则在内车间内两端除以

并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为t=30

时解定解问题因此每分钟应至少输入250新鲜空气.初始条件得