华师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 典型例题解析（教师用）

11/1111/1111/11【培优提高训练】华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程典型例题解析一、解答题1.关于x的方程a1-x2+2bx+c(1+x【答案】证明：a〔1-x2〕+2bx+c〔1+x2〕=0

去括号,整理为一般形式为：〔c-a〕x2+2bx+a+c=0,

∵关于x的一元二次方程a〔1-x2〕+2bx+c〔1+x2〕=0有两个相等的实数根。

∴△=0,即△=〔2b〕2-4〔c-a〕〔a+c〕=4〔b2+c2-a2〕=0,

∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2。

∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。【考点】根的判别式【解析】【解答】先把方程变为一般式：〔c-a〕x2+2bx+a+c=0,由方程有两个相等的实数根,得到△=0,即△=〔2b〕2-4〔c-a〕〔a+c〕=4〔b2+c2-a2〕=0,那么有b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2,根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识。当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△＜0,方程没有实数根。2.在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路〔图中阴影局部〕,余下的局部种上草坪．要使草坪的面积为540m2,求道路的宽．

【答案】解：设道路的宽为xm,根据题意得：

〔32﹣x〕〔20﹣x〕=540,

解得：x1=2,x2=50〔不合题意,舍去〕,

答：道路的宽是2m．【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】根据题意使草坪的面积为540m2和矩形面积公式,得到等式,求出道路的宽的值；注意要符合实际情况.3.如图,等边三角形ABC的边长为6cm,点P自点B出发,以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发,以1cm/s的速度向终点A运动．假设P,Q两点分别同时从B,C两点出发,问经过多少时间△PCQ的面积是23cm2？

【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是23cm2,由题意得

12〔6﹣x〕×32x=23

解得：x1=2,x2=4,

答：经过2s或4s△PCQ的面积是23cm2【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是23cm2,由三角形的面积=12底×高=12×CP×CP边上的高4.关于x的一元二次方程mx2+x+1=0．

〔1〕当该方程有一个根为1时,确定m的值；

〔2〕当该方程有两个不相等的实数根时,确定m的取值范围．【答案】解：〔1〕把x=1代入mx2+x+1=0,得

m+1+1=0,

解得m=﹣2；

〔2〕由题意得：△=1﹣4m＞0,

解得m＜14．

又m≠0．

所以m的取值范围是：m＜14且m≠0【考点】一元二次方程的解,根的判别式【解析】【分析】〔1〕把x=1代入方程,即利用方程的解进行解题；

〔2〕根据根的判别式得到：△＞0,由此列出关于m的不等式,通过解不等式确定m的取值范围．5.为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%,请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元．【答案】解：设每个粽子的定价为x元时,每天的利润为800元．根据题意,得〔x﹣3〕〔500﹣10×〕=800,

解得x1=7,x2=5．

∵售价不能超过进价的200%,

∴x≤3×200%．即x≤6．

∴x=5．

答：每个粽子的定价为5元时,每天的利润为800元【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设每个粽子的定价为x元,由于每天的利润为800元,根据利润=〔定价﹣进价〕×销售量,列出方程求解即可．6.如图,某小区规划在一个长40米,宽为26米的矩形场地ABCD上,修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余局部种草,假设使每块草坪的面积都为144平方米,求道路的宽度．【答案】解：设道路的宽为x米,由题意得：40×26﹣2×26x﹣40x+2x2=144×6

化简得：x2﹣46x+88=0

解得：x=2,x=44

当x=44时,道路的宽就超过了矩形场地的长和宽,因此不合题意舍去．

答：道路的宽为2米【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】此题中草坪的总面积=矩形场地的面积﹣三条道路的面积和+三条道路中重叠的两个小正方形的面积,据此可得出关于道路宽度的方程,求出道路的宽度．7.如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=﹣p,x1x2=q,请根据以上结论,解决以下问题：

〔1〕a、b是方程x2+15x+5=0的二根,那么ab+ba=?

〔2〕a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值．

〔3〕结合二元一次方程组的相关知识,解决问题：x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x,y的方程组x2-y+k=0【答案】解：〔1〕∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根,

∴a+b=﹣15,ab=5,

∴ab+ba=a+b2-2abab=-152-2×55=43,

故答案是：43；

〔2〕∵a+b+c=0,abc=16,

∴a+b=﹣c,ab=16c,

∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解,

∴c2﹣4•16c≥0,c2﹣43c≥0,

∵c是正数,

∴c3﹣43≥0,c3≥43,c≥4,

∴正数c的最小值是4．

〔3〕存在,当k=﹣2时,y1y2-x1x2-x2x1=2．

由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k,

由x﹣y=1变形得：y=x﹣1,把y=x﹣1代入y=x【考点】根的判别式,根与系数的关系【解析】【分析】〔1〕根据a,b是x2+15x+5=0的解,求出a+b和ab的值,即可求出ab+ba的值．

〔2〕根据a+b+c=0,abc=16,得出a+b=﹣c,ab=16c,a、b是方程x2+cx+16c=0的解,再根据c2﹣4•16c≥0,即可求出c的最小值．

〔3〕运用根与系数的关系求出x1+x2=1,x1•x2=k+1,再解y1y28.如下图,某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影局部的面积．【答案】解：设大正方形的边长xm,那么小正方形的边长为〔x﹣1〕m,根据题意得：x〔2x﹣1〕=15,

解得：x1=3,x2=〔不合题意舍去〕,

小正方形的边长为〔x﹣1〕=3﹣1=2,

裁剪后剩下的阴影局部的面积=15﹣22﹣32=2〔m2〕,

答：裁剪后剩下的阴影局部的面积2m2【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设大正方形的边长为x米,表示出小正方形的边长,根据总面积为15平方米列出方程求解即可．9.小明家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏〔如下图〕,花圃的一边AD〔垂直围墙的边〕究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

【答案】解：设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米,

y=x=,

∵0＜x≤10,

∴x=10时,y取得最大值,此时AD=米,

即花圃的一边AD〔垂直围墙的边〕11米时,能使花圃的面积最大【考点】二次函数的应用【解析】【分析】根据题意可以列出相应的关系式,化为二次函数的顶点式,从而可以解答此题．10.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇〞童装平均每天可售出20件,每件获利40元。为了迎接“六一〞儿童节和扩大销售,增加利润,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查,发现如果每件童装每降价1元,那么平均每天可多售出2件,要想平均每天在销售这种童装上获利1200元,并且尽快减少库存,那么每件童装应降价多少元？【答案】解：设每件童装应降价x元,由题意得：

〔40-x〕〔20+2x〕=1200,

解得：x1=20,x2=10,

当x=20时,20+2x=60〔件〕,

当x=10时,20+2x=40〔件〕,

∵60>40,

∴x2=10舍去.

答：每件童装应降价20元.【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设每件童装应降价x元,由题意得：〔40-x〕〔20+2x〕=1200,解一元二次方程,再由尽快减少库存得到答案.11.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1cm,AB=3cm,BC=5cm,动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动,动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动的时间为ts〔t＞0〕

〔1〕求线段CD的长；〔2〕t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两局部？【答案】〔1〕解：如图1,作DE⊥BC于E,那么四边形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1,DE=AB=3,

∴EC=BC﹣BE=4,

在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,

∴DC=DE2+CE2=5厘米；

〔2〕解：∵点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒,运动时间为t秒,

∴BP=t厘米,PC=〔5﹣t〕厘米,CQ=2t厘米,QD=〔5﹣2t〕厘米,

且0＜t≤2.5,

作QH⊥BC于点H,

∴DE∥QH,

∴∠DEC=∠QHC,

∵∠C=∠C,

∴△DEC∽△QHC,

∴DEQH=DCQC,即3QH=52t,

∴QH=65t,

∴S△PQC=12PC•QH=12〔5﹣t〕•65t=﹣35t2+3t,

S四边形ABCD=12〔AD+BC〕•AB=12〔1+5〕×3=9,

分两种情况讨论：

①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时,

﹣35t2+3t=13×9,即t2﹣5t+5=0,

解得t1=5-52,t2=5+52〔舍去〕；

②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时,

﹣35t2+3t=23×9,即t2﹣5t+10=0,

∵△＜0,

【考点】一元二次方程的应用,勾股定理的应用,相似三角形的应用【解析】【分析】〔1〕作DE⊥BC于E,根据勾股定理即可求解；〔2〕线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两局部,分两种情况进行求解．二、综合题〔共11题；共130分〕12.解答〔1〕7x〔5x+2〕=6〔5x+2〕〔2〕关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0有两个实数根,求m的取值范围．【答案】〔1〕解：7x〔5x+2〕=6〔5x+2〕

7x〔5x+2〕﹣6〔5x+2〕=0

〔5x+2〕〔7x﹣6〕=0,

∴5x+2=0或7x﹣6=0,

解得,x1=﹣,x2=

〔2〕解：∵于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1=0有两个实数根,

∴32﹣4×1×〔m﹣1〕≥0,

解得,m≤,

即m的取值范围是m≤【考点】解一元二次方程﹣因式分解法,根的判别式【解析】【分析】〔1〕先移项,然后根据提公因式法可以解答此方程；〔2〕由题意可知,△≥0,从而可以求得m的取值范围．13.关于x的方程x2-(〔1〕求证：无论k取任何实数,该方程总有两个不相等的实数根；〔2〕假设方程的一根为2,试求出k的值和另一根．【答案】〔1〕证明：∵b2−4ac=[−(k+1)]2−4×1×(−6)=(k+1)2+24≥24,∴无论k的取何实数,该方程总有两个不相等的实数根

〔2〕解：将x=2代入方程x2-(k+1)x-6=0中,

22-2(k+1)-6=0,即k+2=0,

解得：k=-2．

∴原方程为：x2+x-6=0,即【考点】一元二次方程的根,因式分解法解一元二次方程,一元二次方程根的判别式及应用【解析】【分析】〔1〕首先算出其根的判别式的值,由偶次方的非负性知判别式的值一定大于0,故无论k的取何实数,该方程总有两个不相等的实数根；

〔2〕根据方程的根的概念,将x=2代入原方程,即可求出k的值,将k的值,代入原方程,利用因式分解法即可求出原方程的根,从而得出答案。14.曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米3240元的均价开盘销售．〔1〕求平均每次下调的百分率．〔2〕某人准备以开盘价均价购置一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折,送两年物业管理费,物业管理费是每平方米每月1.4元,请问哪种方案更优惠？【答案】〔1〕解：设平均每次下调的百分率是x,依题意得,4000〔1﹣x〕2=3240解之得：x=0.1=10%或x=1.9〔不合题意,舍去〕

所以,平均每次下调的百分率是10%

〔2〕解：方案①优惠=100×3240×〔1﹣99%〕=3240元方案②优惠=100×1.4×12×2=3360元

应选择方案②更优惠【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】〔1〕设出平均每次下调的百分率为x,利用预订每平方米销售价格×〔1﹣每次下调的百分率〕2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．〔2〕分别计算两种方案的优惠价格,比拟后发现方案②更优惠．15.我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展,主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的根底上,每张降价40元,那么按原定票价需花费6000元购置门票,现在只花了4000元．〔1〕求每张门票原定的票价；〔2〕在展览期间,平均每天可售出个人票2019张,现主办方决定对个人购票也采取优惠措施,发现原定票价每降低2元,平均每天可多售出个人票40张,假设要使平均每天的个人票收入到达241500元,且能有效控制游览人数,那么票价应降低多少元？【答案】〔1〕解：设每张门票的原定的票价是x元,

解得,x=120

经检验x=120是原分式方程的解,

即每张门票的原定的票价是120元；

〔2〕解：要使平均每天的个人票收入到达241500元,且能有效控制游览人数,那么票价应降低x元,〔120﹣x〕〔2019+×40〕=241500,

解得,x1=5,x2=15,

∵能有效控制游览人数,

∴x=5时,购置的人数较少,可以较好的控制,

即要使平均每天的个人票收入到达241500元,且能有效控制游览人数,那么票价应降低5元．【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】〔1〕根据题意,可以设每张门票的原定的票价是x元,然后根据按原定票价需花费6000元购置门票,现在只花了4000元即可列出方程,此题得以解决；〔2〕根据题意,可以列出相应的方程,注意要使平均每天的个人票收入到达241500元,且能有效控制游览人数,那么说明在获得这些利润时,游客越少越容易控制．16.某商场经营A种品牌的玩具,购进时间的单价是30元,但据市场调查,在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具．〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元〔x＞40〕,请用含x的代数式表示该玩具的销售量；〔2〕假设玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于450件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？〔3〕该商场方案将〔2〕中所得的利润的一局部资金采购一批B种玩具并转手出售,根据市场调查并准备两种方案,方案①：如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资C种玩具,到月末又可获利10%；方案②：如果只到月末出售可直接获利30%,但要另支付他库保管费350元,请问商场如何使用这笔资金,采用哪种方案获利较多？【答案】〔1〕解：根据题意,得：销售单价为x元时,销售量为600﹣10〔x﹣40〕=1000﹣10x

〔2〕解：由题意可得,w=〔x﹣30〕[600﹣〔x﹣40〕×10]

化简,得w=﹣10x2+1300x﹣30000

即w与x的函数关系式是：w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10〔x﹣65〕2+12250,

∵,

∴44≤x≤55,

∴当x=55时,Wmax=11250

〔3〕解：设取用资金为a元,那么：y1=a〔1+15%〕〔1+10%〕=1.265a；

y2=a〔1+30%〕﹣350=1.3a﹣350；

当y1=y2时,即1.265a=1.3a﹣350,解得a=1000,此时获利相同；

当y1＞y2时,即1.265a＞1.3a﹣350,解得a＜1000,此时①获利多；

当y1＜y2时,即1.265a＜1.3a﹣350,解得1000＜a＜11250,此时②获利多【考点】一元二次方程的应用,二次函数的应用【解析】【分析】〔1〕根据销售量由原销量﹣因价格上涨而减少的销量可得；〔2〕根据利润=销售量×每件的利润,即可解决问题,根据题意确定自变的取值范围,再根据二次函数的性质,即可解决问题；〔3〕设取用资金为a元,先表示出两种方案的获取利润表达式,再分类讨论可得．17.某租赁公司拥有汽车100辆．据统计,每辆车的月租金为4000元时,可全部租出．每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车每辆每月只需维护费100元．〔1〕当每辆车的月租金为4600元时,能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益〔租金收入扣除维护费〕是多少万元？〔2〕规定每辆车月租金不能超过7200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益〔租金收入扣除维护费〕可到达40.4万元？【答案】〔1〕解：因为月租金4600元,未租出6辆车,租出94辆车；月收益：94×〔4600﹣500〕﹣6×100=384800〔元〕,即38.48万元

〔2〕解：设上涨x个100元,由题意得〔4000+100x﹣500〕〔100﹣x〕﹣100x=404000

整理得：x2﹣64x+540=0

解得：x1=54,x2=10,

因为规定每辆车月租金不能超过7200元,

所以取x=10,4000+10×100=5000．

答：月租金定为5000元【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】〔1〕由月租金比全部租出多4600﹣4000=600元,得出未租出6辆车,租出94辆车,进一步算得租赁公司的月收益即可；〔2〕设上涨x个100元,根据租赁公司的月收益可到达40.4万元列出方程解答即可．18.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动．〔1〕P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；〔2〕P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．【答案】〔1〕解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,那么PB=〔16﹣3x〕cm,QC=2xcm,

根据梯形的面积公式得〔16﹣3x+2x〕×6=33,

解之得x=5

〔2〕解：设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,作QE⊥AB,垂足为E,

那么QE=AD=6,PQ=10,

∵PA=3t,CQ=BE=2t,

∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|,

由勾股定理,得〔16﹣5t〕2+62=102,

解得t1=4.8,t2=1.6．

答：〔1〕P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；〔2〕从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10cm．

【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】〔1〕设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,那么PB=〔16﹣3x〕cm,QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程：12〔16﹣3x+2x〕×6=33,解方程可得解；〔2〕作QE⊥AB,垂足为E,设运动时间为t秒,用t表示线段长,19.如图S2－2,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝20cm,BC＝15cm.现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动．设运动的时间为ts,求：

〔1〕用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；〔2〕当t＝3秒时,这时,P、Q两点之间的距离是多少？〔3〕当t为多少秒时,S＝425S△ABC?【答案】〔1〕解：S＝20t－4t2

〔2〕解：当t＝3时,CP＝20－4×3＝8(cm),CQ＝2×3＝6(cm),∴PQ＝10(cm)

〔3〕解：列方程20t－4t2＝××15×20,解得t＝2或t＝3.

∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.【考点】一元二次方程的应用,根据实际问题列二次函数关系式【解析】【分析】(1)根据题意可得,CQ=2t,CP=20-4t,,所以Rt△CPQ的面积S=12CQ·CP=12×2t×〔20-4t〕=20t－4t2；

〔2〕当t＝3秒时,CQ=2t=2×3＝6,CP=20-4t=20-4×3=8,所以根据勾股定理可得,PQ＝10；

〔3〕根据题意列方程得,20t－4t2＝425×15×20,解方程得,t＝2或t＝3.即t为2秒或3秒时S20.：如下图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

〔1〕如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2？〔2〕如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ中PQ的长度等于5cm？〔3〕在〔1〕中,当P,Q出发几秒时,△PBQ有最大面积?【答案】〔1〕解：设t秒后,△PBQ的面积等于4cm2,

那么列方程为：〔5-t〕×2t×12=4,

解得t1=1,t2=4〔舍〕,

答：1秒后,△PBQ的面积等于4cm2.

〔2〕解：设x秒后,△PBQ中PQ的长度等于5cm,

列方程为：〔5-x〕2+〔2x〕2=52,

解得x1=0〔舍〕,x2=2,

答：2秒后,△PBQ中PQ的长度等于5cm。

〔3〕解：设面积为Scm2,时间为t,

那么S=〔5-t〕×2t×12=-t2+5t,

当t=2.5时,【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】〔1〕设t秒后,△PBQ的面积等于4cm2,根据题意PA=t,BP=5-t,BQ=2t,根据三角形的面积公式及三角形的面积等于4,列出方程,求解并检验即可；

〔2〕设x秒后,△PBQ中PQ的长度等于5cm,根据题意PA=x,BP=5-tx,BQ=2x,根据勾股定理得出方程,求解并检验即可；

〔3〕设面积为Scm2,时间为t,根据三角形的面积公式得出S与t的函数解析式,从而得出次函数是S与t的二次函数,然后利用顶点坐标公式得出当t=2.5时,面积最大.21.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农〞优惠政策,使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品,这种产品的本钱价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为w元．〔1〕求w与x之间的函数关系式；〔2〕该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少元？〔