2022年河北省高考数学试卷及答案解析

2022年河北省高考数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

x—3

1.（5分）已知集合4={加/-〃+320},B={xEZ\—<0},则AGB=（）

A.{x\-2<x^3}B.{-1,0,1,2,3}

C.{-2,-1,1,2,3}D.R

2.（5分）已知复数z=〃+bi（a,&GR）,若提7+2=6+力则z=（）

A.-l+2zB.1+2/C.-1-2/D.1-2i

3.（5分）已知sin2a=-J,则sin?（a+5）=（）

13\/155

A."B.-C.----D.一

8888

4.（5分）在等差数列{斯}中，42=4,且⑶，。3,49构成等比数列，则公差d=（）

A.0或2B.2C.0D.0或-2

5.（5分）函数/（X）=.（/4*4）的图象可能是（）

（x—2）

6.（5分）已知在三角形ABC中，BC=4,\AB\^2\AC\,则6•前的取值范围是（）

A.（一3拳232）B.[一3拳232]C.（0,32）D.[0,32）

nn

7.（5分）已知数列｛斯｝满足。i=l,an+\+an=（/?+l）*cos—H.GN）,是数列｛〃〃｝

的前〃项和，则§2021=（）

A.508B.506C.1011D.1009

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8.（5分）已知实数xi，加满足xie%=/,X2（lnx2-3）=—,则xiX2=（）

A.JB.e5C.e6D.e1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

71

（多选）9.（5分）下列四个函数中，以n为周期且在（0,5）上单调递增的偶函数有（）

A.y=cos|2x|B.y=sin2xC.y=|tanx|D.y=lg\sinx\

（多选）10.（5分）下列命题中是真命题的有（）

A.函数/（x）=］在其定义域上为减函数

B.若随机变量彳服从正态分布N⑺，尸），且p（｛W4）=0.79,P0W-2）=0.21,

则U=1

C.若（x+4）（3+x）6=（j（）+ai（2+x）+ai（2+x）2+a3（2+x），+…+R（2+X）7,则。2=

36

D.若｛即｝为等比数列，则S4”,Sin-S4n，S⑵-$8”，…仍为等比数列

（多选）11.（5分）下列结论正确的有（）

A.若log“3Vl,则”>3

B.若。=$山工，b=-Iog2sin-,c=2-Sin3,则方>c>a

33

C.若盯WO,2*=18''=9^’,则x-y=l

D.若a=b=pc=则a<c<b

（多选）12.（5分）在棱长为1的正方体4BCL>-AiBiCiQi中，E为棱。5的中点，点产

在该正方体的侧面COGCi上运动，且与尸〃平面Ai8E,以下命题正确的有（）

A.平面AiBE截正方体所得的截面图形为等腰梯形

B.侧面CODiCi上存在一点F,使得BiFLCQi

1

C.三棱锥F-AiBE的体积为定值鼻

1

D.直线以尸与直线AO所成角的正弦值可以为孑

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题有两个空，第一个空答

对得2分，第二个空答对得3分，两个空全对得5分。

13.（5分）已知向量a=（1,机-1）,b=（-2,〃?），若。_1_£>,则正实数m的值为.

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14.（5分）请写出函数/（x）=sin（2x+亍）+sin2x+2图像的一个对称中心：.

x2y2

15.（5分）已知尸放分别为椭圆E：—+—=1（a>^>0）的左、右焦点，E上存在

两点A,使得梯形4门乃8的高为应c（c为半焦距），且4%=5B%2，则E的离心率

为.

16.（5分）拿破仑•波拿巴（法语名：NapoleonBonaparte,1769年8月15II-1821年5

月5日），法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者.拿破仑一生钟爱数学，

他发现并证明了著名的拿破仑定理：”以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角

形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，ABAC

=60°,以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其中心依次为。，E,F,若DF

=4,则丁=,A8+AC的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在△A2C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2C

=2.

（1）求C；

（2）若△48C为锐角三角形，且b=4,求aABC面积的取值范围.

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18.（12分）已知数列｛〃”｝的前〃项和为s”且0=02=2,的=3,当”22时，Sn+2+Sn=

2Sn+l+l>数列｛b"｝是正项等比数列，且Z>4=16,bi-b\b2.

（1）求｛斯｝和｛为｝的通项公式；

（2）把｛斯｝和｛为｝中的所有项从小到大排列，组成新数列｛Cn｝,例如｛Cn｝的前7项为2,

2,2,3,4,4,5,求数列｛Cn｝的前1000项和TIOOO.

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19.（12分）2022年是奥运年，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬

奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高

山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑

冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某

校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进

行了问卷调查，得到如下的2X2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生aC

女生bd

合计

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8,表格中a=100,

4=20.

（1）完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

（2）从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取

3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据：心=回爆燃e，其中…+%+”.

PCK20.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

》例）

氐0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

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20.(12分)如图，在三棱柱ABC-AiBCi中，点Bi在底面ABC内的射影恰好是点C,D

是AC的中点，且满足D4=OB.

(1)求证：48,平面BCCiBi；

(2)已知AC=28C=2,直线与底面ABC所成角的大小为彳求二面角C-B。-

C\的大小.

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xy一

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>/?>0)的左、右顶点分别为A,B,。为坐标原

a2b2

点，直线/：x=l与C的两个交点和0,8构成一个面积为伤的菱形.

(1)求C的方程.

(2)圆E过0,B,交/于点M,N,直线AM,AN分别交C于另一点P,Q.

①求IcAP'kAQ的值；

②证明：直线尸。过定点.

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22.(12分)已知函数/(x)=笠

(1)请研究函数g(x)=/(x)-siiu•在xe[-如，0)U(0,2Td上的零点个数并证明.

(2)当x>0时，证明：[It/(x)][1+2/(x)]x>e.

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2022年河北省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

X—3

1.(5分)已知集合A=U|?-2x+320},B={x£Z|—<0},则ACB=()

A.{制-2cxW3}B.{-1,0,1,2,3}

C.{-2,-1,1,2,3}D.R

解：；集合A={x|?-2x+320}=R,

x—3

B={xEZ\—<0}={x€Z|-2<x^3}={-1,0,1,2,3},

：.AOB={-1,0,1,2,3).

故选：B.

2.(5分)已知复数2=。+初(。，处R),若^77+2=6+i,则z=()

A.-l+2zB.1+2/C.-1-2/D.\-2i

解：复数z=a+bi(a,/?6R),>zuz±+2=b+i,

aat

*,，Tj/2OU2/1J*+2=j/+2=2-ai=b+i,

•*ci~~-19Z?=2,

・'・z=-l+2i.

故选：A.

3.(5分)已知sin2a=—则siir2(a+Q=()

137155

A.-B•-C.-----D.一

8888

解：%in2a=4,则sin2(a+»=~零*)=1±弊号

故选：B.

4.(5分)在等差数列{〃”}中，及=4,且ai，a3,a9构成等比数列，则公差〃=()

A.0或2B.2C.0D.0或-2

解：设等差数列公差为d,

因为ai，“3,a9,构成等比数列，

所以a弓=ai49,

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所以+8d)=(g+2d产

1%+d=4

解得d=0或2,

故选：A.

解：函数f（x）=）（壮—4*4）二仇[-2’,可知函数的图象关于（2,0）对称，排除A,

3

02）3（%-2）

当xVO时，In（x-2）2>0,（X-2）3<0,函数的图象在x轴下方，排除。,

故选：C.

6.（5分）已知在三角形A3C中，BC=4,依阴=2|4。|,则6•公的取值范围是（）

3232

A.（一学32）B.[一言32]C.（0,32）D.[0,32）

解：因为8c=4,\AB\=2\AC\f

所以]»spf'1''»

[\AB\-\AC\<412|>4C|-\AC\<4

解得g<\AC\<4,

由余弦定理cos/CAB="，2票:产2

心+—―/_4c2+482—8,2

所以AB-AC=\AB\■\AC\COSACAB=\AB\■\AC\■

2ACAB2

5|AC/一16

2

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因为1〈Ma<4,所以当不。?<16,

所以一等V坐竽也<32,即几.A6(-等，32),

故选：A.

nn

7.(5分)已知数列｛斯｝满足内=1,〃/1+斯=(n+l)ecos—(n^2,??GN),S〃是数列｛〃“｝

的前〃项和，则S2021=()

A.508B.506C.1011D.1009

解：y=cosF的周期T=孥=4,

22

nn

由。〃+1+。〃=(n+1)*cos—(〃N2,nGN),

2

.•・a2+〃3=3cosii=-3,a4+a5=5cos2n=5,as+a7=-7,。8+。9=9,........,

AS2()2i=l+(-3+5)+(-7+9)+.......+(-2019+2021)

=1+2X505=1011,

故选：C.

8.(5分)己知实数xi，12满足用靖1=/,X2(Inxi-3)=小，则不阳=()

A./B./C./D.e1

解：■实数xi,X2满足Xie"1=/,X2(lnx2*3)=£,

3

Axx>0/x2>e,令t=lnx2-3,t>0,

t+3

则％2=e9由条件小(6工2—3)=〃,

则tet+3=e6,

x

令/(x)=xef(x>0),则/(x)=(x+1)，，

由题意当上>0时，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，

，由％送必=a得#=f=/m；2-3,

••X\X2=X2(lnX2-3)=小.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

71

(多选)9.(5分)下列四个函数中，以TT为周期且在(0,5)上单调递增的偶函数有()

A.y=cos|2r|B.y=sin2rC.y=|tanx|D.y=/g|sinx|

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n

解：由于函数y=cos|2x|=cos2x在（0,—）上单调递减，故排除A；

由于y=sin2x是奇函数，故排除脱

由于y=|taru|是偶函数，以n为周期且在（0,上单调递增，故C满足条件；

TC

由于y=|sinx|是偶函数，以Tt为周期且在（0,-）上单调递增，

故），=/gkinx|是偶函数，以TT为周期且在（0,；）上单调递增，故。满足条件；

故选：CD.

（多选）10.（5分）下列命题中是真命题的有（）

A.函数/（X）=/在其定义域上为减函数

B.若随机变量g服从正态分布N（山。2）,且尸鳍＜4）=0.79,P-2）=0.21,

则n=i

C.若（X+4）（3+X）6=40+4]（2+X）+。2（2+X）2+的（2+无）3+・・・+〃7（2+X）7,则。2=

36

D.若｛斯｝为等比数列，则S4〃，S8〃-S4〃，S⑵「S8〃，…仍为等比数列

解：对于A,函数/（x）=[在（-8,0）,（0,+8）上单调递减，在定义域上不单调，

故A错误，

对于2,••,随机变量E服从正态分布N（H，。2）,且尸（EW4）=0.79,PP-2）

=0.21,即有P（彳24）=0.21,

故它对应的正态曲线关于直线x=l对称，即口=1,故B正确，

对于C,'：（x+4）（3+x）6=[2+（2+x）J[l+（2+x）]6,则a2=/x1+牖x2=36,

故C正确，

对于D,当等比数列｛斯｝的公比为4=-1时，S4n=叫二曷”=0,

则S4",S8"-S4",S⑵-S8”，•不成等比数列，故。错误.

故选：BC.

（多选）11.（5分）下列结论正确的有（）

A.若log“3Vl,则a＞3

B.若。=$1[，b=-Iog2sin^-,c=2~sin^,则人＞c＞〃

C.若孙WO,2x=18y=9x＞，,则x-y=l

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D.若。=粤~,h=pc=则QVCV/?

解：对于A,当〃>1时，由log。3VL得log43Vlo.。,则Q>3,

当OVaVl时，由loga3Vl,得loga3Vlog/,则〃V3,

V0<a<l,：.0<a<l,综上，o>3或OVQVI,故A错误；

1n17rl

对于B,VOV±,..0<sin-<sin-=一，

36362

=

Alog2sin^<lo^22一1，••—log2sin^>1,

v-i<-sin1<0,：.2~^<2~sin^<2°=1,

V2—5in—11—sin—1

・・・——<23<1,Asin-<-<—<23<i<-logsin-

23220723t

*.b>c>a,故8正确；

对于C,令2”=18''=>y=/>0,则x=log2/,y=logi8/，盯=log9f,

・111.IgtIgtIgt.,lg21g8

./og/Tog⑻=1叱，••茨・正=荷••3=w，

・ijIgtIgtIgt(lgl8—lg2)

..X-产log”bgi8U卷-黄=%21gl工

_lg21gl8Igl8-lg2Igl8-lg2_lg9.,-/

—•-lg21gl8-lg9一丽故+h。止1r确；

对于£>,令/(x)=(x>0)，则//(x)=1x磐(x>0)，

当0<xVe时，f(x)>0,当x>e时，f(x)<0,：.f(x)在(0,e)上递增，在

(e,+°°)上递减，

Ineln3ln4,,_“

".'e<3<4,."'(e)>f(3)>f(4)>>,.---->------>------>.'.a<c<b,故。正确.

e34

故选：BCD.

（多选）12.（5分）在棱长为1的正方体48。-4勺。£）1中，E为棱Q£>i的中点，点F

在该正方体的侧面CZ）QiCi上运动，且BiF〃平面4BE,以下命题正确的有（）

A.平面AiBE截正方体所得的截面图形为等腰梯形

B.侧面CD。G上存在一点F,使得Bi2LC。

C.三棱锥F-AiBE的体积为定值1

D.直线与直线AO所成角的正弦值可以为1

解：对于A中，取CD的中点M,连接ME,CDi，BM,可得ME〃CDi，

又由AiB〃C£>i，所以ME〃AB,

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所以平面4BE截正方体所得的截面图形为梯形AEMB,且为等腰梯形，所以A正确;

对于8中，取的中点为F,

在△B1CQ1中，由8iC=Bi£>i,当F为CCi的中点。时，所以BiOLC。，所以8正确；

对于C中，因为△A18E的面积为定值，当点F为平面CDGCi内的动点，

所以点尸到平面CDDiCi的距离是变化的，所以三棱锥F-A\BE的体积不是定值，

所以C错误；

对于。中，在正方体ABC。-AiBiCiDi中，可得AQ〃BiCi，

所以直线BiF与直线AD所成角即为直线BiF与直线BiCi所成角，

当点尸与点力重合时，设

在直角中，可得5出。=畀=华

所以直线BiF与直线AD所成角的正弦值可以为今所以。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题有两个空，第一个空答

对得2分，第二个空答对得3分，两个空全对得5分。

13.(5分)已知向量a=(1,w-1),b=(-2,m),若a-Lb,则正实数m的值为2.

解：根据题意，向量；=(1,m-1),b=(-2,〃?)，

若a_Lb,贝!=-2+m(m-1)—ni2-m-2=0,

解可得〃?=-1或2,

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又由机>0,则机=2；

故答案为：2.

14.（5分）请写出函数f（x）=sin（2x+咨）+sin2x+2图像的一个对称中心：（；,2）

（注：只要具有（一一一，2）（依Z）这种形式的对称中心都对）.

----------------26---------------------------------------

包27r27r27r

角吊：函数f（x）=sin（2x+丁）+sin2x+2=sin2xcos—4-cos2xsin—4-sin2x+2

=苧cos2x=2sin（2v+g）+2,

由2%+与=内1,解得：x=—5,（依Z）,

DLO

/C7TTT

，函数/（k）图像的对称中心为（——二，2）,猊Z,

26

71

当人=1时，所得函数图像的一个对称中心为（孑，2）,

7TklTTT

故答案为：（一，2）,（注：只要具有（一一一，2）（依Z）这种形式的对称中心都对）.

326

x2y2

15.（5分）已知Q,22分别为椭圆E：—+匕T2-=1（a>h>0）的左、右焦点，E上存在

两点4,8,使得梯形"1&8的高为近c（c为半焦距），且欣=5魂,则E的离心率

为平.

一3一

解：•.•届=5BF2,

.,.欣II危，

则AF1，8放为梯形AFF2B的两条底边,

作出PLAQ,垂足为P,如图所示，

；梯形AFIF2B的高为&c（c为半焦距），

：.F2P=V2c,

在RtZ\FiPF2中，F\F2—2C,

'.sinz.AF1F2==号,即ZTlFiB=/，

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设HFi|=x,

则|AF2l=2a-x,

在△4F|772中,

22

由余弦定理可得，依尸2『=M6|2+|F1F2|-2|AFI||F1F2|COS^,即(2a-x)2=/+4c-

,2

2y/2cXt解得H/11=----»

a~~2c

,2

同理可得，|8尸2|=一，,

a+gc

9

：AFX=5BF2,

b2

~~^c

一黄一=5,化简整理可得，4a=3A/2C,

V2

CH■-2~C

.c42g

••e=&F=r

故答案为：—.

3

16.（5分）拿破仑•波拿巴（法语名：NapoleonBonaparte,1769年8月15日-1821年5

月5日），法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者.拿破仑一生钟爱数学，

他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角

形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，ABAC

=60°,以48,BC,4C为边向外作三个等边三角形，其中心依次为。，E,F,若DF

解：设BC=a,AC=b,A8=c,如图，连接AF,BD,

由拿破仑定理可知为正三角形，

第16页共24页

因为。为等边三角形的中心,所以在448。中，/43。=/54。=30°,/8£"=120°,

设BD=AD=m,由余弦定理可得A¥=AD2+BD2-2AD・BDcosNBDA,即AB2=m2+m

-2/w2X(—2),

,_ABr~

解得AB=8'",所以而=年=百

因为4B=c,所以AQ=袅同理

在△ZMF中，ZFAD=ZBAD+ZBAC+ZCAF=120°,从。=负，AF=DF=4,

A)3「2rh

由余弦定理可得。产=A£>2+A产-2AQ・AFCOSND4F,即16=g+』—2x专x负x

所以(Z?+c)2-Z?c=48,

因为〃>0,c>0所以Z?+c22%，即反W(——)2

2

3

则一(b+c)2《48,解得b+cW8,

4

即A8+AC的最大值为8,

故答案为：V3；8.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在△40C中，内角4在C的对边分别为a,h,c,若sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2C

=2.

(1)求C；

(2)若△ABC为锐角三角形，且。=4,求zMSC面积的取值范围.

解：(1)sirL4sin^+cos2/4+cos2/?+sin2C=2,

所以2-sin2C=sinAsinB+(1-sin2A)+(1-sin2B),

可得sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,由正弦定理知化简得cP,+b1-c^—ab,

第17页共24页

由余弦定理知，cosC=吆Q=洸4,

因为C6(0,n),

所以C=不

(2)由(1)知，C=

所以A+B=拳

0<B<^n

又△ABC是锐角三角形，可得解得&<"I

bc

由正弦定理知,

sinBsinC

b・sinC_2通

又8=4,可得c=

sinB-sinB9

一一1127327r厂sin(冬-B)6r-

所以S^ABC=ybcsinA=x4x-r-^xsin(--B)=4\[3x--r-^—=+25/3,

ZZSITID3SlTiDLCLTID

因为.<B<J,所以tanB>字，

所以2V5<SABC<8百,

故△ABC面积的取值范围为(2次，8V3).

18.(12分)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且0=e=2,g=3,当?i(2时,S"+2+Si=

2Sn+l+l，数列｛6〃｝是正项等比数列，且〃4=16,加=加历.

(1)求｛斯｝和｛加｝的通项公式;

(2)把｛如｝和｛瓦｝中的所有项从小到大排列,组成新数列｛cn｝,例如｛Cn｝的前7项为2,

2,2,3,4,4,5,求数列｛5｝的前1000项和T1000.

解：(1)当〃22时,S〃+2+S〃=2S〃+I+1,”23时,S〃+i+S〃-i=2S〃+L相减可得：

=2cin+1，

由S〃+2+S产2s〃+1+1,〃=2时、〃1+〃2+。3+〃4+。1+〃2=2(〃1+〃2+。3)+1，解得〃4=4,

。4+。2=2a3，而。3+〃1W2a2，

・・・数列｛斯｝从第二项开始为等差数列，%=〃2+(〃-2)义1=〃.

._)2,n=1

•・Cln-)•

(.71/n>2

设正项等比数列｛尻｝的公比为q>0,..»4=16,b3=bibz.

.'.b]q3—\6,q—b\,解得q=bi=2,

第18页共24页

n

：.bn=2.

(2)数列｛斯｝的前1000项为:2,2,3,4,5,1000,

数列｛5｝为：21,22,2",210=1024,

因此新数列｛5｝中包括数列｛斯｝的前991项为：2,2,3,4,5,991,

包括数列2"｝的前9项：21,22,29.

数列｛5｝的前1000项和Tiooo=2+2+3+4+…+991+(2'+22+-+29)

_991x(1+991)2(29-1)

―1+2+2-1

=492559.

19.(12分)2022年是奥运年，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬

奥会共设7个大项(滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项)、15个分项(高

山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑

冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项)共计109个小项.某

校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进

行了问卷调查，得到如下的2X2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生aC

女生bd

合计

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8,表格中“=100,

d=20.

(1)完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取

3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.

2

参考公式及数据：K2=E器第E其中

P(K10.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

2ko)

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

解：(1)由题可知，从200名学生中抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8,

第19页共24页

故喜欢冰雪运动的有200X0.8=160人，

不喜欢冰雪运动的有200-160=40人，即a=100,匕=60,c=20,d=20,

2X2列联表如下：

喜欢不喜欢合计

男生10020120

女生602080

合计16040200

7

：2200x(100x20-60x20)

-K-160x40x120x80=2.083V2.71,

・・・没有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关.

⑵按分层抽样，设抽取女生X名，男生y名，=志，解得尸3,尸5,

即抽取的8人中喜欢冰雪运动的女生有3人，男生有5人,

故X=0,1,2,3,

P(X=0)=4=皋P(X=1)=弓孥=P(X=2)=近孥=!|,尸(X=3)=乌=3，

ZoZoDO「3DO

故X的分布列如下:

X0123

P515151

28285656

qicic1g

故E(X)=0X2g+1X2g+2X+3X=g.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，点8i在底面ABC内的射影恰好是点C,D

是AC的中点，且满足D4=。艮

(1)求证：AB_L平面BCC181；

(2)已知AC=2BC=2,直线881与底面ABC所成角的大小为*求二面角C-80-

Ci的大小.

(1)证明：。是AC的中点，DA=DB,所以AB_L8C,

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因为Bi在底面ABC内的射影恰好是点C,所以BiC,平面ABC,

因为ABu平面ABC,

所以A8J_B1C,

因为BCCBC=C,BCu平面BCC181,BiCu平面BCCiBi，

所以AB_L平面BCC\B\.

(2)解：设8CinBiC=F,取8。中点E,连接EF、EC,

困为AC=2BC=2,所以3c=B£>=CD=1,

所以CEA.BD,

由(1)知尸C1■平面ABC,所以CE是E尸在平面ABC内投影，

所以8£>_LEF,

所以乙FEC是二面角C-BD-Ci的平面角，

由(1)知B1CJ■平面ABC,所以BC是BBi在平面ABC内投影,

所以/B12C是直线期与底面4BC所成角，AB\BC=

所以B|C=5C・tang=依，

因为四边形B8QC是平行四边形，所以FC=”C=孚，

又因为CE=BUsin60°=冬

所以尸C=CE,因为FCJ_CE,所以/FEC=45°.

故二面角C-BD-Ci的大小45°.

Xy

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>/;>0)的左、右顶点分别为A,B,。为坐标原

a2b2

点，直线/：x=l与C的两个交点和。，8构成一个面积为伤的菱形.

(1)求C的方程.

(2)圆E过。，B,交/于点M,N,直线AM,AN分别交C于另一点P,Q.

①求kAP・kAQ的值；

②证明：直线尸。过定点.

解：(1)因为直线/：x=l与C的两个交点和。，B构成的四边形是菱形，

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所以/垂直平分08,所以8（2,0）,。=2,

1

设。（1,>■（））为直线/与C的一个交点，则菱形的面积为ax2X|2y（）|=2伙）|,

因为菱形的面积为几，

所以2伙）|=述,解得和=土苧,即£）（1,土苧），

x2y213

代入-^+工^=1,得+

a2b2a22b2

又因为/=%所以〃2=2,

x2y2

所以C的方程为一+乙=1.

42

（2）①由题意，得08为圆E的一条弦，且直线x=l垂直平分弦，

故直线x=l经过圆心E,所以MN为圆E的直径，

所以/MON=90°,BPOM-OW=0,

设M（1,），M），N（1,加），则WyN=-1，

kAM=半，kA后冬

mu7iVMJN1

则KAMRAN_~-=一g，

又因为kAM=kAP，kAN=kAQ，

所以kAP9kAQ=-Q，

②直线PQ不可能平行x轴，设直线尸。的方程为x=g，+f（fW-2）,P（xi,yj）,Q（X2,

”），

x=my4-1

由％2y2，得(渥+2)J+Zm/y+Z2-4=0,

(彳+2=1

22

△=4机2±-4(Zn+2)(？-4)=8(2/zz+4-?)>0(*),

2mt理一4三

但赤①，

m2+2f

因为心p=3^，kAQ='r+7'

工1十乙