江西省吉安市沂江中学2021年高三数学理联考试卷含解析

江西省吉安市沂江中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（

）

参考答案：B2.若，那么下列不等式中正确的是

（

）(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：略3.设集合，则（

）A．(－∞,－3)∪(2,+∞)

B．(－∞,－3)∪(2,3]

C．(－∞,－2)∪[3,+∞)

D．(2,3]参考答案：B4.已知平面向量满足的夹角为60°，若则实数的值为A.1 B. C.2 D.3参考答案：D略5.已知函数（其中，，）的图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则关于函数的下列说法正确的是（

）

①

,②的图像关于直线对称,③④在区间上单调递增A.①② B.②③ C.③④ D.①④参考答案：B【分析】根据图像得到表达式，再利用平移得到表达式，依次判断四个选项的正误，得到答案.【详解】函数（其中，，）根据图像知：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像故①错误③正确时是对称轴，②正确在区间上先增后减，④错误故答案选B【点睛】本题考查了根据图像求三角函数表达式，三角函数的平移，三角函数的对称抽和单调性，考查知识点较多，意在锻炼学生的综合应用能力.6.一算法的程序框图如图1，若输出的，

则输入的的值可能为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由程序框图知：．当时，，解得：（舍去）；当时，，解得：（）或（），当时，或（舍去），所以输入的的值可能是，故选C．考点：1、框图；2、分段函数．7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足．当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3B．5C．6D．9参考答案：D略8.已知函数f（x）=x+，若对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1﹣e） B．（1﹣e，1] C．[1，e﹣1） D．（e﹣1，+∞）参考答案：B【分析】根据题意，不等式x+＞ax恒成立化为＞（a﹣1）x恒成立；设g（x）=，h（x）=（a﹣1）x，x∈R；在同一坐标系内画出两个函数的图象，满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方，求出过原点的g（x）的切线方程，得出切线斜率k，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数，对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，∴x+＞ax恒成立，即＞（a﹣1）x恒成立；设g（x）=，h（x）=（a﹣1）x，x∈R；在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；则满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方，求g（x）的导数g′（x）=﹣e﹣x，且过g（x）图象上点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），且该切线方程过原点（0，0），则y0=﹣?x0，即=﹣?x0，解得x0=﹣1；∴切线斜率为k=﹣=﹣e，∴应满足0≥a﹣1＞﹣e，∴1﹣e＜a≤1，∴实数a的取值范围是（1﹣e，1]．故选：B．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数求函数的切线问题，是综合性题目．9.函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致范围是（）A． B．（e，+∞） C．（1，2） D．（2，3）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数在（0，+∞）上是连续函数，根据f（2）f（3）＜0，可得零点所在的大致区间．【解答】解：对于函数在（0，+∞）上是连续函数，由于f（2）=ln2﹣＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故f（2）f（3）＜0，故函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选D．10.函数y=cos2（x﹣）+sin2（x+）﹣1是(

)A．周期为的函数 B．周期为的函数C．周期为π的函数 D．周期为2π的函数参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由三角函数公式化简已知函数，由周期公式可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得y=cos2（x﹣）+sin2（x+）﹣1=+﹣1=cos（2x﹣）﹣cos（2x+）=（cos2x+sin2x）﹣（cos2x﹣sin2x）=sin2x，∴函数的周期为T==π，故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“,”的否定是

；参考答案：略12.已知定义在R上的偶函数f（x）满足?x1，x2∈[0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则的大小关系是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，得到其为增函数，再结合其为偶函数即可得到结论．【解答】解：因为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，所以：f（x）在[0，+∞）上递增，又因为f（x）是偶函数，所以：f（﹣2）=f（2）∵∴f（）＜f（1）＜f（2）=f（﹣2）故答案为：f（）＜f（1）＜f（﹣2）．13.设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是；①直线l的倾斜角为α；②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值；③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交；④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．参考答案：②③④【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】由倾斜角范围与α的范围是否一致，能判断①的正误；由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系能判断②的正误；由存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，能判断③的正误；由数形结合能判断④和⑤的正误．【解答】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．故答案为：②③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．14.如图，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙于点．若，，则=

．参考答案：15略15.设满足约束条件组，则的最大值为________参考答案：5略16.已知复数（i为虚数单位），则=．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数z，从而求出，进而求得的值．【解答】解：复数==，∴=，∴=?==，故答案为．17.有下列四个命题：（1）一定存在直线，使函数的图像与函数的图像关于直线对称；（2）在复数范围内，（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；（4）过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为．则正确命题的序号为_________________参考答案：（3）（4）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆〔a＞b＞0〕与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足.（1）求椭圆的方程；（2）过点，斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设，假设，求k的取值范围.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题可得，，点M的横坐标为，代入抛物线方程可求得M点纵坐标，然后利用椭圆的定义求出a，即可得到本题答案；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得①，②，由题，得③，结合以上三个式子，得，求出在的取值范围，即可得到本题答案.【详解】（1）由椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足，得椭圆的，点M的横坐标为，代入抛物线方程，可得，因为椭圆焦点为，所以，得，则椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，恒成立.设，那么①，②，由可得，③，由以上三式可得：，当时，，因此在上单调递增，因此当时，，因此，，解得.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆与向量的综合问题.19.设函数（I）求函数的极大值；（II）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数a的取值范围．参考答案：（I）∵，且，………………1分当时，得；当时，得；∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和．…………………3分故当时，有极大值，其极大值为．…4分（II）∵，当时，，∴在区间内是单调递减．…………6分∴．∵，∴此时，．………9分当时，．∵，∴即

……11分此时，．……………13分综上可知，实数的取值范围为．…………………14分20.（本小题12分）已知集合.（1）能否相等？若能，求出实数的值；若不能，试说明理由；（2）若命题，命题，且是充分不必要条件，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断A1,A2【答案解析】(1)a=2(2)a＞2，或a＜﹣8解析：解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意当a＞0时∴当a＜0时显然A≠B故A=B时，a=2（2）pq得AB且A≠B0＜ax+1≤5﹣1＜ax≤4当a=0时，A=R不满足．当a＞0时，则解得a＞2当a＜0时，则综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜﹣8【思路点拨】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）p?q得A?B且A≠B，转化为集合的关系求解21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c(sinB+cosB)=a+b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为5，求sinB的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合sinB≠0，可得：，进而可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求b，由余弦定理得c，进而利用正弦定理可求sinB的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，，可整理变形为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A=π﹣（B+C），可得：sinA=sin（B+C）所以：，整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为sinB≠0，所以，可得：，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由已知a=5，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，故，…可得：．…22.已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．参考答案：【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而B