2023年中考数学考点总动员系列专题37解直角三角形的应用（含解析）

考点三十七：解直角三角形的应用聚焦考点☆温习理解一、解直角三角形的应用常用知识1.仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角二、解直角三角形的应用可解决的问题1.测量物体的高度；2.测量河的宽度；3.解决航海航空问题；4.解决坡度问题；5.解决实际生活中其它问题.名师点睛☆典例分类考点典例一、解直角三角形的应用----测量物体的高度【例1】〔2023湖南张家界第19题〕位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两局部组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度〔最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824〕【答案】4.2m考点：解直角三角形的应用．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用中有关仰角和俯角的问题，解决此题的关键是找准直角三角形中线段及角的关系．【举一反三】〔2023新疆建设兵团第19题〕如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度〔结果保存根号〕【答案】乙建筑物的高度为30m；甲建筑物的高度为〔30﹣30〕m．【解析】试题分析：在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作F⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，那么可求得CF的长，即可求得甲的高度．试题解析：如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，∵=tan∠DBC，∴CD=BC•tan60°=30m∴乙建筑物的高度为30m在Rt△AFD中，∠DAF=45°，∴DF=AF=BC=30m，∴AB=CF=CD﹣DF=〔30﹣30〕m，∴甲建筑物的高度为〔30﹣30〕m．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．考点典例二、解直角三角形的应用----测量河的宽度及距离【例2】(2023四川宜宾第21题)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度〔结果保存根号〕．【答案】河的宽度为50〔+1〕m．【解析】设AD=DC=xm，那么tan30°=，解得：x=50〔+1〕，答：河的宽度为50〔+1〕m．考点：解直角三角形的应用．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中测量河的宽度问题，关键是过点A作AD⊥BC于点D，从而把问题转化到两个直角三角形中，然后利用解直角三角形的知识解决问题．【举一反三】〔2023内蒙古呼和浩特第22题〕如图，地面上小山的两侧有，两地，为了测量，两地的距离，让一热气球从小山西侧地出发沿与成角的方向，以每分钟的速度直线飞行，分钟后到达处，此时热气球上的人测得与成角，请你用测得的数据求，两地的距离长．〔结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可〕【答案】A，B两地的距离AB长为200〔﹣tan20°〕米．【解析】试题分析：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，那么AB=AM﹣BM．考点：解直角三角形的应用．考点典例三、解直角三角形的应用----解决航海航空问题【例3】〔2023新疆乌鲁木齐第21题〕一艘渔船位于港口的北偏东方向，距离港口海里处，它沿北偏西方向航行至处突然出现故障，在处等待救援，之间的距离为海里，救援船从港口出发分钟到达处，求救援的艇的航行速度.，结果取整数〕【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如下图：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如下图：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，∴∠BAD=30°，∵AB=20海里，∴BD=10海里，在Rt△ABD中，AD=≈17.32海里，在Rt△BCE中，sin37°=，∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6海里，∵cos37°=，∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8海里，EF=AD=17.32海里，∴FC=EF﹣CE=11.32海里，AF=ED=EB+BD=18海里，在Rt△AFC中，AC=≈21.26海里，21.26×3≈64海里/小时．答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到方向角问题主要是和航海航空有关的问题．将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件是关键．【举一反三】〔2023湖南株洲第23题〕如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②假设无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．【答案】①求点H到桥左端点P的距离为250米；②无人机的长度AB为5米．【解析】试题分析：①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；试题解析：①在Rt△AHP中，∵AH=500，由tan∠APH=tanα==2，可得PH=250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．考点典例四、解直角三角形的应用----解决坡度问题【例4】〔2023海南第22题〕为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米〔即CD=2米〕，背水坡DE的坡度i=1：1〔即DB：EB=1：1〕，如下图，AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．〔参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2〕【答案】水坝原来的高度为12米．.【解析】试题分析：设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE，进而列出x的方程，求出x的值即可．试题解析：设BC=x米，在Rt△ABC中，∠CAB=180°﹣∠EAC=50°，AB=≈=，在Rt△EBD中，∵i=DB：EB=1：1，∴BD=BE，∴CD+BC=AE+AB，即2+x=4+，解得x=12，即BC=12，答：水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中有关坡度的问题，解答此题的关键是理解坡度的定义，及勾股定理的表达式，要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【举一反三】〔2023重庆A卷第11题〕如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，假设DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，那么此时AB的长约为〔〕〔参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84〕．A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米【答案】A.【解析】试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得〔4x〕2+〔3x〕2=102，解得：x=2或x=﹣2〔舍〕，那么CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中，∵AP=≈13.1，∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，应选A．考点：解直角三角形的应用.考点典例五、解直角三角形的应用----解决实际生活问题【例5】〔2023郴州第22题〕如下图，城市在城市正东方向，现方案在两城市间修建一条高速铁路〔即线段〕，经测量，森林保护区的中心在城市的北偏东方向上，在线段上距城市的处测得在北偏东方向上，森林保护区是以点为圆心，为半径的圆形区域，请问方案修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？〔参考数据：〕【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析.【解析】试题分析：作PH⊥AC于H．求出PH与100比拟即可解决问题．试题解析：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PBsin60°=120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．考点：解直角三角形的应用.【举一反三】〔2023上海第21题〕如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．〔1〕求sinB的值；〔2〕现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【答案】〔1〕sinB=；〔2〕DE=5．【解析】考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.课时作业☆能力提升1.〔2023广西百色第10题〕如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号〞动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，那么这时段动车的平均速度是〔〕米/秒.A．B．C.200D．300【答案】A【解析】试题分析：作BD⊥AC于点D．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴AD=BD•tan∠ABD=200〔米〕，同理，CD=BD=200〔米〕．那么AC=200+200〔米〕．那么平均速度是=20〔+1〕米/秒．应选A．考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；2.勾股定理的应用．2.〔2023黑龙江绥化第9题〕某楼梯的侧面如下图，已测得的长约为3.5米，约为，那么该楼梯的高度可表示为〔〕A．米B．米C．米D．米【答案】A【解析】试题分析：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=，∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，应选A．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．3.〔2023山东烟台第12题〕如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.侧倾器的高度为1.6米，那么楼房的高度约为〔〕〔结果精确到0.1米，〕A．米B．米C.米D．米【答案】C．【解析】试题解析：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，应选C．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．4.〔2023甘肃兰州第3题〕如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50A. B. C. D.【答案】C．【解析】试题解析：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，∴AC==120m，∴tan∠BAC=.应选C．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．5.〔2023浙江宁波第16题〕如图，一名滑雪运发动沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，米，那么这名滑雪运发动的高度下降了米．(参考数据：，，)【答案】280.【解析】试题分析：在RtΔABC中，sin34°=∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米考点：解直角三角形的应用.6.〔2023辽宁大连第15题〕如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处.此时，处与灯塔的距离约为.〔结果取整数，参考数据：〕【答案】102.【解析】试题分析：根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP•sin∠PAD=43，由∠BPD=∠PBD=45°根据BP=，即可求出即可．过P作PD⊥AB，垂足为D，∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，∴∠MPA=∠PAD=60°，∴PD=AP•sin∠PAD=86×=43，∵∠BPD=45°，∴∠B=45°．在Rt△BDP中，由勾股定理，得BP===43×≈102〔nmile〕．故答案为102．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用.7.〔2023贵州黔东南州第22题〕如图，某校教学楼AB前方有一斜坡，斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能防止滑坡危险，学校为了消除平安隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的平安？〔结果取整数〕〔参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24〕【答案】学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的平安．【解析】试题分析：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．∵∠D′CE′=39°，∴CE′=≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8〔米〕．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的平安．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．8.〔2023青海西宁第24题〕如图，建设“幸福西宁〞，打造“绿色开展样板城市〞.美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美〞的生态环境新格局.在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段上的两点分别对南岸的体育中心进行测量，分别没得米，求体育中心到湟水河北岸的距离约为多少米〔精确到1米，〕？【答案】体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．【解析】试题分析：如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°=，由此求得DH的长度．试题解析：过点D作DH⊥AC于点H．∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，∴∠BDA=∠DAC=30°，∴AB=DB=200．在直角△BHD中，sin60°=,∴DH=100≈100×1.732≈173．答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．考点：解直角三角形的应用．9.〔2023山东德州第21题〕如下图，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.∠B=30°，∠C=45°〔1〕求B，C之间的距离；〔保存根号〕〔2〕如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.〔参考数据：,〕【答案】〔1〕(10+10)m；〔2〕超速.【解析】试题分析：〔1〕利用∠B=30°，∠C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,从而得出BC=10+10(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小时>80千米/小时，故超速。试题解析：〔1〕如图，过点A作AD⊥BC于点D，那么AD=10m∵在RtΔACD中，∠C=45°∴RtΔACD是等腰直角三角形∴CD=AD=10m在RtΔABD中，tanB=∵∠B=30°∴∴BD=10∴BC=BD+DC=(10+10)m考点：三角函数的应用10.〔2023甘肃庆阳第22题〕美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．假设AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？〔结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14〕【答案】观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．【解析】试题分析：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．试题解析：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，在Rt△DEB中，tan∠DBE=，∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．又∵∠DAC=45°，∴AE=DE．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248〔米〕．∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．考点：解直角三角形的应用11.〔2023四川泸州第22题〕如图，海中一渔船