【人教A版】高中选修数学【选修21】222(第2课时)同步练习

第2章第2课时一、选择题(每题5分，共20分)x2y21．点A(a,1)在椭圆4＋2＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2<<2B．<－2或a>2aaC．－2<a<2D．－1<a<12＋12分析：由点A在椭圆内部得a<142∴－2<a<2.应选A.答案：Ax2y22．直线y＝kx－k＋1与椭圆9＋4＝1的地点关系为()A．相切B．订交C．相离D．不确立分析：直线y＝kx－k＋1恒过定点(1,1)．2222又∵1＋1<1，∴点(1,1)在椭圆x＋y＝1内部．9494∴直线y＝kx－k＋1与椭圆订交．应选B.答案：B3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．32B．26C．27D．42设椭圆方程为x22分析：2＋y2＝1(>>0)．ababb2x2＋a2y2－a2b2＝0，由x＋3y＋4＝0，得(a2＋3b2)y2＋83b2y＋16b2－a2b2＝0，由题意得＝(83b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0且2－2＝4，可得2＝7，∴2＝27.abaa答案：Cx2y245°的弦AB的长为()4．过椭圆25＋9＝1的右焦点且倾斜角为A．5B．6-1-90C.17D．7分析：椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，∴直线AB的方程为y＝x－4，y＝x－4由x2y2得9x2＋25(x－4)2＝225，＋＝1259由弦长公式易求||＝90.AB17答案：C二、填空题(每题5分，共10分)5．过椭圆x2＋y2＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于、B两点，O为坐标原54A点，则△OAB的面积为________．分析：椭圆的右焦点为F(1,0)，lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝2x－2，由x2y2得3x2－5x＝0，＋4＝1，5x＝0或x＝，34∴A(0，－2)，B3，3，∴△＝||(|y|＋|y|)＝×1×2＋3＝.AOBBA1145答案：53πx2y2于，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是6．若倾斜角为的直线交椭圆＋＝144A________________．分析：设中点坐标为(x，)，直线方程为y＝x＋，代入椭圆方程得52＋8bx＋4(b2－ybx1)＝0，-2-x1＋x24x＝2＝－5b，x＋4＝0.则得by＝5，由>0得－5<b<5，4故－55<x<55.4答案：x＋4y＝0－55<x<55三、解答题(每题10分，共20分)x2y237．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，短轴一个端点到右焦点的距离为2.求该椭圆的标准方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求→→PF1·PF2的最大值与最小值．x22分析：(1)4＋y＝1.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－3，0)，F2(3，0)，→→22则PF1·PF2＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x＋y－32x232＝x＋(1－4)－3＝4x－2，∵x∈[－2,2]，∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，→→2；PF1·PF2有最小值－当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，→1·→2有最大值1.PFPF228．设1，2分别为椭圆：x2＋y2＝1(>>0)的左、右焦点，过2的直线l与椭圆C订交FFCababF于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23.求椭圆C的焦距；→假如AF2＝2F2B，求椭圆C的方程．分析：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c＝23，故c＝2.因此椭圆C的焦距为4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝3(x－2)．-3-y＝3x－联立x2y2，得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0.a2＋b2＝1－32＋2a－32－2解得y1＝，y2＝3a2＋b23a2＋b2.→→221232＋2a－32－2a即b＝2·b，得a＝3.3a2＋b23a2＋b2而a2－b2＝4，因此b＝5.故椭圆C的方程为x2＋y2＝1.95尖子生题库☆☆☆9．(101x2y23分)如图，椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．求C1，C2的方程．设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2订交于点A，B，直线MA，MB分别与C1订交于点D，E.证明：MD⊥ME.c3分析：由题意知e＝a＝2，从而a＝2b.又2b＝a，因此a＝2，b＝1.12x222故C，C的方程分别为4＋y＝1，y＝x－1.证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.y＝kx，得x2－kx－1＝0.由y＝x2－1，设A(x，y)，B(x，y)，则x，x是上述方程的两个实根，于是x＋x＝k，xx＝－1.11221212