江西省吉安市水南中学高三数学理期末试题含解析

江西省吉安市水南中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知二次函数（），点。若存在两条都过点且互相垂直的直线和，它们与二次函数（）的图像都没有公共点，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.对于实数a，b，定义一种新运算“”：，其运算原理如程序框图所示，则（

）A．26

B．32

C．40

D．46参考答案：C3.设集合若，则的范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.已知向量=（1，2），=（cos，sin），∥，则tan=（

）

A．

B．－

C．2

D．－2参考答案：C5.已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．2B．2C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2?=5，解得?=0．|+2|2=||2+4||2﹣4?=1+16=17．|+2|=．故选：C．6.若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（

）A.

B.

C.

D.A.（-1，1）

B.（-1，-1）

C.（1，1）

D.（1，-1）参考答案：A略7.

若，则cos2=

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D8.已知函数若，则实数x的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知实数x，y满足，则x﹣3y的最小值为(

) A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答： 解：设z=x﹣3y，则得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，2）．将A（2，2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×2=2﹣6=﹣4．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣4．故选：A．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．10.设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的函数满足，，且时，则____________.参考答案：-112.某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若（1）班有50名学生，将每一学生编号从01到50止．请从随机数表的第3行第6列（下表为随机数表的前5行）开始，依次向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是．0347437386369647366146986371623326168045601114109597742467624281145720425332373227073607512451798973167662276656502671073290797853135538585988975414101256859926969668273105037293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030．参考答案：22，02，10，29，07【考点】系统抽样方法．【分析】从随机数表第3行第6列开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为22，02，10，29，07，故可得结论．【解答】解：从随机数表第3行第6列开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，符合条件依次为：22，02，10，29，07，故答案为22，02，10，29，07．13.已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列的前项和为

．参考答案：14.（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为

（用数字填写答案）参考答案：﹣260【考点】二项式定理的应用．【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求．【解答】解：（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项为﹣30x2=80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，所以x3的系数为﹣260；故答案为：﹣260．【点评】本题考查了二项式定理；注意各种可能．15.一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：200＋9π略16.在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则|AB|=

.参考答案：略17.已知，则tanα=__________．参考答案：，解方程得.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图,已知抛物线，直线与抛物线交于两点，，，与交于点.(1)

求点的轨迹方程；(2)

求四边形的面积的最小值.

参考答案：（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设，

∵，

∴是线段的中点.

……………2分

∴，①

……………3分

.

②

……………4分

∵，

∴.

∴.

……………5分

依题意知，

∴.

③

……………6分把②、③代入①得：，即.

……………7分∴点的轨迹方程为.

……………8分

(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

……………9分

.

……………11分∵，当且仅当时，等号成立，……………12分∴.

……………13分∴四边形的面积的最小值为.

……………14分解法二:(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,

由于,则直线的斜率为.

……………1分

故直线的方程为,直线的方程为.

由

消去,得.

解得或.

……………2分

∴点的坐标为.

……………3分

同理得点的坐标为.

……………4分

∵，

∴是线段的中点.

……………5分

设点的坐标为,

则

……………6分

消去,得.

……………7分∴点的轨迹方程为.

……………8分(2)解：依题意得四边形是矩形，

∴四边形的面积为

……………9分

……………10分

……………11分

.

……………12分当且仅当,即时,等号成立.

……………13分∴四边形的面积的最小值为.

……………14分19.

已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.参考答案：解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为,……3分由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切线互相垂直时,有.当时,对函数求导,得.因为,所以,……5分所以.因此……7分当且仅当==1,即时等号成立.所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1。……8分

当或时,,故.当时,函数的图象在点处的切线方程为,即……9分当时,函数的图象在点处的切线方程为,即.……10分两切线重合的充要条件是由①及知,.由①②得,.……12分设,则.所以是减函数.……13分则,所以.又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是

……14分略20.（14分）设数列{an}的前n项的和为Sn，且{}是等差数列，已知a1=1，++=12．（Ⅰ）求{an}的通项公式an；（Ⅱ）当n≥2时，an+1+≥λ恒成立，求λ的取值范围．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知得，从而，Sn=，由此能求出an=3n﹣2．（Ⅱ）由已知得3n+1+≥λ，从而，设bn=，由bn的最小值为，能求出．【解答】解：（Ⅰ）∵{}是等差数列，a1=1，++=12．∴3×=12，∴，∴，∴Sn=，∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2，n≥2，当n=1时也成立，∴an=3n﹣2．（Ⅱ）∵n≥2时，an+1+≥λ恒成立，∴3n+1+≥λ，∴，设bn=，bn+1﹣bn=﹣=＞0，∴bn的最小值为，∴．（14分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．21.（本小题满分13分）已知函数

(Ⅰ)当时，求的单调区间；(Ⅱ)当时，若?，使得成立，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）依题意，

当时，，令，得或，令，得；当时，.当时，，

令，得或，令，得；综上所述:当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是当时，的单调递减区间是

……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，在单调递减.；，

……9分