直线与圆锥曲线(文同步)

直线与圆锥曲线旦知识回顾抛物线的定义是什么？抛物线的标准方程是什么？抛物线的几何性质(根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)研究性质):抛物线方程的四种形式有那些?抛物线有哪些重要结论?■知识讲解、 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l:Ax+By+C=0，椭圆方程C:f（uy）=0，由［AX+B"C=°［f（x，y）=0消去y（或消去x）得：ax2+bx+c=0.△=b-4ac,>0。相交；<0=相离；=0=相切.、 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切;直线与双曲线位置关系的判定条件可归纳为：设直线l:Ax+By+C=0，双曲线C:f（x，y）=0，由［Ax+B+C=°［f（x，y）=0消去y（或消去x）得：ax2+bx+c=0.若a尹0，△=b2—4ac，>0o相交；<0o相离；=0o相切.若a=0，得到一个一次方程，则l与双曲线的渐近线平行.、 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系可分为：相交、相切、相离.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；直线与抛物线位置关系的判定条件可归纳为：设直线l:Ax+By+C=0，抛物线C:f（x，y）=0，由［AC=0消去y（或消去x）得：ax2+bx+c=0.若a尹0，△=b2—4ac，△>0o相交;A<00相离;△=0°相切.若〃=0，得到一个一次方程，则l与抛物线的对称轴平行.四、弦长公式连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k,被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为ITOC\o"1-5"\h\za r—II「/1¥| ,(尤，y),(尤，y)，则弦长公式为IABI=*1+k2x一x=,〔1+—y一>.1。 2，2 。 2丫"引％ ，2两根差公式：如果x,x满足一兀二次方程：ax2+bx+c-0,则|x-xl-((x+x)2-4xx顼一勺2一4.c-^^-单(A>0).12 12 12队a) a |a| |a|五、直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质.以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.题型一、直线与椭圆的位置关系【例1】直线y-kx+还与椭圆互+y2-1交于不同两点A和B，且0A•OB-1(其中O为坐标原点)，3求k的值.【例2】已知椭圆C:七+==1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的如2倍.a2b2求椭圆C的方程；设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1,求^OAB的面积.【例3】已知点M(4,0),N(1,0)，若动点P满足MN-MP=61PNI.求动点P的轨迹C的方程；18 12 .设过点N的直线l交轨迹C于A，B_两点次-—^NA-NBw-言，求直线l的斜率的取值范围.【例4】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2,短轴长为2招.求椭圆C的标准方程；若直线I:y=kx+m(k。0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证：直线1过定点，并求出定点的坐标.【例5】在直角坐标系xOy中，点M到点F]Ch,0),F2(3,0)的距离之和是4,点M的轨迹是C,直线l:y=kx+*7与轨迹C交于不同的两点P和Q・⑴求轨迹C的方程;⑵是否存在常数k,OP•OQ=0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【例6】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，经过点P32,1)且离心率e=一.过定点C(-1，0)的2^直线与椭圆相交于A，B两点.⑴求椭圆的方程；⑵在X轴上是否存在点M，使MA・MB为常数？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.X2V2 3 1【例7】已知椭圆C:一+—=1(a>b>0)经过点MC1^-),其离心率为二.a2b2 2 2求椭圆C的方程；设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求O到直线距离的l最小值.13【例8】已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为3,对称轴为坐标轴，且经过点(1,5)・(I)求椭圆E的方程;(II)直线y=kx-2与椭圆E相交于A,B两点，在OA上存在一点M,OB上存在一点N,使得MN=1AB，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值.【例9】已知椭圆C:X2+=10>b>0)两个焦点之间的距离为2,且其离心率为W.a2b2 2求椭圆C的标准方程；若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A,且满足BA•BF=2，求AABF外接圆的方程.题型二、直线与双曲线【例10】若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是

【例11】过双曲线千-『1的右焦点直线交双曲线于A、8两点，若IA昨4,则这样的直线有—条.【例⑵直线尸5与双曲线相交于两点足B,则|淑=——【例13】若直线y=kx-l与双曲线X2—产=4有且只有一个公共点，求k的的值.题型三、直线与抛物线【例14】已知抛物线C的方程为x2=Ly,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,2则实数，的取值范围是( )A.(—co,—1)(1,+co)U_C.(—00,—2v'2)(2>/2,+oo)U U【例15】抛物线y^x2+mx+l与直线x+y=0有两个不同的交点，则实数初的范围是【例16】若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段的中点的横坐标是2,则\AB\=.【例17】过点(2,4)作直线与抛物线》2=8x只有一个公共点，这样的直线有条【例18】设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.【例19】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=.【例20】抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长AA的中点坐标为，弦长|AA|为12 12X2y2 <【例21】设双曲线云-b-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率等于.【例22】已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，IIFA|—IFBII的值等于()A.4；2 B.8C.8必 D.16【例23】已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M(4,0).(I)若点F到直线1的距离为J3，求直线1的斜率;设4B为抛物线上两点，且AB不与X轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证：线段AB中点的横坐标为定值.随堂练习X2V2【练1】已知椭圆E：新+b-=l(a,b>0)的焦点坐标为F1(-2,0)，点M(—2，':2)在椭圆E上.求椭圆E的方程；设Q(1,0),过Q点引直线Z与椭圆E交于4B两点，求线段AB中点P的轨迹方程;O为坐标原点，。O的任意一条切线与椭圆E有两个交点C,D且OC±OD，求。O的半径.【练2】已知椭圆C的对称中心为原点0，焦点在X轴上，离心率为【练2】且点（1,3）在该椭圆上.（I）求椭圆C的方程；6,2（II）过椭圆C的左焦点F］的直线l与椭圆C相交于4B两点，若*0B的面积为"_求圆心在原点0且与直线l相切的圆的方程.【练3】已知直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C:J2=8X相交A、B两点，F为C的焦点。若|FA|=2|FB|,则k=()1A，1A，32c,32v2D. 3【练4】抛物线y2=4x的焦点为F，准线为I，经过F且斜率为的直线与抛物线在X轴上方的部分相TOC\o"1-5"\h\z交于点A，AK±l，垂足为K，则A1KF的面积是（ ）A.4 B.3、：B C.4面 D.8【练5】若抛物线y2=4x的焦点是F，准线是I，则经过点F、M（4,4）且与l相切的圆共有（）A.0个 B.1个C.2个 D.4个课后作业【题1】在直角坐标系初〉中，点M到点F1(—*,0)、F2G3,0)的距离之和是4,点M的轨迹是C,直线l:y=kx+侦2与轨迹C交于不同的两点P和Q.求轨迹C的方程；是否存在常数k，使OP•OQ=0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【题2】已知椭圆—+—1(。>b>0)的离心率为，长轴长为2p3

a2b2 3 ，直线l:y—kx+m交椭圆于不同的两点A,B.求椭圆的方程；若m—1,且OA-OB—。，求k的值(O点为坐标原点)；若坐标原点O到直线l的距离为亍，求AAOB面积的最大值.【题3】设抛物线J2=8x的焦点为F过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到j轴的距离为